城市轨道交通超网络级联故障研究

林春雨,郭进利

(上海理工大学 管理学院,上海 200093)

1 引 言

城市交通建设与经济发展水平密切相关,稳定高效的交通运行系统可以促进城市社会经济的可持续发展.但是近年来,伴随着人口的增长与流动,城市交通需求大幅增加,中大型城市拥挤问题日益突出,气候变化和极端天气也加剧了城市的脆弱性,如郑州720特大暴雨事件极大影响了城市生产活动的进行与居民的日常生活.城市轨道交通网络(Urban Rail Transit Network,URTN)作为城市综合运输网络的骨干网络,联系着城市主要客流集散点,是市民市内出行的主要交通方式,在中大型城市交通中占有非常重要的地位;且与道路基础设施网络相比,URTN更容易受到不同程度的损害和威胁.因此,运用网络的理论与方法探究URTN的安全性与稳定性,具有非常重要的研究意义.

针对交通网络鲁棒性的研究主要分为两大类:

第1类是静态鲁棒性评价,其从网络拓扑结构的角度,通过去除节点或边而引起的网络拓扑属性的变化研究网络鲁棒性.例如,李卫东等[1]构建了纽约轨道交通加权网络模型,发现加权网络的鲁棒性较无权网络差;罗海秀等[2]构建了城市公交超网络模型,提出了应对蓄意攻击的站点减压策略;wang等[3,4]分析了全球33个地铁网络在随机攻击和蓄意攻击下的鲁棒性,发现东京和罗马地铁网络的稳定性最强;Li等[5]构建了重庆市公交-地铁双层网络模型,发现两者的配合优化了城市公共交通系统的鲁棒性.

第2类是从级联故障角度研究网络的动态鲁棒性.由于交通网络的高度复杂性,当网络受到自然灾害、交通事故与故意攻击等时,一个或少数几个站点故障可能通过客流再分配导致其他站点级联故障,该过程反复进行,最终导致相当一部分站点甚至整个网络崩溃.如张振江等[6]构建了铁路货运网络级联失效模型,研究了在不同攻击策略下网络的动态鲁棒性;樊成[7]等提出了考虑过载状态和失效概率的航空网络级联故障模型,发现在一定范围内提升过载系数有助于提升网络鲁棒性;Sun等[8]提出了基于耦合映像格子的北京地铁网络级联失效模型,发现当环线遭到攻击时,系统的鲁棒性较低;沈犁等[9]研究了拥挤失效下公交-地铁网络的级联故障,为应急计划与交通管理提供了理论依据;Ma等[10]研究了暴雨对公交-地铁网络鲁棒性的影响,发现客流过载可能使网络发生两级级联故障.

当前针对轨道交通鲁棒性的研究,大多集中在静态特性方面,对于级联故障等动态特性的研究较少.此外,目前关于级联故障鲁棒性的研究主要集中在普通网络中,对基于超图的超网络级联失效现象研究较少.但随着网络规模的扩大,节点类型呈多样化发展,节点间联系复杂多变,对于结构复杂的轨道交通系统而言,基于普通图的建模方式在刻画其特征时存在一定的局限性.

综上,本文结合城市轨道交通系统的拓扑与功能特性,以线路为节点、站点为超边,基于超图的超网络构建负载-容量级联故障模型.并以上海轨道交通网络为例,讨论线路负载与容量间的关系;提出节点功能重要性评估指标,结合拓扑结构指标,讨论在最优容量下不同攻击策略对网络级联故障的影响;对比超网络上的级联故障模型与普通网络上的传统级联故障模型,验证本文模型的有效性.所做研究有助于解释过载引起的级联失效过程,进而优化网络结构,以最小成本最大程度提升网络鲁棒性.

