初中生代数推理能力生长的学习支架分析

【摘 要】初中阶段的代数推理能力培养，应当自然地蕴含于“数与代数”板块的日常教学中．具体教学时要为学生提供五类学习支架，即由远及近提供心理支持，由表及里促进语言表达，由小见大增进规则理解，由此及彼熟化形式操作，由博返约完善认知结构等．实施前后连贯、扶放有度的代数推理教学，能减少学生不必要的心理负担与认知障碍，对提高代数推理教学实效有积极意义．

【关键词】代数推理;推理能力;认知规律

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022版）》）指出“课程内容特别强调代数推理”．由于对代数推理能力的培养机制缺乏洞察力，一些教师把加强代数推理等同于加强代数难题训练，或者刻意去构建一些高于教学要求的代数结论．在学生的心理基础、知识储备、推理意识不足的情况下，这些做法无疑是本末倒置的．初中阶段重视代数推理教学，应当体现在“数与代数”板块的日常教学中．

1 典例分析

由于代数推理问题本身没有一个清晰的边界，我们不妨基于“家族相似性”来把握这一概念，考察《课标（2022版）》中给出的代数推理典型例题：

例66：（1）设abcd是一个四位数，若a+b+c+d可以被3整除，则这个数可以被3整除．

此题是一个假言命题推理，需用演绎的方法论证，过程表述如下：abcd=1000a+100b+10c+d=（999a+99b+9c）+（a+b+c+d），显然（999a+99b+9c）能被3整除，因此，如果（a+b+c+d）能被3整除，那么abcd就能被3整除．

尽管上述例题及论证过程对代数推理的要求是初步的，但是反映了思维的一般过程，若抽去具体内容后可概括为图1，显然学生需要在符号表征、形式推理和形成解释三个方面突破．与之对应便形成三个教学重点，即适当的表达形式、合理的推理方式以及学生认知或概念范围内的命题集合．

代数推理教学应避免让过早的形式化成为学生的学习障碍．但是，代数推理离不开形式化，数学的概念、规则、原理等各方面都可以加以形式化地描述，许多代数推理问题本身就是一种形式操作．因此，结合代数推理本身的特点，从学生的认知角度进一步探寻相应的学习支架尤为重要．

2 学习支架分析

鲍建生、章建跃指出“与几何推理相比，代数推理比较抽象，也不够系统，因此，教学时应该量力而为.”^［1］这里的“量力而为”即量学生之力而为，只有关注学生真实的学习体验，才能为学生作出有益的反思．笔者在教学实践中提出，应从心理支持、语言表达、规则理解、形式操作、认知结构等五个方面为学生提供连贯式学习支架（如图2），供同行批评指正．

图2

2.1 心理支持，由远及近

皮亚杰的认知发展理论表明儿童十一岁到十二岁是开始形成形式运演阶段，林崇德的研究也证实八年级是学生抽象逻辑思维的质变时期．因此，学生在七年级从算术思维过渡到代数思维时存在较大个体差异．要消除代数推理的神秘感，让学生敢于进行代数推理，首先要让学生认识到“符号化是迄今人类对信息的最强有力的压缩加工方式，信息的符号化也是推理的必要条件”^［2］．从心理支持上说，这是一个由远及近的过程．

例如，在整个初中阶段的“方程”教学中，可将人类对未知量不懈探索的历史与文化贯穿其中，为学生提供丰富的情感支架．七年级“一元一次方程”起始课可介绍“莱因德纸草书”中的数学问题：一位叫阿姆士（约公元前1680－前1620）的古埃及抄写员记录了这样一个问题：“一个量加上自身的四分之一等于15”，用现代记法写出来，就是已知x＋14x=15，求未知数x．阿姆士处在代数萌芽的阶段，他当时使用了试错法求解．学生通过比较当时的方法和现在的方法可以获得这样的感悟：一是试错法求解的效率太低了，二是人类文明的进步来之不易．事实上，代数学在起源阶段与解方程同义．这样的教学可以改变学生对“方程”无感的心向，增强学生学习的信心．

