新工科背景下运筹学课程教学方法改革的研究与实践

岳芳，肖吉军，吴振华，周清华

（桂林电子科技大学 商学院，广西桂林 541004）

新工科建设是在新技术、新产业、新经济背景下进行的，工程教育改革的重大战略选择，是我国工程教育发展的新思维、新方式[1]。新工科的内涵是以立德树人为引领，以应对变化、塑造未来为建设理念，以继承与创新、交叉与融合、协调与共享为主要途径，培养多元化、创新型卓越工程人才。新工科作为一种新的工程教育理念，对人才的培养提出了更高的要求。新工科培养的人才需要具备优秀的专业素养、问题分析能力、实践操作能力、创新思维能力、沟通交流能力、团队领导能力和较高道德水准。为此，工科类高校都在进行新工科背景下的人才培养模式改革探索。

运筹学是运用数学方法对系统中的各种有限资源进行统筹安排，为决策者提供最优方案，以实现最有效的管理的科学。运筹学包含了线性规划、运输问题、整数规划、目标规划、图与网络分析、网络计划、决策分析等内容。该课程是桂林电子科技大学商学院工业工程、信息管理与信息系统、电子商务等多个专业的基础课程之一，具有很强的实践性和应用性[2]。因此，要想为社会培养更多的技能型人才，需要在新工科建设要求的指导下，结合学校人才培养目标，开展教学改革[3]。

1 运筹学课程教学现状

运筹学作为管理类专业的核心课程，目前其课堂教学仍然存在不少问题，可以从学生“学”和教师“教”两个方面进行分析。

学生“学”存在的问题：（1）学生缺乏明确的学习目标，学习主动性较弱，参与度低。（2）理论联系实际的能力较弱。学生被动接受知识，缺乏主动应用运筹学知识解决实际问题的能力，综合应用知识的能力较弱。（3）知识掌握不够牢固，未建立起知识之间的联系。（4）课堂讲授内容仅限于教材，学生对运筹学的前沿进展了解较浅。

教师“教”存在的问题：（1）授课方式比较单一。课堂大部分时间由教师讲授运筹学原理和算法，学生的主要任务是听讲、理解和记忆，然后做一些练习，师生之间缺少交流和互动。（2）教学模式属于教师推动式，以教师讲授为主，推动学生学习，而非基于学生内在需求的拉动式教学。（3）考核方式单一，缺少过程考核，目前主要采用平时成绩加期末成绩的考核方式。

2 运筹学课程的特点

为了更好地进行课程改革，需要分析运筹学课程的特点。

（1）概念抽象。运筹学中的一些概念比较抽象，不易理解。例如，基矩阵、非基矩阵、基向量、非基向量、基变量、非基变量等。

（2）算法繁多。运筹学每一个理论分支都介绍了不同的求解方法。例如，线性规划中的图解法、原始单纯形法、人工变量法（大M 法和两阶段法）；对偶规划中的对偶单纯形法；运输问题中的表上作业法；整数规划中的分支定界法和割平面法；小规模0-1 整数规划中的隐枚举法；指派问题中的匈牙利法；等等。

（3）算法原理复杂。运筹学中的一些方法原理比较复杂，例如单纯形法、对偶单纯形法、表上作业法、割平面法、匈牙利法等。一般情况下，以上算法求解过程比较繁琐，有时需要迭代多次。

（4）运筹学是一门应用学科，还在不断发展。

3 新工科背景下运筹学课程教学方法的改革措施

结合新工科对人才培养的需求，针对运筹学的课程特点和教学中存在的问题，采用启发式教学、案例式教学、思维导图等多种方法，对运筹学课程进行教学改革。使学生在掌握概念和方法的基础上，建立起知识之间的联系，增强实践能力，拓宽知识视野，培养其创新能力和科学素养。

