抓住数学美的本质 指向核心素养培养

李怡 曹文栋 仲秀英

［摘  要］ 高中教师培育学生数学审美能力时，常误将数学美外在特征，如简单美、对称美、和谐美、奇异美视作本质属性，忽视了高中阶段的特殊性. 文章简析数学美的内涵、载体及表现特征，指出数学美特征分为外在特征与内在特征，内在特征包含逻辑美、思想美、方法美，抓住数学美的本质，指向核心素养培养，帮助高中生发现数学美.

［关键词］ 数学美；外在特征；内在特征；核心素养

长期以来，我国教育界一直强调育人发展. 数学作为基础学科，承担着育人任务. 强化数学“美育”不仅有利于学生学习数学，还直接指向学生审美价值观的培养. 《高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（下文简称高中数学课标）强调“引导学生感悟数学审美价值”就是对其有力的回应. 学生感悟到数学审美的基础是经历数学活动获得数学美，尽管大量学者对数学美进行了深入研究，许多高中教师也意识到数学美的重要性，但现实教学中常出现数学美的培养流于形式的现象，反观理论研究数学美多指简单美、对称美、和谐美、奇异美这四种基本特征，未明确揭示数学美在各学段的特殊性. 实践教学中的数学美到底是什么？数学美在高中阶段有何特征？渗透数学美的教学中是否更关注数学本质，相较形式美更趋向理性美？都是高中数学教师在数学美的内涵和教学的理解上存在的疑惑，需进一步探讨与研究.

简析高中数学美的内涵

要合理引导高中生感悟数学审美价值，首先要帮助高中生发现数学美. 深入研究数学美的本质，根据数学美感的产生和来源设计教学是必由之路［1］. 基于此，教师应明晰高中数学美的本质，明确高中数学美教学是义务教育数学美教学的延续与进阶，避免因数学美存在于多种载体而掩盖其理性美，让数学美不局限于基本特征.

1. 简析数学美

当前数学美还未有明确和普遍认可的定义，但一些学者对数学美存在一些误解或偏见，认为美学作为人文学科，与高度抽象且完美演绎的数学无缘. 事实上，数学作为人类描述自然的符号、思维的体操、科学的语言，哪里有数学，哪里就有美.

数学家就数学美的本质主要有三种观点，一是源于科学但流于形式的理性美. 事实上，数学美已被数学家发展成为一种方法、一种思想，甚至成为一种研究工具［2］. 二是数学美源于自然美和物理美，这是由自然界本身固有结构所决定［3］. 这种观点一致认为数学美被赋予自然的客观现实性，是内化了数学逻辑结构刻画客体的结果. 三是数学美不仅需要追溯到数学本身，还应关注学习与研究数学的过程，即数学在外在形式与内在思想中的美.

目前广为接受的观点是第三种，数学美是对现实美的反映，既具有现实美的客观性又包含客体自身的主观意识，两者对立统一［4］. 数学美是人们对数学对象产生的主观认知，因此研究数学美的本质，不能脱离数学和美学范畴.

2. 数学美的载体及载体表现特点

数学美是一种能引起人们美感的数学对象的共同本质属性. 而数学对象是人类对现实世界抽象反应的结果，任何能抽象成数学的物体都是数学美的载体，也就是说，数学美的变现依托于载体且载体是丰富多样的. 载体可以是数学对象，即数学公式、图形、结构等，也可以是能进行数学抽象的现实产物. 尽管载体丰富多样，但载体的表现存在共同特征.

（1）使数学美具有依附性. 人们对美的感知是需要对象的，数学美是认知主体对现实对象的主观认知，因此数学美的产生离不开载体，而依附于载体，使数学美具有依附性.

（2）使数学美具有多样性. 数学美的载体往往并不单一，存在多元融合的情况，数学美的表现形式也具有多元化的特點. 比如数形结合是常见的体现数学美多样性的方式，在学习基本不等式时，从“形”的角度理解“数”更直观与简洁.

（3）使数学美具有外显性. 选择良好的载体，会带来直观的美的享受. 美妙的几何结构往往是借助现实物体抽象而形成的，如由恒星抽象出球体，进而截出圆形. 好的载体能带来好的感受，直观且简明地实现数学美的欣赏.

