求解指数函数与对数函数问题中的几点注意

张 丽

(山东省菏泽市单县第一中学)

指数函数和对数函数是两类基本的初等函数,以这两类函数为背景的函数问题是历年高考的重点考查类型.考生在解题中常因未能准确把握函数的定义、未注意函数的定义域、考虑问题不全面、把握不准图像的位置关系等,出现会而不对、对而不全的现象.下面举例剖析这些问题的易错点.

1 注意把握函数的定义

例1下列函数一定为指数函数的是( ).

A.y＝xa(a＞0,a≠1)

B.y＝(a2＋2|a|＋2)x

C.y＝2ax

D.y＝(a＋b)x

错解对于初学者来说,可能对指数函数与对数函数的概念把握不准确,从而错选A,C或D.

剖析错选A 的原因是将指数函数的解析式与幂函数的解析式混淆.

对于选项C,指数函数的解析式中指数式前面的系数应为1,故选项C错误.

对于选项D,底数a＋b不一定大于0,且不等于1,故D 错误.

对于选项B,a2＋2|a|＋2＝(|a|＋1)2＋1＞1,所以y＝(a2＋2|a|＋2)x是底数大于1的指数函数.

综上,选B.

2 注意函数的定义域

例2已知函数f(x)＝ax2－4ax＋2(a＜0),则关于x的不等式f(x)＞log2x的解集是( ).

A.(－∞,4) B.(0,1)

C.(0,4) D.(4,＋∞)

错解函数f(x)＝ax2－4ax＋2(a＜0)的图像为开口向下的抛物线,其对称轴为x＝2,在y轴上的截距为2,在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)及y＝log2x的图像,如图1所示,易得两个函数图像的交点为(4,2),由两个函数的位置关系可知不等式f(x)＞log2x的解集为(－∞,4),故选A.

图1

剖析对数函数的定义域要满足其真数大于0,上述结论错误的原因是忽视了y＝log2x的定义域,即x∈(0,＋∞),所以不等式f(x)＞log2x的解集为(0,4),故选C.

3 注意函数的值域

例3关于x的函数y＝a4x＋2x＋1－1恰有一个零点,则实数a的取值范围是_________.

错解当a＝0时,y＝2x＋1－1,由2x＋1－1＝0,得x＝－1,函数有一个零点.

当a≠0时,y＝a(2x)2＋2×2x－1,令2x＝t,则y＝at2＋2t－1为关于t的二次函数,若该函数恰有一个零点,则Δ＝4＋4a＝0,解得a＝－1.

综上,实数a的取值范围是{0,－1}.

剖析令2x＝t,则y＝at2＋2t－1,错解中忽视了指数函数的值域,即2x＝t＞0,因此函数y＝a4x＋2x＋1－1恰有一个零点,即二次函数y＝at2＋2t－1恰有一个正零点.

当a＞0时,二次函数y＝at2＋2t－1开口向上,在y轴上的截距为(0,－1),此时有一个正零点,符合题意.

当a＜0时,二次函数y＝at2＋2t－1的对称轴t＝－＞ 0,欲使该二次函数有一个正零点,只需满足Δ＝4＋4a＝0,解得a＝－1.

又a＝0满足题意.

综上,实数a的取值范围是{－1}∪[0,＋∞).

4 注意运算法则的应用条件

例4已知x,y为非零常数,则下列等式正确的是( ).

错解由同底数的指数运算法则及对数运算法则,可知选项B和D 正确.

剖析对于选项A 和C,没有疑问,是由于错用了指数运算法则.对于选项D,由于条件中x,y为非零常数,等式左边的对数式的真数＞0,即x,y同号即可.若x＜0,y＜0,则等式右边的对数式没有意义,故选B.

5 注意对底数的讨论

例5log(2x－1)(2x－1)＞0,则实数x的取值范围是________.

错解log(2x－1)(2x－1)＞0⇔log(2x－1)(2x－1)＞log(2x－1)1,所以2x－1＞1,解得x＞1,即实数x的取值范围是(1,＋∞).

剖析指数函数与对数函数的底数大于0且不等于1,本题中的对数式的底数也含有变量x,所以应对底数的范围进行讨论.

当2x－1＞1,即x＞1时,由

6 注意函数的有界性

例6已知函数

若函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点,则k的取值范围为_________.

错解g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点,即方程f(x)－k＝0有两个不同的实根,即直线y＝k与函数y＝f(x)的图像有两个不同的交点.

作出函数f(x)的图像如图2 所示,易知当k∈(0,1)时,直 线y＝k与函数y＝f(x)的图像有两个不同的交点.

图2

综上,k∈(0,1).

剖析指数函数与对数函数均有渐近线,函数y＝为其渐近线.函数f(x)的图像如图3所示,所以当y＝k与函数y＝f(x)的图像有两个不同的交点,即函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点时,k∈,1).

图3

7 注意复合函数的性质

例7函数f(x)＝ln(ax2＋ax＋1)的值域为R,则实数a的取值范围为________.

错解函数f(x)＝ln(ax2＋ax＋1)的值域为R,即不等式ax2＋ax＋1＞0恒成立.

当a＝0时,不等式ax2＋ax＋1＞0恒成立.

当a＞0时,欲使不等式ax2＋ax＋1＞0恒成立,只需Δ＝a2－4a＜0,解得0＜a＜4.

当a＜0时,不等式ax2＋ax＋1＞0不恒成立.

综上,a∈[0,4).

剖析本题的条件是函数f(x)的值域为R,并不是定义域是R,由对数函数的性质,可知当对数函数的真数范围为(0,＋∞),其值域为R.真数范围为(0,＋∞),即(0,＋∞)是函数y＝ax2＋ax＋1值域的子集,所以解得a≥4.

综上,a∈[4,＋∞).

同学们在学习中要善于归纳总结,只有明确了这些易错点,弄清楚错误的根源,才能在后续解题中有效避免类似错误的出现.

(完)