一道基于椭圆第三定义的试题命制探究

范志晔　林永忠　翁建新

在“一核四层四翼”的高考评价体系总体框架下，试题的命制要体现基础性、综合性.试题命制必然要关注试题如何体现对学生的数学核心素养的考查.为此，笔者在我市一次模考中以基于椭圆第三定义命制了一道解析几何多选题压轴题，现成文，旨在与同行共同学习交流.

1 试题展示

（多选题） 已知A、B是椭圆E：x2/4+y2=1的左右顶点，过点P（1，0）且斜率不为零的直线与E交于M、N两点，kAM，kBM，kAN，kBN分别表示直线AM，BM，AN，BN的斜率，则下列结论中正确的是（）.

A.kMA·yd·kMB=－1/4B. kBM·yd·kBN=－3/4 C.kMA=3kBN D.直线AM与BN的交点的轨迹方程是x=4

2 设计过程

2.1 命题意圖

本题是以椭圆的第三定义为背景命制的一道多选题，旨在考查直线与圆锥曲线位置中的定值定量、轨迹等问题；本题综合性较高，旨在考查学生对圆锥曲线知识的掌握情况，检测学生的综合能力.

2.2命题过程

（1）立意与选材

在圆锥曲线的教学过程中发现课本有较多的二级结论，在研究二级结论的基础上加以拓展是教学的重难点，也是培育学生核心素养的有效途径，基于此，若能在教材原有的题目上进一步延伸拓展，引导学生举一反三、触类旁通，从而高效学习.人教版数学选择性必修第一册P108例3和P121探究就是双曲线的第三定义，故有以此为背景进一步拓展并命制相关题目的想法.

（2）联系与搭架

教材以双曲线为背景，在命题时进行迁移，拓展出一般化的结论.但作为一道多项选择题，若是用一般化结论进行命题，学生不好下手，又学生对椭圆相对熟悉，故以具体的椭圆为背景命制试题.并以椭圆上的动点（不与左右顶点重合）到左右顶点两项的斜率的积为定值－b2/a2为基调，进一步拓展命制.

（3）加工与调整

第一稿：已知A、B是椭圆E：x2/4+y2=1的左右顶点，M、N是异于A、B的两点，且kBN·kMB=－3/4，则下列选项中是正确的有（ ）.

4 试题评析

本题是在椭圆的第三定义背景下命制的一道多项选题压轴题，试题设想考查学生对直线与圆锥曲线位置中的定量、轨迹等知识的掌握熟练程度；同时也考查学生在解题过程中根据题设条件适时调整运算方向和运算策略方案的能力，这也是培育学生数学运算核心素养的有效途径.当然在关注通性通法的基础上，作为选择题也可以从特殊值角度分析来降低难度，如从特殊点M（0，1）入手，结合对称性取两个特殊位置分析便于找到直线AM与BN交点的轨迹方程就是x=4.这符合现行的高考命题目的.本题当中若不借助kMA与kBN的关系求轨迹方程，过程略显麻烦，实际本题设置选项C就是为D选项做铺垫用的.本题的测试具备一般性解决、功能性检测、特殊性反馈，对后续的复习能够起到很好的示范作用，可作为一道选择压轴题.

5 命题拓展

拓展一：已知A、B是椭圆E：x2/a2+y2/b2=1的左右顶点，过E的右焦点F的直线与E交于M、N两点，则直线AM、BN交点的轨迹方程是x=a2/c.反之：点P是直线x=a2/c上的一点，直线AP、BP分别与E交于M、N两点，则MN过定点F.（证明略）

拓展二：已知P是椭圆E：x2/a2+y2/b2=1的定点，M、N是E上的两动点，若kMP·kNP为定值，则直线MN过定点.（证明略）

基于教材中椭圆的第三定义背景进行试题命制，源于教材又高于教材，符合中国考试评价要求，试题能够有效检测学生对所习知识的掌握情况，考查数学学科素养达成情况，同时试题命制心路的呈现也能正确引导后续教学.

参考文献

［1］史宁中，王尚志. 普通高中数学课程标准（2017年版）解读［M］.北京：高等教育出版社，2018

［2］任子朝，赵轩. 基于高考评价体系的数学科考试内容改革实施路径［J］.中国考试，2019，（12）：27-31.

［3］翁建新. 窥一角而知全貌 处一隅而观全局［J］.福建中学数学，2021，（9）：1-3.