有经验的教师在教学中善用隐喻，以帮助沟通学生的生活现实和数学现实．现代认知语言学认为隐喻不只是一种语言现象，而是人类认知和建构世界的思维方式．这也是情绪情感上由远及近教学策略的体现．

2.2 语言表达，由表及里

《课标（2022版）》指出“数与式”是代数的基本语言．语言和思维密不可分，加强语言表征能力是开展代数推理的思维前提．维果斯基把语言的发展分为连续发展的三个阶段，分别是外部语言阶段、自我中心语言阶段和内部语言阶段，学生在代数语言的习得过程中同样会经历这三个阶段．学生处于自我中心语言阶段时，会使用与教师所说的相似的指导语言来控制和调节自己的行为，这个细节是教师在日常教学中容易忽视的．教师应示范如何分析特定语句的数学意义，准确把握语句之间的关系，从而用对等的符号语言再现原语的信息．随着经验的增长，学生进入内部语言阶段，对自己说话越来越简化．当自然语言退到幕后，符號语言从表层结构逐步过渡到深层结构，例如：

1.任意两个不相等的有理数都可以比较大小．

2.任意两个有理数a，b，如果a≠b，则a大于b或a小于b，二者必居其一．

3.任意两个有理数a，b，如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＜0，则a＜b．

……

当符号语言递进发展到一定高度后，可出示下列问题：如何说明在任意两个不相等的有理数之间存在无数个有理数（即有理数的稠密性）？

推理中的语言转化流程见表1.

2.3 规则理解，由小见大

推理离不开规则，代数推理的规则包括书写规则、运算规则、逻辑规则等，规则为直觉性越来越少的理论提供基础．规则上由小见大，是指在教学中不把目光仅仅盯在规则的运用上，能为学生揭示数学符号的优美以及蕴含其中的数学思想，否则只是用了推理，但并未研究推理．正如袁隆平院士在回忆录中所述，他上学时不理解“负负得正”，老师说只要记住结论就行了，从此给袁隆平留下“数学不讲理”的印象．其实，要让学生体会到“负负得正”法则的合理性，可从归纳法或者运算系统的自洽性等角度来启发学生思考，即便是一句“敌人的敌人就是朋友”也能给人启迪．规则的理解有时需要帮助学生“开脑洞”，让学生思考“如果不这样，会怎样？”体现由小见大的策略．

例如，在学习乘法公式时，为了防止学生发生混淆，教师往往采用大运动的机械训练，效果并不理想．不妨设计下列问题：你认为式子（a－b）²=a²－b²成立吗？说说你的理由．学生在教师的鼓励下，会从各种角度去思考不一定成立的理由．如：（1）代入具体数字，举出反例；（2）画出图形，发现面积不等；（3）直接对等式左边进行计算；（4）等式左边a，b交换位置后值不变，即式子具有对称性，而等式右边的式子不具有对称性；（5）将等式右边因式分解，可以推出等式成立的条件是“a=b或b=0”．实质上，（a－b）²=a²－b²作为一个等式本身并无正误之分，只不过这是一个条件等式，不具有普遍性，因此不能作为公式使用．可见规则虽小，内涵不小．在规则理解上小中见大，规则本身也能成为代数推理的素材．

我们观察到，七年级学生在解决“P→Q”与“Q→P”时，书写过程往往不加以区别．可见，学生的“自然”思维与形式化的程序之间常常是背道而驰的．教学时首先要引导学生全面地分析条件和结论之间的关系，建立推理的基本形式和规范．

2.4 形式操作，由此及彼

形式操作是代数推理能力的核心．形式操作上由此及彼，是指教学中应注重层次性．从代数推理能力的外在表现看，在理解水平上，学生总是小心翼翼地模仿，避免在抽象世界里犯错，由于同类的形式操作，如因式分解、待定系数法、代入消元法等，有着相同的结构和程序，这些操作能很快进入平淡的、不假思索的自动化阶段；在迁移水平上，学生需要在不熟悉的情境中唤醒各种操作程序，并加以选择性使用；如果各种常规程序都不能解决问题，学生能自主创造出新的操作模式，可以认为其已经具有了创新能力．