2 理论与模型

2.1 超网络与超图

超图可以描述同一类节点间以及不同类节点间的高阶关系.如图1所示,以线路为节点V、站点为超边E,位于同一超边中的节点是相邻的,超边间通过公共节点相连,由此不仅可以得到节点间的关系、超边间的关系以及节点与超边之间的关系,还可以表示三者及以上的高阶关系,即可以得到线路包含的站点数、站点经过的线路数以及线路间的换乘信息等.而在复杂网络普通图中,二分图可以描述两类节点间的两两关系,但忽略了同类节点间的内在联系;投影图可以描述同类节点间的两两关系,但割裂了异类节点间的关联,如文献[15]所述.因此,超图能更全面地描述真实系统的信息.

图1 超图Fig.1 Hypergraph

2.2 超网络拓扑特性指标

(1)

式(1)中,N表示网络节点总数(下同).如图1所示,D1=2,表示线路V1分别与V4交汇于站点E1、与V3交汇于E2,因此V1的相邻线路有2条.

(2)

图1中DH1=2,表示线路V1经过E1与E2两个站点.

3)距离dij定义为节点间的最短路径长度,即连接两节点的最少超边数.如图1所示,V1与V4通过E1相连,V4与V2通过E4相连,V1与V2的最短连接路径为V1-E1-V4-E4-V2,V1与V2通过2条超边连接,因此d1,2=2.

平均距离或平均路径长度L为网络中任意两节点间距离之和的平均值,为全局概念,公式如下:

(3)

网络直径D为网络中任意两节点间距离的最大值,为全局概念,公式如下:

D=max{dij}

(4)

4)介数Bi为网络中经过节点Vi的最短路径占所有最短路径的比重.本文对复杂网络中的介数进行了改进,在复杂网络普通图中,边没有具体含义,只表示两个节点间有某种联系;而在超网络中,将某一类元素定义为超边后,由于超边含义不同,使节点间通过不同超边构成了不同的联系,因此,虽然两个节点的最短路径经过的节点相同,但由于连接的超边含义不同而产生了不同的路径.公式如下:

(5)

(6)

(7)

(8)

2.3 线路功能重要性评价指标

对URTN而言,静态拓扑结构无法传达现实情况的所有信息,如客流量应被视为发现和制定防御策略的关键特征之一.线路的客流量不仅与运营里程有关,还与线路途径区域的人口规模有关,因此本文结合线路客运强度与线路使用率提出了线路功能重要性评价指标.

2.3.1 功能重要性指标

线路客运强度Pi是指线路日均客运量与线路运营长度之比,反映线路单位长度上每日的载客量,单位为万人/公里·日.公式如下:

(9)

式(9)中,Fi表示线路日均客流量;Si表示线路运营里程.

线路使用率Ii是指线路日均客运量与线路途径区域的人口规模之比,反映了线路的利用情况.公式如下:

(10)

式(10)中,Ui表示线路途径区域的人口数目.

对Pi与Ii进行min-max归一化处理,得到如下功能重要性评价指标CEi:

(11)

2.3.2 权重系数的确定为获取对网络性能影响最大的各线路功能重要性指标值,需确定一组最优权重值.

步骤如下:

1)从λ=0.1、μ=0.9～λ=0.9、μ=0.1,以0.2的幅度设置不同的λ与μ值组合;

2)计算每个节点的功能重要性指标值,并按大小对节点排序;

3)对每一组排序结果中的前50%节点进行蓄意攻击,记录网络效率值;

4)选取使网络效率变化最大的λ与μ值为最优权重系数.

2.4 鲁棒性评价指标

2.4.1 结构性指标

URTN的运行效率与线路之间的可达程度密切相关,因此节点间距离可以很好地描述网络的静态结构特性,运用距离定义网络全局效率GE如下:

(12)

2.4.2 功能性指标

结合URTN的功能特性,引入客流损失率LR描述网络的动态功能特性.客流损失率越小,对应的网络性能越好.公式如下:

(13)

式(13)中,F′表示客流总损失量;F0表示初始总客流量.

