高中数学课堂中如何引导学生深度学习

皮冬林

一、什么是深度学习

深度学习是机器学习中一个非常接近AI（人工智能）的领域，其动机在于建立、模拟人脑进行分析学习的神经网絡。深度学习属于无监督学习。深度学习的概念源于人工神经网络的研究。

（一）深度学习的起源

1943年，美国心里学家麦卡洛克和数学逻辑学家皮兹发表论文《神经活动中内在思想的逻辑演算》，提出了MP模型。MP模型是模仿神经元的结构和工作原理，构成出的一个基于神经网络的数学模型，本质上是一种“模拟人类大脑”的神经元模型。MP模型作为人工神经网络的起源，开创了人工神经网络的新时代，也奠定了神经网络模型的基础，基于神经网络的深度学习开始受到人们关注。[1]

（二）深度学习的发展

2006年，杰弗里·辛顿对深度学习的提出以及模型训练方法的改进打破了神经网络发展的瓶颈，他在世界顶级学术期刊《科学》发表的一篇文章中详细给出了“梯度消失”问题的解决方案——通过无监督的学习方法逐层训练算法，再使用有监督的反向传播算法进行调优。该深度学习方法的提出，立即在学术圈引起了巨大的反响，以斯坦福大学、多伦多大学为代表的众多世界知名高校纷纷投入巨大的人力、财力进行深度学习领域的相关研究，而后又迅速蔓延到工业界中。

（三）教育领域对深度学习研究

教育领域中由美籍瑞典研究者马顿和萨尔约率先开始对深度学习进行研究，并在1976年发表的《学习的本质区别：结果和过程》一文中，提出了“深度学习”的概念。该研究认为深度学习既是个体感知记忆、思维等认知过程，也是根植于社会文化、历史背景、现实生活的社会建构过程。

我国对学生深度学习的研究源于2005年上海师范大学的何玲、黎加厚教授在《促进学生深度学习》的著作中提出的“深度学习”概念。该研究指出：深度学习是指在理解学习的基础上，学习者能够批判性地学习新的思想和事实，并将它们融入原有的认知结构中，能够在众多思想间进行联系，并能够将已有的知识迁移到新的情境中， 作出决策和解决问题的学习。

二、数学学科如何理解深度学习

布卢姆在认知学习领域中把教学目标分成识记、理解、应用、分析、综合、评价六个层次， 其中，识记、理解属于浅层学习，应用、分析、综合、评价属于深层学习。因此，对于高中数学学科而言，深度学习最基本的意义体现在能够引导学生走出浅层学习的束缚，能够让学生在数学学习的过程中更多地重视思维，而不只是数学知识的记忆与运用。故数学深度学习是指向学生对数学本质理解、提升数学思维能力、促进学科核心素养获得的学习过程。

基于数学核心素养的“深度学习”：是指学习者运用高阶思维，将所学的知识和技能应用到新的复杂情境，逐步形成正确价值观和必备品格的认知过程。

三、如何促进学生深度学习

根据高考评价体系的整体框架，结合《普通高中数学课程标准》提出的六大学科核心素养（数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析），高考数学提出了五项关键能力：逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力和创新能力。我们的深度学习就要围绕培养学生的这五项关键能力展开，借以培养学生数学学科核心素养。

研究表明高中数学深度学习包含：深度分析、深度设计、深度实践、深度评价四个维度。下面以“直线与圆的位置关系”一课为例，跟大家交流一下数学教学中如何实施深度学习。

（一）深度分析，打造适合学生认知水平的教学情境

深度分析是深度教学的前提，深度分析是指教师基于一定的教学理论，在以学生的学习为中心的要求之下，对学生的学习环境、学习任务以及学生自身学习特点进行分析的过程。深度分析与以往数学教学中教师的教学思路对应，强调数学学习情境对学生构建数学知识的作用，研究者认为，只有学生在具体的情境中完成数学知识的建构时，才会认识到数学学科知识的价值，而这是数学学科核心素养形成的前提。

在“直线与圆的位置关系”教学中，学生已经学习了直线与圆有三种位置关系，划分的标准是直线与圆的公共点的个数，从图形上有一个感性的认识。但不会通过计算或数形结合思想对位置关系进行判定，因为初中学生没有学习圆的方程，没有学习解析几何的研究思路，即用代数方法研究图形的几何性质，特别是数形结合的思想还不具备。鉴于此学情，需要在分析的基础上设计出有效的情境，才能促进学生真正完成对坐标法和数形结合思想的理解。该教学情境的设计思路如下：在判定直线与圆的位置关系和求弦长问题中让学生在具体的情境中体会联立方程组求解、设而不求、数形结合等方法；在求与圆的位置关系相关的直线问题中（如：相切、相交等），让学生在具体的情境中体会适当地利用图形的几何性质，有助于简化计算；在直线与圆的位置关系的应用中，让学生在具体的情境中体会直线与圆的位置关系知识在解决实际问题中的作用，增强学生用数学的意识。

