反推分析寻突破 深度挖掘探本质

【摘 要】以一道几何压轴题为例，分析低分率的原因并通过分析法寻找解题突破点，尝试找到解法间的联系，为学生提供解题方向.然后对试题研究后拓展原题结论并进行变式研究，开拓学生解题思路的同時并发展学生的数学素养.

【关键词】分析法;变式;数学素养

1 原题呈现

题目 如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，点D是边BC

上的任意一点，以AD为边在其右侧作等边三角形ADE，并连结EC.

（1）当点D与顶点B重合时，求证：点E恰好是BC的中点;

（2）当点D在线段BC上时（不含B，C两端点），求证：AE=EC.

2 试题剖析

本题来源于一道中考模拟题，第（1）问较常规，得分率较高.而第（2）问的得分率只有11%，原因其一：大多数学生想从等角对等边入手，要证明AE=EC，即证明∠EAC=∠ACE.因此尝试把这些角表示出来，如图2，设∠BAD=α，则∠EAC=30°－α，∠EDC=α，但是始终无法表示∠ACE.如果绕进了想去表示∠ACE的这个圈子出不来，那就会消耗大量时间，也就影响了问题的解决.

其二：学生缺乏对含30°角的特殊直角三角形性质的充分认知，无法充分利用各边的比例关系获取相应线段的等量关系，也缺乏几何中证明两线段相等的相关经验，因此无法找到解决问题的有效路径.

如何引导学生去分析图形特征？如何发现解题的思路？因此本文尝试从分析法入手找到解题的突破点，让解题思路更加流畅，同时进一步挖掘题目的本质内涵.通过对试题的深度研究，拓展原题的结论并进一步变式改编从而激发学生的兴趣，引发学生的思考，最终提升学生的解题能力和综合分析能力.

3 解法探究

《义务教育数学课程标准（2022年版）》中指出：“在直观理解和掌握图形与几何基本事实的基础上，经历得到和验证数学结论的过程，感悟具有传递性的数学逻辑，形成几何直观和推理能力.”^［1］因此，在日常解题教学中，教师要引导学生尝试挖掘图形隐藏的信息，培养学生化繁为简、化难为易的转化思想，促进学生学会合乎逻辑地去思考，促进学生自然生成解题思路.

本题要证明两条线段相等，常用方法有：全等三角形、线段垂直平分线、等角对等边、直角三角形斜中线、平行四边形的性质、圆的性质等.基于图形中有两个特殊三角形，分别是含30°角的直角三角形和等边三角形.本文引导学生分析图形的结构特征，尝试通过分析法寻找解题的突破点.

3.1 反推分析明思路

原题中要证明AE=EC，通过反推分析当AE=EC时，必然点E在线段AC的中垂线上.如图3，直线NM为AC的中垂线，那么必然有与AC的交点N和与BC的交点M，这两个点的位置其实很特殊，分别是AC和BC的中点.因此也就有了解题的思路，如果以点N的角度出发，那么作EN⊥AC，只需证明AN=NC；而若以M点的角度出发，那就找到BC的中点，也许利用直角三角形斜中线会产生新的解题思路.

3.2 转化思想造全等

上述3.1中根据反推分析，若作一条高EN⊥AC，则需证明AN=NC.经过分析直接找全等三角形证明AN和NC相等有点困难，而含30°角的直角三角形成为解题的关键.因为AC=2AN，若作一条高AM，则AC=2AM，所以此题转化成证明AN=AM，只需证明△ADM≌△AEN即可.

证明1 如图4，过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥AC于点N.

因为∠DAM+∠BAD=30°，∠EAN+∠BAD=30°，所以∠DAM=∠EAN.因为∠AMD=∠ANE=90°且AD=AE，所以△ADM≌△AEN，即AM=AN.因为在Rt△AMC中，∠ACM=30°，所以AC=2AM.又因为AM=AN，所以AC=2AN，从而EN垂直平分AC，所以AE=EC.

