在“做数学”中培养学生数学思维能力

【摘 要】“做数学”以学生沉浸式体验，“动态”感知知识结构，秉承“手脑协同”理念，获得数学活动经验.做中思，达成思想感悟，培养学生数学思维能力：理解数学概念本质，培养直观思维能力；理解数学基本事实和原理，培养抽象思维能力；增强运算能力，发现数学规律和关系，培养代数推理能力；经历数学“再发现”，培养创新思维能力；激发学生质疑问难，培养批判性思维能力.

【关键词】“做数学”；思维能力；活动经验

数学思维就是通常所指的数学思维能力，即能够用数学的观点去思考问题和解决问题的能力.《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标2022版》）指出，数学思维主要表现为：运算能力、推理意识或推理能力^［1］.然而，数学源于对现实世界的抽象获得研究对象，基于抽象结构，以符号运算、形式推理、模型建构等多元化方式理解和表征现实世界中事物的本质属性、结构关系和变化规律.随着初中教学内容的快速增长，思维形式逐步从具象过渡到抽象，且抽象程度越来越高，造成学生对于初中数学的学习产生了畏惧感.

夸美纽斯倡导：“教一个活动的最好方法是演示，学一个活动最好的方法是做.”“做数学”是学生运用材料和工具，在动手动脑过程中，通过操作体验、数学实验、综合实践等活动，理解数学知识，探究数学规律，解决问题的一种学习方式.因此，“做数学”强调的不是简单动手做一做，而是需要动脑思考，通过学生参与，建立数学知识和经验的联系，激发学生独立思考与深刻感悟，从而激发学生学习兴趣和探究欲望.数学中很多概念和法则的形成、公式的由来、定理的理解，可以在教师的引导下，运用有关工具，通过实际操作，在认知与非认知因素参与下进行理解数学知识、发现数学结论、验证数学结论，从动手操作、体验探索、逻辑思辨中，增强对问题思考和理解的深刻性，在将“冰冷的美丽”变成“火热的思考”历程中培养学生的数学思维能力.

1 “做数学”揭示概念本质，培养直观思维能力

数学直观思维能力的核心在于将数学问题用图象、图表等直观性元素表达出来，在直观性元素应用下了解数学知识间的联系，继而帮助学生厘清数学知识体系，深入理解数学知识内容.培养学生直观思维是学生正确认识数学知识的保障，因此将直观思维能力培养渗透到初中数学教学中，转变课堂学习模式，拓展学生思维，进而构建高效数学课堂.概念是反映事物本质属性的思维形式，是从现实生活中抽象出来.基于初中学生直观思维相对较强的特征，在概念教学时，应根据学生已有活动经验和基础，以“做数学”的方式，学生“手脑协同”，经历“操作—体验—感悟”的过程，在习得概念、获得结论中，由“动态”活动经验串联“静态”文本知識，并用数学的语言和符号表征原汁原味的数学现象，自然揭示知识本质，培养直观思维能力，形成数学对象之间的联系.

例如，画“螺旋图”感受无理数的存在性.

如图1，OB=BA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄=A₄A₅=…=1，

∠A₁BO=∠A₂A₁O=∠A₃A₂O=∠A₄A₃O=∠A₅A₄O=…=90°.

（1）我们知道a²₁=2，且a₁是无理数，试计算a²₂，a²₃，a²₄，a²₅，…的值.你能知道a₂，a₃，a₄，a₅，…这些数据中哪些是有理数？哪些是无理数？

（2）你能在数轴上画出表示a₂，a₃，a₄，a₅，…这些数的点吗？

《课标2022版》指出：利用数学专业软件等教学工具开展数学实验，将抽象的数学知识直观化，促进学生对数学概念的理解和数学知识的建构.教学中利用“尺规作图”构造直角三角形，运用勾股定理计算“斜边长”，发现无理数的客观存在，通过“尺规”操作，在数轴上找到相应无理数的点，扩充数域，完善实数体系.学生经历作图，理解抽象的无理数：直角三角形边长和数轴上的点对应表征，结合“直观”的有理数整体建构，进一步理解“实数与数轴上的点一一对应”的关系.

