破解双变量不等式问题的两个“妙招”

2023-08-27 00:50李遐龄
语数外学习·高中版下旬 2023年6期
关键词:妙招主元同构

李遐龄

双变量不等式问题是近几年高考试题中的“常客”,且常以压轴题的形式出现,这类问题的难度一般较大,侧重于考查函数的单调性、导数与函数单调性之间的关系、不等式的性质等.解答双变量不等式问题,往往需通过构造同构式、指定主元,才能將问题转化为常规的单变量不等式问题,以利用函数、导数、不等式的性质顺利求得问题的答案.

一、构造同构式

在解答双变量不等式问题时,我们可先将不等式进行适当的变形,使不等号两边式子的结构相同或相似;然后根据其特征,构造函数模型,将双变量看作函数的两个自变量;再根据函数单调性的定义、导数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性,即可根据函数的单调性求得函数的最值,从而证明不等式成立.

二、指定主元

对于双变量不等式问题,往往可根据已知条件和解题需求,指定其中一个变量为主元,根据两变量之间的联系,将问题转化为关于该主元的不等式问题来求解.通常可将已知取值范围或已知关系式的变量指定为主元,通过研究主元的范围、变化规律、最值来探究另一个变量的取值范围.

虽然双变量不等式问题较为复杂,但我们只要能根据不等式的结构特征构造出同构式,或结合题意指定合适的主元,便能将问题转化为简单的单变量单调性、最值问题,利用函数的单调性、导数的性质来解题,快速求得问题的答案.

(作者单位:江苏省东台中学)

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