一道函数不等式引发的指对数跨阶变形的思考

潘小峰　唐鹏

不等式恒成立问题一直为高考热点，尤其是指数和对数相交叉的隐零点问题，本文主要介绍通过指对数跨阶变形可将复杂函数转换为两个简单的函数复合，再运用指对数的常见不等式情形有助于解决不可分参恒成立问题.

原题 已知函数f（x）=x+alnx（a∈R）.

分析：第（1）问略.第（2）小问通过切线方程可解得a=b=1，原题等价于证明xex≥lnx+nx+1对x>0恒成立，只需在③式中令p=q=1，m=0，x0=0即可得n=1，进一步分析只需回代验证n≤1使得原式成立即可.

用切線去放缩证明不等式，主要是因为指对数的凹凸性不一致，如图5所示，指数型图象为下凸，对数型图象为上凸，直线l可以夹在两图象的中间，但是如果不等号两边图象凹凸性一致，则不能用直线整体放缩，只能局部放缩，或者用其它方法来处理.

指对数跨阶变形可以将复杂的函数转换为两个简单的函数复合，通过整体代换，可以简化证明不等式，熟练掌握几个常见的指对数不等式有利于问题的解决，在日常教学中应注重渗透和引导，让学生对指对数跨阶变形的概念形成过程，概念的特征，以及使用条件的合理性和必要性有深层的认知，让学生经历由熟知到真知的深度学习过程，这样有利于学生对指对数跨阶变形的掌握和灵活运用.

参考文献

［1］杜启达，李如密.教师要学会“藏”的艺术［J］.福建教育，2022（05）：64.

［2］潘小峰，聂振荣.去外衣看本质初探切线放缩［J］.中学生数学，2022（03）：17-18.

本文系基金项目：江苏省现代教育技术研究2021年度“基于现代信息技术的高中数学教学模式创新研究”立项课题（编号2021-R-94387）阶段性研究成果.