（二）深度设计，促进学生对知识价值的识别理解

研究指出深度设计对应着教学方法的两个转变：一方面是从学习的“法则”向社会符号系统的“法则”的转变，这意味着学习设计的资源需要从认知领域的知识素材寻找与准备，转向从社会领域内的生活、认知素材的共同寻找与准备；另一方面是教师从“以教学为中心”转向“以学习为中心”，这样真正体现了以生为本的教育理念。有了这两个转变，学生就可以在具体的情境中识别数学知识的价值。

本节内容的重点如下：1.如何培养学生用坐标法解决直线与圆的位置关系问题；2.如何培养学生用数形结合思想解决直线与圆的位置关系问题；难点是直线与圆的位置关系的应用。因此，深度设计就要围绕这些主线展开，如，在新知引入时可以引用自然或生活中的事例，日出或日落时太阳与地平线的关系、轮船在海岛附近沿直线航行时是否有触礁危险等；新知学习中可先复习圆的一般方程和标准方程，让学生进一步认识圆的一般方程主要可用来进行代数运算，圆的标准方程主要可用来对图形进行定位、定量。这样设计可让学生认识到数学与生活是紧密联系的、数与形是可以相互转化的，起到了从学生思维出发延伸课堂的作用。

（三）深度实践，使学生在实践中找到解决问题的“最优解”

深度实践是深度设计在课堂上的行为表现，通常情况下只要设计到位且贴近学生的思维，那课堂就会按照预设的主线前进。当然，这里也会遇到一些生成，只要注意分析，就可以发现这些生成其实都是学生原有经验与新的知识之间的冲突形成的。

本节内容中，学生用坐标法判定直线与圆的位置关系和求弦长时，会遇到消元时是消去x还是消去y的问题，消去的变量不同，得到的弦长公式是不一樣的，要让学生去体验与实践，自主生成出结论；在对坐标法和数形结合法的优劣进行比较时也应让学生根据计算过程自行做出判断；在直线与圆的位置关系的应用问题中，建立平面直角坐标系的方式不一样，计算量有很大区别，教学中应对学生中不同的建系方式进行比较，让学生在实践中掌握科学建系的方法。这些深度实践的过程看似浪费时间，实则培养了学生的逻辑思维能力、运算求解能力、数学建模等能力，也为学生后面学习圆锥曲线知识打下坚实的基础。

（四）深度评价，让学生体会成功的喜悦

深度评价主要指深度学习中对学生数学学习全过程的评价，因此，评价方案要关注学生在整个深度学习过程中的表现及其变化。学生对问题的认识和理解、应用，都是有一定过程的，评价要持续关注学生参与活动过程中思维的变化、理解知识深度的变化、分析和解决问题能力的变化。部分教师要求学生“堂堂清”，意为每节课要把所学内容全部掌握，然而这样的要求是不符合学生认知规律的，也更多指向了知识记忆和技能训练。深度学习所关注的整体性恰恰为持续性评价提供了支持，不是急于作出最终结果的评价，而是重过程、重变化，评价呈现出阶段性、层次性、发展性。

“直线与圆的位置关系”这一节中，首先是感性的认识，学生只知道直线和圆有三种位置关系，并不知道如何判定这三种位置关系；其次是坐标运算，用通过代数运算来判定直线与圆的位置关系、求弦长、求直线方程（求出交点坐标、Δ法、弦长公式等）；接着是数形结合（结合图形的几何性质用代数运算来判定）；再次是对合理建系的认识等，这一系列知识，教师不能凭几节课节、几道题目的对错就对学生做出结果评价，而是要通过学生的学习过程或解题思路了解学生掌握到什么程度，进一步还可以达到什么程度。

实践表明，通过深度评价，可以化解学生在数学学习中产生的畏难情绪，让学生发现数学课程的价值与意义。而基于学生学习的评价，可突出学生在深度学习中的主体地位，使学生在深度实践中提高素养，而这也正是学科核心素养的重要内涵。

参考文献：

[1]沈亮. 高中数学深度学习四个维度的例析[J]. 数学教学通讯，2019（6）：2.