一个不等式猜想的推广

胡芳举

文［1］针对一道IMO试题，提出了如下猜想：已知a，b，c∈R+，且n∈N*，证明或否定：n/a2/a2+（3n－1）bc+n/b2/b2+（3n－1）ca+n/c2/c2+（3n－1）ab≥1.

文［2］中证明了这个猜想成立，文［3］证明了这个猜想的四元情形，三位作者的方法都是反證法，证明比较繁琐，故文［3］末尾作者提出：“希望有兴趣的读者能给出该情形（即四元情形）的直接证明”.本文将用直接法给出这个猜想的一般情形的一个简洁证明.

由文［2］知，猜想不等式等价于下面的不等式：

若x，y，z>0，xyz=1，则1/n/1+（3n－1）x+1/n/1+（3n－1）y+1/n/1+（3n－1）z≥1.

其一般情形（k个变元）为：

推广 若a1，a2，...，ak>0，a1a2...ak=1，k，n≥2（k，n∈N*），则∑k/i=11/n/1+（kn－1）ai≥1.

证明：先用分析法证明如下局部不等式：1/n/1+（kn－1）ai≥a1a/a1a+a2a+…+aka（*），其中α=kn-1/n·kn（注：α可由待定系数法得到）

参考文献

［1］安振平.一道国际数学竞赛试题的研讨［J］.数学教学，2010（5）.

［2］王岩.对一个猜想不等式的证明［J］.中学数学，2013（10）.

［3］俞忠有，施刚良.对一个猜想不等式的探究［J］.中学数学研究（江西师大），2021（6）.