2.5 基于超图的超网络级联失效模型

为探究各城市轨道交通系统在超网络上的动态鲁棒性,本文设计了负载二次分配机制,构建了基于超图的超网络级联失效模型.此外,本模型适用于任何节点与超边均有负载且负载可相互转移的网络,如公交网络等.在轨道交通超网络模型中,节点表示线路、超边表示站点,线路与线路之间通过换乘站点相邻,当某条线路瘫痪时,其客流量会通过换乘站点转移至相邻线路,但各转移量不同,其与线路和站点的承载能力有关,而客流量能在很大程度上反映线路和站点的承载能力.因此,运用客流量数据赋予线路和站点局部权重值,引入了线路强度系数与站点强度系数,设计了负载二次分配机制.

2.5.1 初始负载

以往模型主要使用节点介数、度等模拟流量,如经典的Motter-Lai模型[17].在当前应用较为广泛的普通级联失效模型中,选取按度定义的模型与本文改进模型对比,定义其初始负载Qi′(0)如下:

Qi′(0)=Di

(14)

但对于真实网络,结构指标不能如实刻画网络的级联失效过程,因此选取各线路的日均客流量定义各节点的初始负载Qi(0)如下:

Qi(0)=Fi

(15)

式(15)中,Fi表示某线路的日均客流量.

2.5.2 最大容量

本模型认为,节点的最大容量与其初始负载不是简单的线性关系,因此定义各节点的最大容量Ci如下:

(16)

式(16)中,α与β为容量控制参数,用于度量节点负载超过其初始负载时的应对能力,α,β>0.

为便于对比,定义普通模型中各节点的最大容量Ci′如下:

Ci′=Qi′(0)+αQi′β(0)

(17)

2.5.3 基于客流加权的负载二次分配机制

(18)

考虑到超网络在刻画复杂系统上的优越性,本文根据轨道交通超网络的结构特点设计了如下负载二次分配机制.

1)第1次负载分配

当节点发生故障时,其负载首先会依据所在超边的权重分配至每一类相邻节点.针对故障节点的相邻节点,本机制将位于同一超边内的节点归为一类,依据超边权重对每一类节点分配负载,其中超边权重依据站点的日均客流量进行相关计算.定义超边强度系数γ如下:

(19)

2)第2次负载分配

对故障节点的每一类相邻节点进行第1次负载分配后,进一步依据节点权重对每一个节点进行二次负载分配.节点权重依据线路的日均客流量进行相关计算.定义节点强度系数η如下:

(20)

综上,节点Vj在t时刻的负载增量ΔQj为:

ΔQj=γEijηjQi(t)

(21)

式(21)中,γEij表示Vi与Vj共同所在的超边强度系数;ηj表示节点Vj的强度系数;Qi(t)表示t时刻故障节点负载.

则t时刻节点Vj的负载量Qj(t)为:

Qj(t)=Qj(t-1)+γEijηjQi(t)

(22)

当Qj(t)>Cj时,Vj过载失效,引发新一轮的负载分配.

如图2(a)所示,若节点V2故障,其负载首先依据γ均衡分配至所在超边E3与E4,其次E3将分得负载依据η分配至含有的节点V3和V4,E4同理;若一级负载分配导致V4失效,则会发生图2(b)所示的二级负载分配;上述负载分配过程连续进行,直至网络达到平衡或崩溃.

图2 基于超图的超网络级联失效模型Fig.2 Cascading failure model of hypernetwork based on hypergraph

2.5.4 级联失效算法流程

设计级联失效算法流程如图3所示.由模型可知,节点与超边的最大容量对网络级联故障有显著影响,而节点与超边的最大容量与容量控制参数有关,因此,通过攻击度值最大的节点,首先探究α与β对网络级联故障的联合影响,算法流程如图3(a)所示.为进一步探究蓄意攻击下网络的动态鲁棒性,采用变量控制法,分固定β、改变α与固定α、改变β两种情况讨论网络的级联故障,蓄意攻击选取动态节点度攻击方式,即在每一个时间步内,重新计算节点度,选择度最高的节点进行攻击,每个时间步仅进行一次攻击,连续攻击直至网络中无相互连接的节点,算法流程如图3(b)所示.图3(c)进一步探究α与β确定时不同攻击策略对网络级联故障的影响.