（4）使数学美具有内隐性. 具有美的数学对象不仅仅是直观对象，内在思想和方法具有更深层次且隐性的美，但不易被人们发现. 同时，丰富的载体成了掩盖理性美与创造美的“帮凶”. 比如黄金分割点常通过数形结合从外观形式这一外显的美被人们探究，但黄金分割点的再生性体现的最优化思想却常被人们忽略，哪怕是应用广泛的再生性的“折纸法”. 因此，人们常感受外显的数学美，而忽略了内隐的数学美.

3. 数学美的特征

对于美的定义，有外在形式上的，也有内涵思想上的，对于数学美来说，亦是如此. 数学美的特征笼统分为外在特征与内在特征两个方面，其外在美主要是直观、形式上的美，而内在美则是思想上的精神美.

（1）数学美的外在特征.

外在形式美是一种表层之美，具有直观形象的特点，可凭借感官直接接受并内化出“愉悦”之感. 因具有直观性，通常也是教师选取审美材料的入手点. 通过公式表达、图形呈现等外在感知来快速抓住学生的眼球，从而为进入更深层次的探究奠定良好的心理基础. 对称性、简单性、统一性、奇异性，是人们普遍接受的数学美的四种基本特征.

第一，对称性. 客观世界中处处有对称，数学世界中也崇尚对称，毕达哥拉斯特别欣赏高度对称的球形和圆形，称：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形.”同样，高中学习的偶函数关于y轴对称，就是对称美的直接体现.

第二，简洁性. 数学源于对现实世界的抽象，简洁是它的特点之一. 这种简洁最能给人以美的享受，同时又是数学发现与创造的源泉之一. 计数史就体现了数学对简洁美的追求，从实物计数到符号计数，从石子、甲骨文计数到进制的出现，从算筹计数法到科学计数法，都是为了更简洁地表示数的大小.

第三，统一性. 数学美的统一性，在数学中有着强大的魅力. 笛卡尔建立解析几何的初衷，不正是受统一性的启发吗？在千变万化的数学世界中，找到矛盾问题的共同特征并将其统一起来，这是数学长期以来在奋斗的事情. 欧拉公式eiπ+1=0这道被数学家誉为“上帝创造的公式”实现了几个特殊数字的统一.

第四，奇异性. 数学美的奇异性与前三者对立统一.奇异性指在原有法则和统一格局中的突破与创新. 在原有法则和统一格局中存在出人意料的反例是奇异性的一种体现，好的反例能使人们对问题的理解更清晰. 比如的出现造成了第一次数学危机，使数域直接扩充.

（2）数学美的内在特征.

数学美不能停留于最终的表现形式，它作为数学的一部分，除了结论性特征外，还有存在于内在思想层面的过程美. 数学的内在美与其特有的内在结构、高度抽象与逻辑推理，需要人们经历思维上的突破才能形成成就感，也需要经历学习知识与实践操作相结合的过程才能得到精神上的享受.

第一，思想美. 数学思想对数学思维活动、数学审美活动起着指导作用. 数学思想是对数学事实、数学理论经过概括后的本质认识，思想本身与其中蕴含的方法都是数学内在美的体现. 这种美，美在深刻的思想上. 比如，人类努力刻画客观世界，逐步准确的过程产生了逼近思想，导数、割圆术等都是这一深刻数学思想的具体应用.

第二，逻辑美. 数学美是纯净的，这归功于高度追求逻辑的真实性，逻辑为真就能成为真理，也正是这种求真的态度使得数学变得客观与绝对. 数学严密的理论体系、严格的证明过程、严谨的语言表达等都是数学逻辑美的体现. 对“推理和证明”的教学设计，不同教材均表明“推理”和“证明”有区别，推理是证明过程中的组成部分，在“证明”的教学过程中重点是要让学生理解证明的必要性和证明的过程［5］. 其强调了数学学习过程中的逻辑性及逻辑美，数学教材中每一个定理的学习与证明都是感悟数学美的素材.

第三，方法美. 数学方法是数学各项活动中可用的工具或手段，只有依托于运用才能充分体现，方法的巧妙选取和正确运用能带来比形式美更震动人心的冲击力. 立体几何中引入向量法，充分揭示了代数与几何之间的关系，表明代数是写出来的几何，几何是画出来的代数，正确的方法使问题简单化，呈现出了主体认知的美.