“做数学”通过学生亲自操作，将抽象的数可视化，形象地理解并揭示无理数的本质属性.数轴提供了数及其关系的直观模型，从“数”到“形”、从“形”到“数”的互逆过程，“扮演”了理解数的概念、大小关系及运算的基本工具角色，提供直观思维的“平台”，加深学生对数学知识本质的理解，建立数学对象之间的联系.

2 “做数学”理解数学事实和原理，培养抽象思维能力

抽象思维是指从具体事物中，抽取本质属性，舍弃其他非本质属性的思维过程，通过对现实世界中数量关系与空间形式的抽象，得到数学的研究对象，形成数学概念、性质、法则和方法，以分析、综合、比较、抽象、概括和具体化作为思维的基本过程，从而揭露事物的本质特征和规律性联系.《课标2022版》指出：基本事实是反映数学最基本的规律和特点的，经过长期实践检验得到普遍认可的，无需证明的事实.因此，数学基本事实具有真实性、基础性和可感知性，是构建数学内部逻辑体系的根基.史宁中教授认为，要在数学教学过程中引导学生学会思考问题，要知道自己思考问题的开始是什么，没有合理出发点的论据是没有根据的，只有建立在论据基础上才能够合乎逻辑地解释或论证数学的基本方法与结论，才能进一步分析、解决简单的数学问题和实际问题.学生经历“做数学”体悟数学基本事实的合理性，进而将其作为知识生成体系中的“种子”，作为推理的依据，逐步构建数学内部逻辑体系.

例如，转木条感受“同位角相等，两直线平行”这一基本事实.

如图2，3根木条（或硬纸板）相交成∠1，∠2，固定木条b，c，转动木条a.在木条a的转动过程中，木条a，b的位置发生了什么变化？∠2与∠1的大小关系发生什么变化？

在教学中，教师鼓励学生自己动手操作、观察、想象，得出结论.在转动a的过程中，∠2与∠1的大小关系为3种情况：大于、等于、小于；a，b所在的直线的位置关系有两种情况：相交或平行.思考两者之间的联系与转化，当∠2=∠1时，a与b平行.从平行线的画法（如图3），研究直线a，b平行的原理，由于直尺不动，三角尺在平移过程中，其对应角（∠2=∠1）的大小不变，由此感知画平行线实际上就是画相等的角.反之，若∠2与∠1不相等，可直观察得出a，b会相交于c的某一侧，于是通过观察、比较，形成“同位角”概念，进而得出两直线平行的条件：同位角相等，两直线平行.在此基本事实基础上，类比探究，获得“内错角”“同旁内角”概念，推导出“内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行”的判定条件，从而建立平行线判定方法的逻辑体系.而后，进一步探索平行线的性质及其应用，形成知识结构网络.

“做数学”由学生操作、观察、交流，完成对数学基本事实的抽象、归纳和理解.基本数学事实本质属性，始于抽象的“思”，终于表象的“理”，为此“做数学”需要在数学抽象中继续深入研究，引导学生从形象思维过渡到抽象思维，建构知识体系，从直观的“做”到抽象的“思”，“做数学”对学生抽象思维的培养发挥着独特作用，进而使数学内部逻辑体系自然发生.

3 “做数学”增强运算能力，培养代数推理能力

运算能力是指运用有关运算的知识进行运算、推理求得运算结果的能力.运算实际上是一个演绎推理过程，运算即是推理.《课标2022版》指出：学生应该“能够通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻找证据给出证明或举出反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，是代数推理的具体表现.代数推理是数学思维的重要内容，学生的思维能力发展与心智水平密切相关，通过运算联想“式结构”，大胆尝试，在归纳的过程中引导学生发现其合理性，循序渐进的发现变化规律，从而养成有条理做事的习惯.“做数学”经历运算、猜想、验证、归纳，将“冰冷”的符号运算“趣味化”，让学生感受数学逻辑结构“好玩”，外加一个有力的演绎逻辑，从而确定结果是否正确，甚至可以发现新规律.