图3 级联失效算法流程Fig.3 Algorithmic process of cascading failures

3 实证分析

3.1 上海轨道交通超网络模型构建

在以往研究中,大多数学者以站点为节点,构建基于普通图的网络模型,重点分析了站点之间的连通程度,对线路的相关分析较少,而线路之间的连通性能更加清晰简明地反映乘客的换乘情况.因此,本文以上海轨道交通网的19条线路为节点、460个车站为超边构建上海轨道交通超网络模型.为便于分析计算并更加准确地反映目前上海轨道交通系统的结构特征,本文作了以下假设说明,最终得到一个包含16个节点与355条超边的超网络模型.

模型假设:

1)所有数据统计截止日期为2021年6月,且均不含金山铁路;

2)模型中不包含磁浮线与在建线路的相关数据;

3)将4号环线的浦电路站与6号线的浦电路站视为两个不同的站点;

4)对线路依次编号1～16,对站点依次编号1～355.

3.2 上海轨道交通级联失效模型构建

采用上海市交通委指挥中心发布的2021年6月上海轨道交通日均客流量数据进行实证分析,并具体针对本文3.1中超网络特点,对网络发生级联故障的研究假设如下:

1)当系统第1次发生故障时,乘客会换乘至相邻线路,即乘客仍选择地铁的其他线路乘车,不会出现客流损失;

2)若相邻线路因过载而再次出现故障,大部分乘客会转乘其他交通工具,从而出现客流损失.因此假设只发生一级级联故障,即客流只转移1次,若相邻线路过载失效,则此部分客流流失.

3.3 上海轨道交通超网络特性分析

上海轨道交通超网络各拓扑指标计算结果如表1所示.

表1 上海轨道交通超网络拓扑指标Table 1 Topological indicators of Shanghai rail transit hypernetwork

3.3.1 网络拓扑分析

1)节点度表示与某线路相交汇的其他线路数目,体现了该线路的换乘能力.2号线的节点度最大,有14条相邻线路、11个换乘车站,该线为东西走向,是横贯上海市区浦江两岸的一条主要干线;5号线的节点度最小,有1个相邻线路、2个换乘车站,该线途径闵行区与奉贤区,周边人口规模较小;网络平均度为9.5,即平均每条地铁线可通过相应站点换乘至9.5条线路.

2)节点超度表示线路包含的站点数,反映了线路的服务区域与人口规模.网络平均节点超度为26,即平均每条地铁线经过26个站点.9号线的超度最大,经过35个站点,该线为东西走向,全长63.8km,是横穿徐家汇和花木两个城市副中心的一条主要干线.16与17号线的超度最小,为13个站点,其为郊区线路,沿线人口规模较小,故站点设置较少.其中,16号线有3个换乘站,可换乘至2、7、11与13号线,从而将浦东新区的南汇新城与中心城区联系起来,极大地缩短了市区与郊区的距离.

3)网络平均距离为1.392,网络直径为3,即当乘客远距离出行时,最少需要换乘1次、最多换乘3次,且换乘1次的概率更大.

4)介数最大的节点为1号,介数值为13,有13条最短路径经过;最小的为5号与17号线,没有最短路径经过;网络平均介数为2.75,即平均每个节点有2～3条最短路径经过.

5)网络平均群集系数为0.8005,即平均每条线路的邻居线路间也相邻的概率为0.8005,表明地铁线路之间的联系非常紧密,换乘网络比较发达.在节点度大于2情况下,群集系数最大的节点是15号线,群集系数为0.9643、节点度为8,即15号线的8条邻居线路中,任意两条线路也相连的概率为0.9643;最小的是2号线,群集系数为0.6703、节点度为14.