3.1 启发式教学

启发式教学是教师进行启发式提问，对学生的思维进行启发，让学生学会思考，促进学生自主建构知识体系[4]。启发式教学非常注重提问中潜在的思维引导[5]。

在章节学习前，教师通过设置一些问题，引起学生兴趣，让学生带着问题去思考和学习。在授课过程中，让学生自己去发现答案，增加课堂的趣味性。例如，在讲解网络计划时，给出一张某车间扩建及技术改造施工网络计划图，设计一系列有逻辑关系的问题。例如，（1）为什么要画网络图？（2）网络图是如何画出的？（3）该项目的工期是多长？（4）是否可以缩短工期？（5）如何缩短工期？让学生带着这些问题学习。随着网络计划概述、网络图的构成、网络图的绘制、网络时间参数的计算、网络计划的优化等课堂内容的学习，之前设计的问题自然有了答案。

在章节学习中，运筹学涉及算法繁多，而且原理比较复杂。可以建立算法之间的联系，在已学算法的基础上，引导学生学习新的算法。例如，在讲授运输问题的表上作业法时，该方法本身就包含了好几种计算方法，如果梳理不清这些方法之间的关系，学生容易产生混淆。由于运输问题的系数矩阵比较特殊，表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种简化方法，其实质仍然是单纯形法。因此在学生学习线性规划的单纯形法的基础上，引导学生学习新的方法。先建立两种方法的联系，流程图的骨架都是一样的，再介绍它们的区别，区别在于实现的细节方面不同，如图1 所示。表上作业法的第一步，获得初始基可行解，即获得初始的运输方案，包括西北角法、最小元素法、伏格尔法。第二步，解的检验，包括闭回路法和位势法。第三步，转移到另一个基可行解上，方法是闭回路法。因此，设计一系列有逻辑关系的问题：（1）表上作业法是如何获得初始基可行解的？（2）如何对解进行检验？（3）如何转移到另一个基可行解？让学生带着这些问题去学习新的方法。这样做的好处是：既建立了知识之间的联系，又帮助学生梳理了不同方法之间的关系。

图1 单纯形法和表上作业法对比

总之，在一问一答的启发式教学过程，避免了教师单方面向学生讲授概念和原理等，而是引导学生主动学习、思考和寻找答案，形成自己的思维和认知。同时，增加了教师与学生的互动机会，提高了学生的参与度。避免了学生碎片化学习知识，使学生能够系统、全面地掌握知识，提升了学习效果。

3.2 案例式教学

运筹学是以实际问题为研究对象，与实践紧密结合的一门学科。采取案例式教学，鼓励学生尝试运用运筹学知识，例如线性规划、整数规划等理论，解决生活、学习、管理等方面的问题。案例分析通常以小组形式开展，每个小组4～6 人，要求学生制作相关PPT 或者完成相关报告。例如，在最短路问题的应用方面，学生撰写的案例是“高效领取快递”。撰写内容包括：（1）结合电商与快递行业的发展情况，根据学生的日常生活，分析问题研究的背景。（2）介绍校园情况，收集并整理数据，例如快递点、住宿区等的位置，地点间的距离等。（3）提出问题假设。（4）建立模型，进行求解。（5）结果分析。（6）指出不足之处。

创新能力培养是衡量人才培养质量的关键因素，新工科专业人才培养更是如此[6]。在完成案例的过程中，鼓励学生从不同角度，运用各自的思维方式，分析实际问题内部因素间的相互关系，提出解决问题的新思路和新方法。对学生好的思路和独到的见解，应加以肯定，对学生存在的问题和不足应加以纠正和补充。培养学生的求知欲和好奇心，使学生形成不断追求创新的思想和意识。

学生通过对案例的实地调研、分析和撰写报告，可以提高运用运筹学知识解决实际问题的能力，加深对算法的理解，锻炼沟通能力和团队合作能力，还可以逐步培养创新能力和科学决策的意识[7]。

对于教师而言，案例分析可以作为运筹学过程考核的依据之一。一方面，教师可以从选题、数据采集是否完整、模型建立是否正确、报告撰写水平优劣、文档是否规范和工作量大小等方面，对案例进行评价。通过此环节，和课堂教学形成一个闭环。另一方面，案例主要来源于学生的生活，具有真实性，学生可在学习知识的过程中也解决了生活中的一些问题。通过案例的不断积累，逐渐形成丰富的案例库，最终形成本学院本课程的教学特色。