例如，勾股数特征的探究：直角三角形三边长都是整数称为勾股数，勾股数有多少？勾股数有规律吗？

活动1 试构造5组造勾股数

学生写出：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41.

引导学生思考，构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“两个数的平方和（差）等于第三个数的平方”，即满足以下形式：

（）²+（）²=（）²①

或（）²-（）²=（）²②

要满足上述①或②形式，不妨从乘法公式入手.我们已经知道：（x+y）²－（x－y）²=4xy. ③

如果等式③的右边也能写成“（）²”的形式，那么它就符合②的形式.因此，只要設x=m²，y=n²，③式就可以化成：（m²+n²）²－（m²－n²）²=（2mn）²

于是，当m，n为任意正整数，且m>n时，“m²+n²，m²－n²和2mn”就是勾股数.根据勾股数的这种表达式，就可以找出无数组勾股数.从探索到的勾股数表达式，构造勾股数并填写在表格中.不难看出，它们是特殊的勾股数，每组数中都有两个连续的奇数.你能借助在上面的活动中探索得到勾股数的表达式，探索并构造这样的勾股数吗？

在表1中填写勾股数：

活动2 一位科学家在他找到的勾股数的表达式中，用2n²+2n+1（n为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，你能找出另外两个数的表达式吗？

活动3 课后查询资料，思考毕达哥拉斯数组、柏拉图数组、丢番图数组的相通之处，写出来，并说明理由.

“做数学”理念下探索“勾股数”的数学活动，不仅增强了数学运算能力，更发展学生的代数推理能力，具有较丰富的数学教育价值.从熟悉的勾股数入手，根据式结构，大胆尝试，联想乘法公式.分析思考勾股数的本质是三个正整数间的关系，根据形式，灵活换元，探究结论，发现规律.通过“做数学”探索并发现了多种构造勾股数的方法，还能体悟数学家们的智慧结晶.

4 “做数学”经历数学“再发现”，培养创新思维能力

创新思维是指人们在认知世界的过程中，以及创造具有独创性成果的过程中，表现出来的特殊的认识事物的方式，是人们运用已有知识和经验提高开拓新领域的思维能力.弗赖登塔尔指出：“将数学作为一种活动来进行解释和分析，建立这一基础之上的教学方法，称之为再发现方法.”教学中“再发现”是指把教学过程设计成知识的发生、发展自然生长过程，引导学生在自我认知过程中建构新思维.在探究历程中，引发学生“做”中“思”，再探究，让学生在所思、所悟中提升思维深度，从而培养数学创新思维能力.

例如，从“拼图：理解乘法公式的意义”到“其他公式”的再发现.

“出入相补”原理是中国古代数学中一条用于推证几何图形面积的基本原理，其基本内容：一个几何图形，可以切割成任意多块任何形状的小图形，总面积保持不变，总面积等于所有分割成的小图形的面积之和.从图4拼图教学中，帮助学生形象理解完全平方公式（a+b）²=a²+2ab+b²的几何意义.有学生从平面图形联想到立体模型（图5）发现（a+b）3=a3+b3+3a²b+3ab²关系式.另有学生沿对角线将两个矩形剪成四个全等的直角三角形，在拼图中意外获得勾股定理的证明：图4是由两个边长分别为a、b的正方形和两个矩形构成；图6是由四个直角边长分别为a，b的直角三角形和边长为c的正方形构成.对比两个图，图4两个小正方形（阴影部分）面积和等于图6小正方形（阴影部分）面积，即c²=a²+b²，感叹学生的创新思维能力！