说明1 该解法利用数学转化思想，将证明AN=NC转化成证明AN=AM，充分利用了含30°角直角三角形的特殊性质.当然也可以过点E往BC作垂线段，过点D往AC作垂线段，辅助线的构造不一样而解法是类似的.

3.3 巧用中点破困局

上述3.1中根据反推法，可以知道BC的中点M是个特殊的位置，若利用好这个点可以达到事半功倍之效.因此可以往直角三角形的斜边中点出发，当然也可以利用辅助圆来用好这个中点.

证明2 如图5，取BC的中点M，并连结AM和ME.

因为M是斜边BC的中点，所以AM=BM=CM.因为∠B=60°，所以△ABM是等边三角形.因为AB=AM，∠BAD=60°－∠DAM=∠MAE，AD=AE，所以△ABD≌△AME，所以∠AME=60°，∠EMC=180°-∠AMD-∠AME=60°.因为AM=MC，∠EMC=∠AME，EM=EM，所以△AEM≌△CEM，即AE=EC.

证明3 如图6，过点A，D，E作圆O交BC于点M，分别连结AM和EM.

因为A，D，M，E四点共圆，所以∠AMD=∠AED=60°，∠AME=∠ADE=60°.因为∠AMD=60°且∠MCA=30°，根据三角形外角性质得∠CAM=30°，所以AM=MC.因为AM=MC，∠EMC=∠AME=60°，EM=EM，所以△AEM≌△CEM，即AE=EC.

说明2 证明3其实是在证明2的基础上改进，证明2通过斜中线来构造全等三角形从而找到对应等量关系，而证明3通过作圆直接找到中点，利用圆周角性质获得角的等量关系.辅助圆的添加，让解题变得更加简洁，提高了解题速度，也可以更好的凸显题目的本质，一切变得非常明了简单^［2］.

3.4 以数助形新思路

由上述3.1分析，要证明AE=EC，过点E作EM⊥AC于点M，证明AM=MC即可.在试题剖析中只考虑角度无法解决问题，因此尝试将角度和长度两个量相互结合，用三角函数法进行解题.

证明4 如图7，过点E作EM⊥AC于点M，过点D作DN⊥AB于点N，设∠BAD=α，则∠EAM=30°－α，设AD=AE=r.在△ABD中，AN=rcosα，DN=rsinα，BN=DNcotB=33rsinα，则AB=AN+BN=rcosα+33rsinα.又因为在

Rt△ABC中，∠ACB=30°，所以AC=3AB=3rcosα+rsinα.在Rt△AEM中，因为AM=rcos（30°－α）=32rcosα+12rsinα，所以AC=2AM，即ME垂直平分AC，从而AE=EC.

说明3 解法用三角函数充分利用了角和边的关系，以数助形，把几何问题转化成代数问题，当然如果能利用正弦定理来表示AB会更加快捷.三角函数法在思维上更加直接，最终也转化成纯粹的代数计算.当然三角函数法更多的应用在高中数学，对初中生来说还是有一定的难度，也打通了初中数学和高中数学的联系.

4 深度研究

研究一道题，多解是一种追求，但更重要的是挖掘问题的本质，目标是“做一题，会一类，通一片”^［3］.在学生研题解题过程中，不仅是知识技能的学习过程，更是融入观察、阅读、思考，体现几何直观和推理能力的过程.有助于学生的深度学习，让学生学会类比迁移，达到“授人以渔”的教学目的.

好的题目需要回味，题目的原型是什么？有没有更加一般的情形？能否再提出更深层次的问题？^［4］带着这样的思考，本文尝试将原题的结论进一步拓展，

最后完成对试题的再改编.