3.3.2 线路功能重要性分析

本文收集了2021年6月上海市轨道交通各线路的日均客流量数据、运营里程数据以及途径区域所涵盖的常住人口规模数据(数据来源:2021年5月第7次全国人口普查结果),从建设规模与人口规模两方面综合考虑线路客流量.权重系数确定过程如表2所示.

表2 不同权重系数对网络性能的影响Table 2 Influence of different weight coefficients on network performance

经计算,当λ=0.7,μ=0.3时,线路功能评价指标对网络性能的影响最大,因此选取该组合值作为评价线路功能重要性的最优权重系数.

3.4 鲁棒性分析

3.4.1 攻击策略

本文采用的攻击策略为随机攻击与蓄意攻击.运用python在[1,16]之间产生随机数作为随机攻击的节点编号,每进行一次攻击产生一个随机数,直至攻击结束,上述过程共进行5次,取5次指标平均值作为随机攻击的最终结果;蓄意攻击采用节点度值、介数、超度与功能重要性攻击,每次攻击后均重新排序节点,选取指标值最大的节点进行攻击,连续攻击直至网络中无相互连接的节点.

3.4.2 静态鲁棒性评价

由图4可知,上海轨道交通网络对随机攻击的静态鲁棒性最强,网络效率下降最慢,能够抵抗的攻击次数最大,体现出很强的抵抗能力;当攻击节点数n=14时,网络效率接近于1,这是因为上海地铁线路之间的联系非常紧密,当网络中仅剩余2个节点时,它们相互关联的概率非常大.网络对超度攻击的静态鲁棒性次之,当n≤5时,GE下降速率较小,与随机攻击的变化趋势相似,但当n=6时,GE急剧下降,此时攻击的节点为13号线,该节点的度值排名第2、介数值排名第4、超度值排名第6,与其他节点的联系紧密,因此该节点失效对网络性能的影响较大.网络应对度值与功能重要性攻击的抵抗能力相当,当n≤7时,网络对度值攻击的静态鲁棒性较重要性攻击更强,而当n>7,即网络中50%的节点失效时,网络对重要性攻击的静态鲁棒性较度值与超度攻击更强.网络在介数攻击下的静态鲁棒性最弱,GE下降速率最快,同时说明在网络静态拓扑结构中,介数最能代表节点的关键程度.

图4 不同攻击策略下网络的静态鲁棒性Fig.4 Static robustness of networks under different attack strategies

3.4.3 级联失效鲁棒性评价

静态鲁棒性能在一定程度上衡量网络的抗毁性能,但对URTN而言,客流作为其主要负载是实时变化且能够转移的,负载的变化可能导致网络结构发生多种多样的改变.因此,静态鲁棒性不能真实全面地刻画URTN的抗毁性能,本部分运用改进的级联失效模型进而从以下4个方面探讨上海轨道交通超网络的动态鲁棒性.

1)α与β的关系

根据URTN实际特点,α取值0.2,0.4,0.6,0.8与1.0,取值间隔为0.2;β取值0.1,0.15,0.2,…,1.3,取值间隔为0.05.通过设定不同的α与β值,设置了不同的模拟场景,实验结果如图5所示,α与β对网络性能的影响主要分为6个区间:

图5 α和β的关系Fig.5 Relationship between α and β

第1区间:当β位于较小的取值区间时,各场景均发生大规模的级联故障,网络对动态节点度攻击没有抵抗能力.如当α=0.8,β=0.1时,攻击度最大的节点,级联故障结束后,网络仅剩余5号节点,因此GE=0、LR接近于1.

