求解不等式恒成立问题的嫌疑点法

重庆市璧山区教师进修学校(402760) 秦文波 刘志成

重庆市璧山中学校(402760) 蒙春雪

一、问题的提出

含参不等式恒成立问题是高考命题的热点,也是教学的重点和难点.对该类问题的简化求解激发了广大师生和研究者的研究兴趣,从相关文献来看,确实形成了不少有效成果.这些成果从方法的角度大致可以分为三类:直接法、分离函数法和必要性探路法.

从我们的教学和解题实践来看,这三类方法虽然各有优劣,但相较而言必要性探路法更易切入和更具可操作性,但此类方法也有难点,那就是如何寻找“最合适”的必要条件.如果选取的必要条件“不够精确”,那就不能达到降低难度的目的.怎样让必要性探路探得更精确些? 有学者提出了“端点效应法”、“零点效应法”、“切点法”和“极值点法”等等,这几类方法对某些问题的解决确有奇效,但它们都未能将必要性探路探得“最精确”,未能探出充要条件.什么样的必要条件才能探出充要条件? 本文对此作一些探讨.

二、基本问题与思路

基本问题:已知f(x)是含参数a的可导函数,若∀x ∈[m,+∞),f(x)≥0,求实数a的取值范围.

基本思路:类比可导函数在闭区间上最值的求法,将所有可能影响函数图象走势的关键点找出来,通过控制函数在这些点处的局部图象走势,去控制函数图象在整个区间上的整体走势,从而保证函数图象全部不在x轴下方,确保所有函数值非负.

三、引例与约定

引例1(2020年高考全国Ⅰ卷理科第21 题节选)已知函数f(x)=ex+ax2−x.当x≥0 时,求实数a的取值范围.

说明依题意,(x≥0)恒成立.g(0)=0,g′(0)=0.

引例2(2017年高考全国Ⅲ卷理科第21 题改编)已知函数f(x)=x−1−alnx.若求a的取值范围.

说明,

引例3(2015年高考山东卷理科第22 题改编)设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2−x).若∀x≥0,f(x)≥0,求实数a的取值范围.

说明f(0)=0,f′(0)=1−a,

为了叙述方便,本文作如下约定:

(1)真零点与嫌疑零点:对于含参数a的可导函数f(x),若f(t)=0 对a ∈R 恒成立,就称t为f(x)的真零点;若f(t)=0 成立但t与参数a有关,则称t是f(x)的嫌疑零点.

如例1 中的0 是g(x)的真零点,2 是g(x)的嫌疑零点;例2 中的是f(x)的嫌疑零点,1 是f(x)的真零点;例3中的0 是f(x)的真零点.

(2)真零切点与嫌疑零切点:对于含参数a的方程组若其解为则x0叫做f(x)的真零切点,若其解为则x0叫做f(x)的嫌疑零切点,将这两种点x0统称为零切点.

如例1 中的0 是g(x)的真零切点,2 是g(x)的嫌疑零切点;例2 中的1 是f(x)的嫌疑零切点;例3 中的0 是f(x)的嫌疑零切点.

四、三类关键点

一般地,影响函数图象走势进而影响函数值符号的关键点有三类:区间左端点、区间右端点和区间内部的零切点.下面逐一分析.

(一)区间左端点

要使f(x)≥0,就必须有f(m)≥0,但要确保从左端点m出来后的函数值非负,仅有f(m)≥0 是不够的,需要对x=m处的函数值或导数值分情形限定.

情形1m是真零点

当m是f(x)的嫌疑零切点时,根据函数的连续性及导数的几何意义知,只有f′(m)≥0 时,才能确保f(x)在x=m处的右邻域[m,m+δ)(区间很小,δ是个充分小的量)内函数值为正;当m是f(x)的真零切点时,若f′′(m)̸≡0 则必须要求f′′(m)≥0,若f′′′(m)̸≡0 则必须要求f′′′(m)≥0,如此继续,直到找到不恒为零的导数值并令其非负,才能确保f(x)在x=m处的右邻域[m,m+δ)(区间很小,δ是个充分小的量)内的图象不会位于x轴的下方.

情形2m是嫌疑零点

由于m是f(x)的嫌疑零点,所以f(m)的符号不确定(依赖于参数a的取值).f(x)在x=m处的图象只有位于x轴的上方或者与x轴相切才可能满足条件,而且与x轴相切后图象必须上升.因此,若m不是f(x)的零切点则需要满足f(m)>0,若m是f(x)的嫌疑零切点则需要满足f(m)≥0.

(二)区间内部零切点

从左端点出来的f(x)的图象已经在x轴的的上方,但其接下来可能往上走也可能向下走,若要确保其一定不穿过x轴,只要将其可能与x轴相交的点的横坐标变为零切点,并且该零切点为极小值点即可.因此,区间内若存在零切点x0则需要分情形限定.

情形1x0是真零切点

若f′′(x0)̸≡0,则需要f′′(x0)≥0;若f′′(x0)≡0,f′′′(x0)0,则需要f′′′(x0)≥0;如此继续,直到得到不恒为零的导数值,并令其非负即可.

情形2x0是嫌疑零切点

若x0是f(x)的真零点且f′(x0)̸≡0,则需要f′(x0)=0,f′′(x0)>0;若x0是f(x)的嫌疑零点,则需要f(x0)≥0.

(三)区间右端点

由于区间右端点是+∞,要确保“x →+∞时,f(x)≥0”,我们只需要借助函数f(x)的极限,或者将f(x)拆分成两个函数的差之后,通过比较它们的大小去控制参数a的范围即可.