笔者为了考察本校七年级学生形式操作能力，连续两周分别设计了下列试题进行测试：

问题1：小敏认为，对于六位数abcdef（其中a，b，c，d，e，f均为不超过9的自然数，且ad≠0），如果abc与def的差能被7整除，那么这个数就能被7整除．你认为小敏的结论正确吗？若正确，请给出证明；不正确，请举出反例．

简答：设abc－def=7k（k是整数），则def=abc－7k．

因此，abcdef=1000abc+def=1000abc+abc－7k=1001abc-7k=7（143abc－k），故得证．

问题2：小红认为，对于六位数abcdef（其中a，b，c，d，e，f均为不超过9的自然数，且a≠0），如果（a+c+e）与（b+d+f）的差能被11整除，那么这个数就能被11整除．你认为小红的结论正确吗？若正确，请给出证明；不正确，请举出反例．（简答略）

两道试题的得分率分别是42.6%和47.9%，这表明，学生的形式操作能力很难在短时间内通过训练获得实质提升．正如弗莱登塔尔所提倡的“与其学习形式化的数学，不如学习数学的形式化．”在形式操作训练上，既要采用“形同质同”的推理问题，让学生在归纳与类比中获得基本经验，也要设计“形同质异”的问题，防止学生出现盲目类比、思维固化．

2.5 认知结构，由博返约

尽管学生在数与代数领域的学习中，处处离不开代数推理，但是未必能获得对代数推理的整体认识．因此，《课标（2022版）》提出要“了解代数推理”，这对健全学生有逻辑、有结构、有体系的推理知识很有必要．认知结构上由博返约是指在学生在获得了大量代数推理的具体经验之后，教师要引导学生对其进行综合、归纳，并形成基本的原理、原则和方法，用少量的观念性的知识对后续的代数推理活动起到统领作用．

了解代数推理，包括了解推理的共性特征和代数推理的具体特征．首先，教学中应设计不同类型的推理活动，让学生认识到演绎推理是必然性推理，归纳推理和类比推理有可能是必然推理也有可能是似然推理．归纳和类比是获得新的猜想和结论的主要途径．对简单的形式逻辑有初步感知，理解论证全称命题和特称命题时中所运用推理方式的区别.其次，要培养学生的符号意识，理解运用符号运算进行推理所获得的结果具有一般性．不孤立地教授各种代数方法，而要揭示它们之间的联系，如数系通性在代数运算中所具有的“灵魂”作用，代数中的等價类，不同代数方法背后所共有的数学思想等.最后，还要鼓励学生去理解、解释自己或他人的代数推理过程，学会判断一个推理是否存在逻辑错误，推理过程是否需要优化，逐步形成逻辑表达与交流的习惯．

3 结束语

上述五类学习支架为学生代数推理能力的养成提供了相对完整的支持作用，实践表明教师的示证阶段不可跳过．通过对代数推理的教学研究，可以更好地理解学生的推理能力是如何发展的．提倡运用教育现象学的方法，去关注我们的教育生活体验，看学生对推理过程有没有信心，在推理过程中有没有理性精神涌现，让代数推理教学研究体现鲜明的实践性、浓郁的人文性、至高的规范性、强烈的反思性，为提升学生核心素养作出有益探索.

参考文献

［1］鲍建生，章建跃.数学核心素养在初中阶段的主要表现之五：推理能力［J］.中国数学教育，2022（19）：3-11.

［2］张广祥，张奠宙.代数教学中的模式直观［J］.数学教育学报，2006（01）：1－4.

作者简介 吕小兵（1981— ），男，中学高级教师;主要从事初中数学教育研究工作．