第2区间:①当β达到临界值β1时,网络有了一定的抵抗能力,且在一定范围内,β越大,网络性能越好.如当α=0.8,β∈(0.45,0.6]时,增大β会显著提高网络抗毁性能.②临界值β1与α有关,α越小,对应的β1值越大;且当α以0.2的幅度减小时,β1在每一个幅度内的增量有所不同.如图5所示,在GE描绘的图示中,当α分别为1.0、0.8与0.6时,在相同的减小幅度内,对应的β1增量相等,均增加0.05;但当α分别为0.6、0.4与0.2时,β1增量变大,分别增加0.1与0.15.

第3区间:网络性能不变.如当α=0.8,β∈(0.6,0.65]时,GE与LR均不发生变化.

第4区间:GE随着β值的增大而增大,但增长速率变缓.如当α=0.8,β∈(0.65,0.8]时,GE的增长速率与第2区间相比明显变慢.

第5区间:在第4区间的基础上,GE的增长速率加快,但仍比第2区间慢,如当α=0.8,β∈(0.8,0.85)时,GE的增长速率明显较前一区间快.

第6区间:当β超过临界值β2时,网络对度攻击有很强的抵抗能力,只有被攻击节点失效,不再发生级联故障.如在α=0.8情况下,当β增加至0.85时网络即达到平衡状态,此时的网络抗毁能力最强.同理,β2与α有关,其分析结果同第2区间②.

综上,攻击动态网络中度值最大的节点,①当0<β≤β1时,网络发生极强的级联故障,网络崩溃;②当β1<β<β2时,网络效率随着α与β的增大而增大,即α与β越大,网络发生级联失效的范围越小,网络的抗毁性能越强,但网络性能的提升速率不同,按不同的增长速率可细分为4个区段;③当β≥β2时,网络不发生级联故障,网络的抗毁性能达到最强.

通过对容量控制参数α与β的讨论与分析,可以获得α确定下网络达到平衡时的最小β值,或者β确定下的最小α值,即最优线路容量,从而使网络保持较强稳定性的同时,花费较小的建设成本.

2)α对级联失效过程的影响

固定β=0.9,通过改变α值设置了7种网络模拟场景,实验结果如图6所示,网络性能整体上呈下降趋势,前期变化较为缓慢,但随着攻击次数的增加,网络中度值较大的节点不断失效,网络效率快速下降、客流损失率迅速上升,最终导致网络崩溃.以α=0.8为例,当t=1、2时,故障节点引发的级联失效规模较小,GE下降速率缓慢、LR较小,网络性能相对稳定.但当t=3时,攻击1号节点,导致3、7、10与12号节点级联失效,网络发生较大规模的级联故障,GE快速下降、LR迅速上升,直至t=5时网络崩溃.且随着α值的增大,网络能够抵抗的攻击次数增加,说明增加节点容量可以提高网络鲁棒性.

其中,在α=0.9与α=1.0对应的网络场景中,网络性能变化趋势几乎相同,考虑到社会资源、空间与经济成本问题,应控制0<α,β<1,由此可得,一旦α增加至0.9,继续增加α值对提高网络鲁棒性没有显著贡献.

此外,在每一个时间步内,α越大,网络鲁棒性越强,但具有极限.如t=2时,除α=0.6对应的网络,其余网络的性能变化趋势相似,即若网络仅出现两次故障,鉴于成本问题,α的最优取值为0.7;在t=3时,α=1.2下的网络鲁棒性最强,α为1.1、1.0与0.9下的网络性能相似,则α最优取值为0.9.

综上,①假设能预测出网络故障次数,则可以选择该次数下网络性能最好时的最小α值,从而降低建设成本,且由于动态节点度策略攻击强度较大,能够代表网络所遭受的较强破坏,因此可以同时达到安全目标与经济目标.②α越大,网络鲁棒性越强,但现实生活中,由于资源、空间与社会经济成本等的限制,容量不可能无限扩大,因此在选择最优容量控制参数时,应控制0<α,β<1,由上述分析可得,当β=0.9时,α最佳取值为0.9.

