例析平移坐标系法求解函数问题

楼思远

文［1］研究了平移坐标系法在圆锥曲线中的应用，实际上，平移坐标系法对处理部分函数问题也有立竿见影的效果.我们知道，在平面内对直角坐标系任意进行平移后，函数图象的形状、直线的斜率、线段的长度，多边形的面积等均保持不变，特别的，只对直角坐标系左右平移时，函数的零点个数也保持不变，我们把这些不变的量统称为“运动不变量”，基于这些不变量以及函数本身的性质，通过适当的平移坐标系来对解题思路作出调整，可起到化繁为简的效果，并揭示出问题的本质.

一、实例分析

例1 若对任意的a，b∈R，不等式x2+ax+b≤1在区间［m，n］上恒成立，則n－m的最大值为.

分析：原函数含有两个参数，比较复杂，现将直角坐标系平移使得原点O与二次函数y=x2+ax+b的顶点重合，则二次函数解析式变为y=x2，如图1所示，注意到平移过程中函数的形状保持不变，因此可以将原问题转化为在图1的基础上求解.

二．几点思考

对上述几个问题而言，直接求解将十分繁琐，作为对照，通过平移坐标系这一操作，可以直指问题的本质，以简驭繁快速解答.这其中，结合题意进行观察与尝试，发现并抽象出“运动不变量”是解题思路（平移直角坐标系）的关键，因此，数学抽象能力是根本所在.文［2］指出：“数学抽象是数学核心素养的重要构成内容，在新的教学改革中，数学抽象位于核心素养首位，意在通过对学生抽象素养的培养引导学生利用推理、运算、建模等数学活动方式揭示世界中蕴含的数学规律”.在平时的教学过程中，教师应重视学生抽象思维能力的培养，及时调整教学手段和教学方法，从情境与问题、知识与技能、思维与表达等维度开展数学抽象能力培养的教学，另外，可以引导学生结合直观想象与数据分析等思维方式，从相似问题中抽象出一般性的数学规律与解题技巧.

本文仅就平面直角坐标系的平移展开了讨论.实际上，从横向角度而言，对空间直角坐标系进行平移，可以简化立体几何问题的坐标运算；从纵向角度而言，除了平移外，对直角坐标系进行旋转与伸缩等变换，可以解决其各种类型的问题，例如通过旋转坐标系可以将等轴双曲线转化为反比例函数的图象，从而简化运算过程，等等，此类问题待读者进一步研究.

参考文献

［1］.吴佐慧.平移坐标系法在圆锥曲线问题中的应用［J］.中学数学（上），2018（8）.

［2］.刘 薇.数学核心，抽象为基——高中数学核心素养之数学抽象的培养［J］.中学数学（上），2021（12）.