3.3 思维导图

运筹学涉及概念和方法较多，知识零散，而且比较抽象，不易理解和记忆，需要积极探索课程资源建设的新形态。思维导图作为一种可视化思维工具，它将单调的信息转换成色彩丰富和高度组织化的图式，使人的思维不再局限于整齐但繁冗的文字中，更形象、具体地表现事物之间的内在联系[8]。思维导图是近年来广泛应用于教育领域的可视化思维工具，被誉为21 世纪全球性思维工具。思维导图的工具包括MindManager、MindMaster 等，这些软件可以提供各种图例、图形、颜色等[9]。

利用思维导图，将运筹学的众多知识点以可视化的形式直观形象地呈现出来，从而建立知识体系的层次和结构，形成一个知识网络，支撑运筹学的教学。例如，利用MindMaster 软件，绘制运输问题的思维导图，可以形象生动地展示运输问题知识点之间的逻辑关系，如图2 所示。

图2 运输问题的思维导图（部分）

构建运筹学的思维导图，一方面可以使学生加深对知识体系的整体印象，有利于学生对庞大且复杂的知识结构的把握，提高学生的学习效率；另一方面使学生的学习路径可视化，因而学习路径更加清晰。利用思维导图整合零散的知识点，能够逐渐形成可视化的教学知识库。教师可以根据授课内容，选择不同的可视化模块进行讲授。由于运筹学还在不断发展，有很多优化算法会不断被提出，因此所构建的可视化的知识体系需要动态更新，逐渐形成一个全景的知识框架。

3.4 运筹学实验

针对运筹学一些算法求解过程比较复杂、运算量大等问题，需要在教学中引入实验软件。这些软件可以帮助学生完成运筹学中大量繁琐的计算工作，让学生能集中精力攻克数学建模难关[10-11]。

运筹学问题的求解软件主要包括Matlab、Excel、Lingo、Lindo 等[12]。这些软件各有特点，例如，Excel 简单易用，具有方便、简单的特点，不需要单独安装软件，只需要安装一些插件即可，学生能够使用相关函数公式对运筹学问题进行求解。Matlab 语法规则简单，提供了很多计算函数，而且灵活度高，对于一些有特殊要求的模型，可以通过编写程序实现，但是该软件需要学生具备一些编程基础知识。因此，可以根据学生已有知识基础、专业特色及实验条件选择相应的软件。此外，实验报告也可以作为运筹学过程考核的依据之一。

3.5 前沿知识的拓展

随着以智能技术为特征的新技术时代的到来，运筹学的新模型、新方法不断涌现，运筹学的内容也不断丰富[13-14]。这就需要教师不断探索，增强课程的前沿性和时代性，发挥运筹学在经济管理中的作用，从而培养出新时代所需的管理人才。例如，通过介绍人际网络方面比较著名的理论——“150 定律”和“六度分隔理论”，让学生了解图论方面的研究进展。其中，社交网络分析的工具，可作为学生的扩展阅读。在现代优化算法方面，介绍禁忌搜索算法、模拟退火算法、遗传算法、蚁群算法、神经网络算法等。其中，相关算法实现，可作为学生的扩展阅读。总之，通过知识延伸，让学生可以及时了解运筹学的发展动态，紧跟时代步伐。

4 结语

本文结合新工科建设对运筹学课程教学的要求，通过对桂林电子科技大学商学院运筹学课程教学现状的分析，提出了一系列教学改革措施：通过启发式教学，学生明确学习目的，由推动式的被动学习转变为拉动式的主动学习；通过案例式教学，学生学以致用，解决理论知识和应用实践脱节的问题；通过思维导图的应用，整合零散知识，学生加深记忆，提高学习效率；通过组织运筹学实验，利用软件去完成大量且繁琐的计算工作，学生能集中精力攻克数学建模难关，提高动手能力；通过拓展前沿知识，学生及时了解运筹学新的理论和方法；通过改变考核模式，增加过程性考核，将案例分析和实验报告作为考核依据，达到了全面考查学生学习情况和能力发展情况的目的。

总之，通过教学改革，激发了学生的学习兴趣，增强了学生应用理论知识解决实际问题的能力，提高了学生的动手能力和创新能力，为学生科学素养的培养打下良好的基础。教师作为教学组织者，需要努力探索教育教学规律，了解学生的心理及认知规律，不断提升教学质量和教学效果。