3)β对级联失效过程的影响

固定α=0.9,通过改变β值设置了5种网络模拟场景,实验结果如图7所示.由图6与图7可明显得出,容量越大,网络效率越大、客流损失率越小以及可抵抗的攻击次数越多,且β对网络性能影响的变化趋势与α相似,前期GE缓慢下降,在t=3时网络结构发生突变而使效率快速下降,但β对网络性能的影响更加显著.鉴于成本问题,当控制0<β<1时,由图7可知,β的最佳取值为0.95.

图7 β对级联失效过程的影响Fig.7 Effect of β on cascading failure process

此外,在每一个时间步内,并不是β值越大网络性能越好.当t=1、2时,除β=0.8外,其余情景下的网络情况相似;当t=3时,β=0.85对应的网络发生结构突变,而β为0.9、0.95与1.0下的网络变化情况相似,即在该时间步内,当β达到0.9后,继续增加β值对提升网络鲁棒性没有显著作用;当t≥4时,不同情况下网络的性能差异逐渐变得显著.

综上,①增大节点容量可以增加网络抵抗蓄意攻击的次数,提高网络鲁棒性,且β的影响作用比α更显著,其在0.05的变化范围内即可使网络性能发生较大变化;②同样可以得到每一次攻击下的最优β值;③改变α或β均使网络在t=3时发生结构突变,表明网络节点在遭受3次高强度蓄意攻击后,会发生较大规模的级联故障;④由图6与图7分析可得,改进模型的最优参数组合为α=0.9、β=0.95;⑤采用公式(14)、(17)与(18)定义的普通级联失效模型进行上述实验,可得到最优参数组合为α=0.8、β=0.9.

4)攻击策略对级联失效过程的影响

上文探究了度值攻击下上海轨道交通网络的动态鲁棒性,但当以其他攻击策略对网络进行破坏时,网络的性能表现会有所不同.因此,在最优参数组合α=0.9、β=0.95情景下,比较分析了度值、介数、超度、功能重要性以及随机攻击对网络的级联故障影响.实验结果如图8所示.

图8 不同攻击策略对级联失效过程的影响Fig.8 Effect of different attack strategies on cascading failure process

从整体上看,网络应对超度与随机攻击的动态鲁棒性较强.当t=1、2时,超度攻击与随机攻击对网络的破坏程度相似,网络均只有被攻击节点失效;当t=3时,攻击超度最大的节点,网络仍然不发生级联故障,但某些遭受随机攻击的网络开始出现级联失效过程,这是因为随机攻击的节点是随机选取的,若随机选择的节点为网络中的关键节点,则其失效后的影响范围较大,从而引发节点的级联失效;当t=6时,两种攻击策略均导致网络结构突变,发生大面积的级联故障,遭受超度攻击的网络仅剩余5号节点,而遭受随机攻击的网络在t=8时崩溃,两种策略的攻击结束时间相差2个时间步,因此随机故障的网络在结构突变后有一定的应急时间,能够避免网络瘫痪.

对于超度攻击,超度值越大,表明线路含有的站点数越多,但其不能体现出该线路的关联线路情况.在遭受超度攻击的网络中,当t≤5时,GE的下降速率均比较缓慢,网络没有发生较强的级联故障,说明虽然受攻击的节点超度值较大,但其不是关键节点.但在t=6时,攻击网络中超度最大的2号节点,网络瞬间崩溃,这是因为2号节点是网络中度与介数较大的节点,其负载量与关联节点数目均非常大,为非常关键的节点,且网络经过前几个阶段的负载累积,节点承受力不断减弱,因此2号节点失效后,导致关联的6个节点失效,网络结构突变.同时可以得出,超度在衡量节点重要程度方面作用较弱.

对比5种攻击策略,网络在节点功能重要性攻击下发生级联故障的规模最大,能够抵抗的攻击次数最小,网络的动态鲁棒性最弱.同时也说明在级联故障背景下,节点功能评价指标较其他4种结构指标能更好地衡量节点重要性.