(四)一种特例

若f(x)在整个定义域上无零切点,则说明f(x)的所有图象都在x轴上方,或者都经过x轴下方的某个(或多个)定点.前者只需f(m)≥0 且x →+∞时f(x)≥0 即可.对于后者,若有定点在区间(m,+∞)内,则原问题无解(一般不出现);若没有定点在区间(m,+∞)内,则只需要f(m)≥0且x →+∞时f(x)≥0 即可.

五、嫌疑点法

对于“f(x)是含有参数a的一元函数,若∀x ∈[m,+∞),f(x)≥0,求实数a的取值范围.”问题,用三类关键点去求解该问题的方法我们称为“嫌疑点法”,其具体步骤如下:

第一步,计算零切点

(1)当x0不存在时,若f(x)经过x轴下面的某个(或多个)定点,且该定点在区间(m,+∞)内,则a ∈∅;其余x0不存在的情形均令f(m)≥0 且x →+∞时f(x)≥0,由此解出a的范围,记作集合Q.

(2)当x0存在时,若x0/∈[m,+∞),令f(m)≥0 且x →+∞时f(x)≥0,由此解出a的范围,记作集合Q;若x0∈[m,+∞)时,则进入第二步.

第二步,由左端点求出参数的大致取值范围

(1)m是f(x)的真零点

若m是真零切点(m=x0),若f′′(m)̸≡0,则令f′′(m)≥0;若f′′′(m)̸≡0,则令f′′′(m)≥0;如此继续,直到得到不恒为零的导数值,并令其非负,解出a的范围,记作集合A;

若m是嫌疑零切点(m=x0),则令f′(m)≥0,由此解出a的范围,记作集合A.

(2)m是f(x)的嫌疑零点

若m是嫌疑零切点(m=x0),则令f(m)≥0,由此解出a的范围,记作集合A;

若m不是零切点,则令f(m)>0,由此解出a的范围,记作集合A.

第三步,由内部零切点求出参数的大致取值范围

(1)x0是f(x)的真零切点

若f′′(x0)̸≡0,则令f′′(x0)≥0;若f′′(x0)≡0,f′′′(x0)̸≡0,则令f′′′(x0)≥0;如此继续,直到得到不恒为零的导数值,并令其非负,解出a的范围,记作集合B.

(2)x0是f(x)的嫌疑零切点

若x0是真零点(f(x0)≡0),f′(x0)̸≡0,则令f′(x0)=0,f′′(x0)>0,由此解出a的值,记作集合B;

若x0是嫌疑零点(f(x0)̸≡0),则令f(x0)≥0,由此求出a的范围,记作集合B.

(注:如果有多个零点x0则取参数a的公共范围,记作集合B.)

第四步,由右端点求出参数的大致取值范围

通过考查x →+∞时f(x)的符号,求得a的范围,记作集合C.

第五步,求出参数a的准确取值范围

记D=A ∩B ∩C,则D或Q或∅为参数a的最终取值集合.

六、模型应用

引例1 解答依题意,(x≥0)恒成立.ex−3x+2a.

由g′′(0)≥0 得由g(2)≥0 得要使得x →+∞时,g(x)≥0,只须a ∈R.由得.

引例2 解答由得由得因为f(1)=0,所以即a=1.要使得x →+∞时,f(x)≥0,只须a ∈R.由得a=1.

引例 3解:由由f′(0)≥0 得a≤1.若要x →+∞时f(x)≥0,则a≥0.由得0 ≤a≤1.

说明对于x →+∞时的两个正无穷大量的比较,可以参考下面的方法:

设x →+∞时,f(x)→+∞,g(x)→+∞,且若t=+∞,则f(x)≫g(x),x →+∞时f(x)−g(x)>0;若t=0,则f(x)≪g(x),x →+∞时f(x)−g(x)<0.特别地,当x →+∞时,有ax≫xb≫logax(a>1,b>0).

对于引例2,因为当a >0,x →+∞时,alnx →+∞,所以x−1≫alnx,f(x)=x−1−alnx >0 成立;当a <0,x →+∞时,alnx →−∞,x+1→+∞,f(x)=x−1−alnx >0成立.所以x →+∞时,f(x)=x−1−alnx>0 对a ∈R均成立.

对于引例3,由于当a <0,x →+∞时,ln(x+1)→+∞,−a(x2−x)→+∞,

所以a<0,x →+∞时f(x)=ln(x+1)+a(x2−x)<0,从而a <0 不合题意;当a >0,x →+∞时,ln(x+1)→+∞,a(x2−x)→+∞,所以a >0,x →+∞时f(x)=ln(x+1)+a(x2−x)>0,从而a>0 满足题意.

七、结语

“嫌疑点法”是通过类比可导函数在闭区间上最值的求法,借助必要条件(关键点处函数值的符号)探路探出“充要条件”的一种方法,是对“必要性探路法”的进一步完备.该方法的使用有两大难点,一是在求解零切点时可能会遇到超越方程,二是在考查右端点+∞时需要用到极限或者两个无穷大量的比较.如果超越方程解不出来或者无法用隐零点代换,右端点时的极限无法确定或者两个无穷大量无法比较大小,都会导致用该方法陷入困境.此时需要选择其它方法求解.限于篇幅,本文只介绍了区间形式为[m,+∞)的“嫌疑点法”,其它区间情形留给读者朋友自行探讨.