从图4和图6正方形拼图得到完全平方和勾股定理的思维启发，拓展到一般情况，长方形按类似操作迁移，易知图7阴影部分面积为ac+bd，图8阴影部分面积为a²+d²·b²+c²·sinα，两者数量相等.因为sinα≤1，所以通过平方可得（ac+bd）²≤（a²+d²）（b²+c²），诞生二维形式柯西不等式.当两直角三角形斜边夹角为90°时，“=”成立，此时两三角形相似即ab=cd.在此，不得不佩服学生的再创造思维能力！

“做数学”不能停留在简单获得某一公式、操作与观察、达到理解的层面，更要运用类比与联想，激发学生思考，进入深度思维，指向问题本源，经历“再发现”过程，才能更好激发学生的创新思维能力.

5 “做数学”产生质疑问难，培养批判性思维能力

批判性思维是以一种合理的、反思的、心灵开放的方式进行思考，从而能够清晰准确地表达、逻辑严谨地推理、合理地论证，以及培养思辨精神.《礼记·中庸》中提出“博学之、审问之、慎思之、明辨之、笃行之”的教育理念，其中“审问”“慎思”“明辨”表达了要有批判性思维的观点.《论语·述而》中“不愤不启，不悱不发”说明学习过程中质疑的重要性.因此，教学中的质疑问难，通过问题的设置引发学生的思维认知冲突，激发学生深入研究的意识，通过动手实验，理性验证，解决疑惑，感受成功的体验.以质疑为引导，不断探究，不断解决问题，发展质疑问难的批判性思维，形成实事求是的科学态度，逐步养成讲道理、有条理的思维品质，形成理性精神.

例如，问题1：图9是一张8×8的正方形纸片，把它剪成4块，按图重新拼合.这4块纸片恰好能拼成一个长为13、宽为5的长方形吗？

学生观察图9和图10，直观判定是“可以”拼成，但马上有学生提出不同意见.通过计算和分析发现：图9正方形的面积为64，而图10长方形的面积为65，面积不相等，因此不能构成，引发学生认知冲突.为此，让学生按图分割正方形紙片，通过拼接发现：直角三角形斜边与梯形一腰不在同一直线上，而直角三角形斜边与梯形的腰刚好构成一个面积为1的平行四边形.视觉直观引发“它们”似乎在同一直线上的错觉，于是进一步引导学生思考下面的问题.

问题2：将一个正方形纸片按上述方式进行裁剪后，重新拼合，能否拼成一个长方形？若可以，又该怎么裁剪？

学生思考，改变裁剪位置期待拼成长方形，将图9、图10中的数据8，5分别替换成a，x.如图11，12，利用剪拼前后图形面积相等，列出方程（a+x）x=a²，整理为x²+ax－a²=0，解得x₁=－1+52a（x₂=－1－52a舍去）.从而发现x₁a=－1+52蕴含着“黄金分割”的奥秘.

在“做数学”这一开放、多元的活动中，容许学生“犯错”，营造敢于质疑、敢于批判的思辨气氛，激发学生主动思考的内驱力，体现学习的主体地位，体验数学学习的方法不全是证实，也可以是通过证伪，引发大家质疑思考，在交流合作中发现数学本质，进而证实，由此培养学生批判性思维能力.

结束语

“做数学”可以改变学生学习数学的知识形态，化抽象为形象，化结果为过程，化静止为动态，改变学生数学学习方式，变被动接收为主动探究，变“离身”思辨为具体体验，变“半脑”学习为全脑学习^［2］.因此，在“做”与“思”融合中，一方面培养了学生动手实践意识和问题解决能力，另一方面又培养了学生批判质疑精神和提出问题能力，进而使学生逐渐养成理性思维意识和创新思维能力.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.义务教育课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社.

［2］董林伟，石树伟.做数学：学科育人方式的实践创新［J］.数学通报，2021（04）：22-24.

作者简介 王明（1984—），男，江苏昆山人，中小学一级教师，苏州市学科带头人;主要从事初中数学教学与研究，曾获江苏省基础教育教学论文评比一等奖.