数学美的表现形式以一般标准可以分为形式美、内在美，不同学段的学生对数学美的接受程度不同，随着学段的深入，美的层次应逐步提升. 义务教育阶段多注重数学外在形式的美，而高中阶段应走向更高层次的美，从外显的直观对象走向内隐的思想与方法. 教学上应尽可能将数学美中内隐的内容显性化，高中阶段的数学美应与核心素养相结合，数学美不应止步于欣赏，还要引导学生去创造，最终形成数学能力.

数学学习中对数学美的再认识

从理论上分析数学学习与数学美的结合，是对数学美的再认识，也是后续实践探索的基础. 在数学教学中渗透数学美是数学课程的育人模式，在课程实施中体现数学美特有功能的同时应考虑数学美学习心理机制.

1. 立足核心素养

高中数学课标纲领性指出立足核心素养，集中体现数学育人价值，将学生“感悟、认识数学审美价值”提至教学目标. 高中数学课标强调培养学生“三会”，其中“会用数学的眼光观察现实世界”是强化数学美、培养学生核心素养的直接体现，期望学生通过抽象的视角理解自然现象背后的数学原理，从而形成数学美感. 事实上，数学美一直贯穿“三会”，数学思维特有的数学逻辑、数学表达特有的数学语言无一不呈现着数学美，这种美的直觉正是培养学生创新意识的关键，处处蕴涵着育人价值.

2. 重视直觉思维

数学学习迁移是一种创造性的思维，需要逻辑思维、直觉思维，数学美感常表现为一种高层次的直觉. 心理学家布鲁纳认为，与特殊迁移相比，非特殊迁移比如原理或态度的迁移才是影响教育的关键［6］. 因此，只要掌握了学科基本结构、概念、原理就能实现学习迁移，而数学学习迁移离不开创造性思维，创造性思维又离不开逻辑和直觉，并且直觉在创造性思维过程中往往至关重要，而数学美感正是直觉的表现. 尽管由直觉带来的不被逻辑约束的数学美感，未经严密推理，但在数学创造中由审美感知猜测的结果却至关重要.

3. 关注数学美感的建构

数学美感产生的过程与认知结构优化、更替的过程有异曲同工之妙. 用皮亚杰的认知结构理论分析数学美学习心理机制发现，人认知某一数学对象时，须利用头脑中已建构的认知图式来同化或顺应该对象，从而得到新的认知图式. 事实上，在学生数学学习过程中，数学美感贯穿数学对象同化或顺应的过程. 当学生经历图式优化、重构过程时，数学对象的美也会刺激并同化至原有审美图式，从而伴随着成功的喜悦与满足，得到审美认知结构的进一步完善. 这种心灵享受可能源于对某种算法的优化、对某个概念的深入理解，也可能源于纠正某个错误认识，这些求真求善的过程都是数学美感的产生来源. 所以，数学审美过程也是一种建构活动.

教学中如何帮助学生发现数学美

明确数学美的本质与表现形式后，教师应以核心素养为导向，以发展学生“三会”为目标，在高中数学教学中渗透数学美. 从观察发现的角度创设数学情境，将数学知识的抽象性和逻辑性与思考方式、表达形式有机结合，充分展示数学的形式美、内在美.

1. 直观材料唤醒学生对美的感知

数学美充满了整个世界，开普勒曾指出“数学是这个世界之美的原型”，而这个世界不只是现实世界，还包含富有科学逻辑的数学世界. 因此，在数学教学教育中，教师可将现实世界和数学世界作为观察数学美的两条途径，引导学生用数学的眼光观察世界，在现实世界和数学世界中充分挖掘数学美学因素.

能引发学生观察与思考的现实情境往往是学生熟悉，有意义、有趣的生活情境. 例如，以植物界中的斐波那契数列为专题展开数列教学：通过展示向日葵种子盘，引导学生观察种子盘上两组连续螺旋线走向与数量的关系，抽象出斐波那契数列后展开数列教学.

数学抽象形式的展现也不乏形象，仍具有可凭借感官认识与发现的美. 相对于纯理论逻輯的科学美，学生对富有感性美的美学饶有兴趣. 不妨从美的角度引导学生发现数学情境也富有审美价值. 例如，在高中二项式定理教学中，以（a+b）2，（a+b）3的展开式类比分析（a+b）n，用组合数表示二项式系数得到二项式定理，将观察得到的二项式系数排列成杨辉三角，在排列形式上得到美的享受.

