基于一道教材例题为背景的命题实践与思考

晏鸿

在人教A版高中选择性必修第二册第5页例2的第（2）小问中有这样一道题：根据数列an的前4项2，0，2，0，…，写出数列的一个通项公式.题不难，但很典型，教材编者希望通过这道题回归数学概念本质，强化对“数列”和“通项公式”定义的理解，就看能不能挖掘它的深层价值，这也是命题的切入点.笔者进行了尝试，期待抛砖引玉.

一、命题历程

思路一 命制合格性学业水平考试难度试题

例1 已知数列an前4项为3，1，3，1，…，则an=.（写出符合要求的一个答案即可）.

立意分析：合格性学业水平考试是高中学生毕业或同等学力认定的依据，试题难度都不大，绝大多数都属于模仿改编题.对于教材上的例题，很容易得到一个通项公式an=（－1）n+1+1. 在命题时，可以在这道例题上进行各种变式，如在这个数列各项上进行简单加1，就得到了本题的一个通项公式an=（－1）n+1+2.

在试题评析的过程中，还可以再进行追问和引导，让学生发现这个数列有两个特点：一是所有的奇数项和所有的偶数项都相同；二是每两个数字一循环.于是就产生了两个探究的方向，即分类讨论的方向与周期性方向.由于数列是特殊的函数，这两个方向实际上都是研究数列问题时常用的思维视角，同时也得到另外两个通项公式.

（1）由于数列an的奇数项和偶数项都相同.所以通项公式可以写成分段函数式，即an=3（n为奇数），

1（n为偶数）.

（2）由于数列an具有周期性，可以利用三角函数的周期性，又能得到两个通项公式：①an=2－cosnπ；②an=tan（2n－1）π/4+2. 通过这道题强调对于同一个数列，通项公式不一定是唯一的.

思路二 命制高考难度试题

例2 已知数列an前6项为2，－2，－2，2，－2，－2，…，则an=.（写出符合要求的一个答案即可）.

立意分析：命制高考难度的试题时，可以有一定数量的开放性问题，问题情境的设计应自然、合理，重点体现知识的迁移与应用. 本题实质是由1，－1，－1，1，－1，－1，…这样一个数列演化而成，于是得到两个通项公式an=2·（－1）n2－n/2或an=22cos（2n－1）π/4. 同时这个数列也可以看成（－1）0，（－1）1，（－1）－1，（－1）0，（－1）1，（－1）－1，…，各项乘以2得到，再联想到正弦函数性质，从而得到另一个通项公式an=2·（－1）－23/3sin（2n+1）π/3.

思路三 命制竞赛难度试题

例3 已知数列an的前9项为1，1，1，2，2，2，3，3，3，…，则an=.（写出符合要求的一个答案即可）.

立意分析：竞赛题对于巩固基础知识、培养深度思维能力、问题关联能力、选拔创新性人才，有不可替代的作用. 如果仔细观察联想，利用三角函数的周期性就可以解决本题.

它可由数列1，0，0，2，0，0，3，0，0，…，其中an=2/31/2+sin（2nπ/3－π/6）·n+2/3；数列0，1，0，0，2，0，0，3，0，…，其中an=2/31/2+sin（2nπ/3－5π/6）·n+1/3；与数列0，0，1，0，0，2，0，0，3，…，其中an=2/31/2+sin（2nπ/3－3π/2）·n/3三个相加得到，故an=2/31/2+sin（2nπ/3－π/6）·n+2/3+2/31/2+sin（2nπ/3－5π/6）·n+1/3+2/31/2+sin（2nπ/3－3π/2）·n/3.

下面这几道类似题，供读者赏析.

①、已知数列an的前几项为0，1，0，2，0，3，…，则an=；

②、已知数列an的前几项为1，1，2，2，3，3，…，则an=；

③、已知数列an的前几项为2，0，0，2，0，0，2，0，0，…，则an=.

（答案：①an=1+（－1）n·n/4；②an=2n+1+（－1）n+1/4；③an=1+2sin（2n+1）π/4）

二、命题思考

基于以上的命题实践，提炼出如下命题原则和程序.

1.命制的试题要符合科学性、规范性的原则. 试题内容与答案要科学合理，表述准确简洁，没有歧义，评分标准具有可操作性. 灵活运用符号、图表、文字三种语言，使得字符图表匹配，图形规范优美，语言通俗易懂，能缓解学生解题压力，带给学生信心和动力.

2.命制的试题要有精准度和有效性.精准度是指试题的考查内容、考查的思想方法、檢测的能力意识要有针对性.一般情况下，选择题、填空题每题考查知识点1～3个；解答题考查知识点3～6个、思想方法2～4个、能力意识2～3个.试题的思维量、运算量、阅读量及解答书写量都要恰当.有效性是指试题具有较好的检测功能，真正起到诊断问题、选拔分层的作用，如试题的内容、难度、信度、区分度跟题型、所处试卷的位置是否匹配，考查知识点之间搭配是否自然合理.

3.命制的试题要有思想性和公平性. 试题要体现新课程的理念，对关键能力的考查要求.既要关注经济社会与科学技术的发展，突显素养立意，又要对城乡不同地域、不同生活经验的学生公平合理．

4.命制试题的基本程序.应包括立意与选材，关联与建构，加工与调整，审核与定型四个步骤，以此确保编题质量.

参考文献

［1］ 课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书（A版） 数学（选择性必修第二册）［M］.北京，人民教育出版社，2019.