①点D的位置由线段BC拓展到直线BC上

原题中点D的位置是边BC上的一点，考虑到特殊情况，如果点D恰好与点B重合，如图8（1），就是典型直角三角形斜中线问题了，显然有AE=EC，这就是题目的原型.继续探究点D的位置从线段BC拓展到直线BC上，那么就出现图8（2）和图8（3）的情形，此时原题的结论依旧成立，原题的解题方法也同样适用于其他情形，具体证明略.通过对原题的拓展，进一步培养学生的分类讨论的数学思想，培养学生融会贯通的能力，提升学生的深度思考能力.

结论推广1 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，点D是边BC所在直线上任意一点，以AD为边在其右侧作等边三角形ADE，并连结EC，均有AE=EC.即点E刚好在AC的中垂线上，点E的运动轨迹刚好是一条直线.

②拓展以AD为边在其左侧作等边三角形

原题中是以AD为边在其右侧作等边三角形ADE，如图9，试想在AD边的左侧作等边三角形是否还有类似的结论，很显然AE≠EC.如图9（2），通过几何画板尝试，当点D在BC所在直线上运动时，点E的运动轨迹刚好是BE所在直线，因此必然可以找到一个点C′，使得AE=EC′.

如图9（3），尝试利用轴对称视角解决此问题，在△ABC中作BC边上的高AF，将△ABC以AF为对称轴作对称图形△AB′C′.此时把等边三角形ADE和Rt△AB′C′结合起来看就和原题一致了，此时点E的运动轨迹自然是一条直线，也有AE=EC′.

结论推广2 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，以AD为边作等边三

角形ADE.当动点D在边BC所在直线上运动时，点E的运动轨迹是一条直线.

③基于原题的再改编

通过上述的探究，将本题动点D位置的研究从线段拓展到直线，同时也进一步研究了动点E的运动轨迹.因此，将原题模型与圆进一步结合，同时加入动点运动轨迹探究，通过润色改编得到以下变式.

变式 如图10，点A，B，C在以BE为直径的⊙O上，且有AB=BC，分别连结AB，BC，AO和EC.

（1）求证：∠BAO+∠BEC=90°.

（2）F是直径BE上的任意一点，连结CF，以CF为边在其右侧作等边三角形CFG，并連结GE，若AB=2，∠BAO=60°.

①求证：CG=GE.

②点F从点B运动到点E的过程中，点G也随之运动，求点G运动轨迹的长度.

命制说明 本题主要考查圆的基本性质、三角形知识初步、特殊三角形、全等三角形、中垂线定理，和学生几何直观、推理能力的素养.掌握圆背景下的角度计算、基于圆构造辅助线，以及利用全等三角形或者辅助圆等方法证明两线段相等是解题的关键，辅助线的添加方法较多，多解归一，同时也将静止图形动态化，培养学生的几何直观.

5 启示总结

好的几何试题往往一题多解，入口较宽，思考的角度是多样的，其中隐含的信息和潜在的价值有待教师在使用中进一步挖掘.以这样类型的几何试题作为素材，能让学生通晓图形的基本特点和背后蕴藏的数学思想、方法，让学生的思维在多解中拓展.

当然解题不是终点，应该从更高层次去挖掘问题、探索问题、解决问题．题目是需要研究的，教师解题研究能力的高低直接影响着学生对问题理解的深度．凡事多问几个为什么，只有想得多，才能看得透问题背后的本质;只有站得高，才能看得到问题背后的立意．

有了解题和研题的基础，教师可以更好的理解变式，设计更多有深度、可以促进学生思考并且提高学生推理能力的好题目，让学生的能力在变式中提升.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］傅华英，何训光.添圆搭梯解难题［J］.中国数学教育（初中版），2021（11）：53-58.

［3］应佳成，李馨.初中数学平面几何30讲［M］.杭州：浙江大学出版社，2019：114-117.

［4］张湘君.一道几何题的变式研究［J］.数学通报，2011（11）：36-41.

作者简介 俞黎卿（1990-），男，浙江杭州人，硕士;主要从事数学教学研究.