此外,由于不同攻击策略使网络失效的节点不同,因此在GE=0时网络剩余的孤立节点不同,致使网络最终的客流损失有所差异.如功能重要性攻击下的网络最终剩余5、15和16号3个孤立节点,度值攻击下的网络最终剩余5和16号节点,介数与超度攻击下的网络最终仅剩余5号节点,因此功能重要性攻击下的网络LR最小,介数与超度攻击下的网络LR最大.

5)最优参数下改进与普通级联失效模型对比

图8亦给出了在最优参数α=0.8、β=0.9下不同攻击策略对普通级联故障模型的影响.在度值攻击下,两种模型下的网络在遭受2次蓄意攻击的情况相同,但当t≥3时,两种模型的性能差异逐渐显著,改进模型下的网络效率快速下降,且较普通网络提前1个时间步崩溃.在介数攻击下,当t≤2时,两种网络情况也相同,但在t=3、4时,改进模型下的网络鲁棒性较普通网络更强,在t=5、6时,普通模型下的网络鲁棒性更强,且可抵抗蓄意攻击的次数也多1次.在节点功能重要性攻击下,两种模型下的网络性能差异最为显著,当t≥2时,改进模型下的网络比较脆弱,比普通网络提前3个时间步崩溃.在超度攻击中,两种模型下的网络性能差异较小,普通网络的鲁棒性稍强,可抵抗攻击的次数多1次.在随机攻击下,两种模型下的网络效率均缓慢下降,普通网络发生结构突变的时间晚1个时间步.综上,本文改进的超网络级联失效模型能更好地衡量网络鲁棒性,具有一定的有效性与可行性.

4 结束语

轨道交通被喻为一个城市的“运输大动脉”,其因乘车时间短和费用低两大优势而成为人们日常通勤的主要交通方式.本文针对轨道交通系统,在超网络基础上,设计负载二次分配机制,构建了非线性负载-容量模型,讨论了容量控制参数以及不同攻击策略对网络级联失效的影响,最后以上海轨道交通系统为例验证了模型有效性.实验得到了如下结论:

1)超图能描述网络中同质或异质节点间的高阶关系,因此能够更全面地反映真实系统的信息;

2)上海轨道交通线路之间的联系非常紧密,换乘网络非常发达,网络直径较小、群集系数较大,具有小世界网络的特征;

3)得到了上海轨道交通线路的最优容量控制参数α=0.9与β=0.95,并得到了与以往实验不同的结论,即在最优参数下网络应对超度蓄意攻击的动态鲁棒性比随机攻击更强,说明线路容量对轨道交通网络的鲁棒性具有显著影响;

4)在不同状态下,容量控制参数具有最优值,可以使网络保持较强稳定性的同时,花费较小的建设成本;

5)本文运用全局效率与客流损失率量化网络动态鲁棒性,兼顾了网络拓扑结构特征与功能特征,能够更全面地反映网络性能;

6)通过对比网络静态与动态鲁棒性可知,在静态网络结构中,介数最能代表节点的关键程度,而在级联故障网络中,节点功能评价指标最能代表节点的关键程度;

7)由负载-容量模型可知,在城市轨道交通网络中,线路承载的客流量对网络性能的影响很大;

8)本文所提的基于超图的超网络级联失效模型具有一定的有效性与普遍性,能为节点与超边均有负载且负载可相互转移的网络提供模型支持.

此外,在实证分析中,考虑到以往相关文献大多以站点为节点,探究了站点间的联系,因此本文以上海轨道交通线路为超网络模型中的节点、站点为超边,主要研究了线路间的关联程度.所以导致模型中节点数目较少,在运行负载二次分配机制时,网络极易发生多级级联故障,致使网络快速濒临崩溃,从而对一些结果的呈现不够显著,因此本文模型可以进一步应用于节点数目较多的大型网络,如公交网络,以探究多级级联故障对网络的动态鲁棒性影响.