基于APOS理论的椭圆概念教学实践分析

孙红　翟洪亮

美国学者杜宾斯基等人建立的针对数学概念学习的APOS理论，强调学生学习数学概念需要进行心理建构，经历操作（Action）、过程（Process）、对象（Object）、图式（Schemas）四个阶段，APOS理論的应用改变概念教学中静态的教学方式，根据学生的认知规律，以活动为载体，通过操作使学生感受概念的形成过程，有利于学生结合自身经验，建构新的概念体系，提升学生的数学素养.椭圆的几何性质中概念较多，基于APOS理论的指导，从特殊的椭圆着手，让学生实验操作去感受相关概念、性质的发生过程，再引导学生从方程的视角加以研究，现整理如下：

二、课后感受

1.注重引入，使内容过渡自然

核心素养是在特定的情境中表现出来的知识、能力和态度.基于核心素养的数学教学特别重视情境的创设和问题的提出.解析几何教学解决的两大任务：一是根据所给条件求圆锥曲线的方程；二是根据圆锥曲线的方程研究圆锥曲线的性质.椭圆的几何性质是解析几何中首次比较系统地根据圆锥曲线的方程研究圆锥曲线的几何性质，这对学生来说是全新内容，本节课通过两个相关习题，直奔主题，从点满足椭圆的定义得到椭圆的标准方程出发，通过变式引出椭圆的范围，实现从图形到方程视角的转变，从等式到不等式的跨越，旨在强调通过椭圆的方程来研究椭圆的几何性质的目的，让学生去初步领略解析几何的第二任务，体会它的教学价值.

2.注重操作，使学生认识深刻

椭圆的几何性质这一节概念多，为了让学生认识深刻，通过让学生动手操作，在操作中接受多方信息刺激，感悟相关概念和性质.如让学生通过对所画特殊椭圆的观察、整点代入方程验证，发现四个特殊整点间的对称关系，通过折叠图形验证，猜想椭圆的对称性，再上升到理性的代数证明.当操作中点C位于椭圆短轴时，在直角三角形中易得a2=b2+c2，通过图形直观有力地揭示在求椭圆方程时为何要令b2=a2－c2的根源所在，加深学生对椭圆短轴的理解.在保持椭圆长轴长不变的情况下，通过改变焦距的大小，画出不同形状的椭圆，让学生直观感受到椭圆的圆扁程度与焦点离开中心的远近程度有关，便于学生理解离心率的定义.

3.注重类比，使学生理解容易

著名心理学家奥苏泊尔说：“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么，我将一言蔽之：影响学习的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道什么.要探明这一点，并应据此进行教学.”这说明教学应从学生已有的知识、经验和能力出发，立足最近发展区，要注重新旧知识间的类比.注重研究方法的类比.在代数中研究指数函数、对数函数的图象和性质时都是由特殊的指数函数、对数函数的图象着手，归纳得到一般的指数函数、对数函数的图象和性质.同样在解析几何中，对于椭圆的性质研究也可以从特殊椭圆着手，再推广到焦点在x轴上的一般椭圆的性质，从而可以放手让学生自主探究焦点在y轴上的一般椭圆的性质.由抛物线的顶点位置类比到椭圆的顶点位置，衔接自然.注重定义的类比，通过斜率、速率类比到离心率的定义，用比值来刻画方法是自然的，在后面导数的学习中平均变化率也是通过比来刻画的，使学生深刻地认识到数学知识和数学方法是相互连通的，从而发展学生数学眼光，提升学生的数学素养.

参考文献

［1］马拉默德.杜宾斯基的生活［M］，杨仁敬，杨凌雁译.南京：译林出版社，1998.

［2］奥苏泊尔.教育心理学一认识观点［M］.佘星南，宋钧译.北京：人民教育出版社，1994.

［3］翟洪亮.对苏教版高中数学教材中操作题的教学初探［J］.数学通报，2014，（4）：37-40.