2. 操作实验刺激学生对美的抽象

数学创造中存在数学美，尽管外在的审美形式也可作为创作与思考的方法和发展的方向，但站在思想的高度，教师把数学概念的创造与认识等与审美形式相结合，可进一步抽象出数学思想方法，让学生以顺应或重构的方式经历数学家思维创造的过程，在实践活动中得到灵感与顿悟，进而感受到数学思维的生命力、创造力与深刻之美.

例如，在椭圆概念的教学中，学生经历“做椭圆”的过程，在实践活动中抽象出数学活动是抽象思维的体现. 而结合审美形式，可借助信息技术实现多感官刺激学习，从视觉上感受椭圆的对称性. 在椭圆标准方程的教学中，利用数形结合思想过渡，引导学生类比圆的标准方程的探究过程，以一般曲线方程的求解步骤为线索进行公式推导. 教师可从数学审美角度指导学生利用统一性、对称性和换元思想化简公式，从“形”的对称转换到“式”的对称，突破公式推导的难点.在公式推导过程中，不是简单地类比一般的公式推导步骤，而是追寻方法和结果的简单性、彻底性，再从审美角度培养学生的数学运算素养. 针对椭圆焦点在y轴的情况，引导学生回归原始问题，检验思维过程，从图形对称性可发现焦点分类情况不唯一，以此培养学生的分类思想. 经历上述过程，学生可将各种审美形式作为思想方法来思考世界.

3. 多样表征激励学生对美的升华

数学活动论的观点表明数学语言作为一种传递数学知识、表达数学思想方法、体现数学学科特性的专业语言［7］，是数学活动之一，承担着连接活动各个环节的作用. 显然，高度符号化的数学语言是数学抽象的必要支撑，但正是高度抽象性让学生难以感受数学理论体系创造过程蕴含的内涵美. 换个角度思考，何不借助数学语言的简单性、严密性、可操作性等特性来辅助学生感受数学美. 数学语言的三种表征形式——文字语言、符号语言、图象语言在真实教学中是互利共生的，可立足数学语言的表征形式来呈现数学语言特性，以此得到美的享受.

例如，在高中函数概念起始教学时，学生常因数学符号语言的变换难以理解函数对应关系这一本质. 例举函数解析式、图象和表格三种表示形式，让学生思考与判断例子，初步感受函数表示形式多样，但本质为对应关系. 让学生尝试用自己的语言描述变量变化与对应的关系，教师针对学生的描述引导学生思考“为什么选择该语言表达？”“用集合语言表示有何优势？”“变量变化与对应关系需满足什么条件？有什么共同特点？”……通过与学生共同建构函数概念，从初中的“变量说”逐步改进到高中的“对应说”，让学生经历函数发生与发展的过程，感受语言产生的意义并学会运用语言表达世界，体会在语言产生的过程中蕴含着数学美.

数学既是一门科学也是一门艺术，数学审美教学既要关注形式也要关注内涵，欣赏数学形式上的艺术、洞察数学内在深刻的思想是教育工作者未来关注的方向. 把数学美以润物细无声的方式真正落实到课堂上，还有很长一段路要走.

参考文献：

［1］ 杨泽忠.从数学美感的产生看数学美教学［J］. 数学教育学报，2008（02）：5-7.

［2］王钦敏. 感受数学美的两个重要途径［J］. 数学教育学报，2014，23（02）：53-56.

［3］ 程民治. 从物理学看数学美［J］. 自然辩证法研究，1995（12）：23-27.

［4］ 刘智睿. 合理引导，帮助学生发现数学之美［J］. 数学教学通讯，2018（15）：61-62.

［5］ 曹文栋，童莉. 逆向推理思维方式在初中“相交线与平行線”教学中的应用［J］. 数学教学通讯，2022（05）：3-5+9.

［6］ 傅夕联，孟昭为，梁振英等. 数学学习迁移的几个策略［J］. 洛阳大学学报，2006（02）：110-112.

［7］ 张文超. 小学生数学语言能力发展的教学模型研究［D］. 西南大学，2017.