基于表征的数学问题解决策略探究

数学问题的解决过程就是对问题的表征过程，不同的表征有着不同的功能，提供不同的信息，良好的问题表征有助于学生生成问题理解、减轻认知负荷、构建解题策略.美国著名的认知心理学家和人工智能的创始人西蒙也曾指出，“表征是问题解决的一个中心环节，它说明问题在头脑中是如何呈现的，如何表现出来的.如果一个问题得到了正确表征，可以说它已解决了一半”.［1］因此，在教学中要重视多元表征的教学策略.

一、影响数学问题解决的原因分析

数学学习的过程就是问题解决的过程，如何有效地解决问题？首先是审题，然后对问题进行表征，最后根据适宜的表征构建解决问题的策略.在这一过程中对问题进行表征是关键，表征是问题解决的切入点，但是不少学生面对问题时，无法对问题进行表征，往往表现出表征识别能力低，表转换意识弱.

1.表征识别能力低

表征识别能力的培养是一个长期的过程，每一种表征形式的特点和功能需要长期在对问题的表征中逐渐掌握，由于学生追求答案，为解题而解题的习惯导致很多很好的多元表征问题的机会错失.从而对问题的多元表征识别能力得不到提高，不能准确快速地识别题目中的原有表征以及目标表征的意义.另外，对问题仅停留在初始表征，即对概念、定理、公式等进行表征，而深层表征即对已知问题信息进行翻译和转换较少，从而导致表征识别能力低下.

2.表征转换意识弱

在问题解决过程中受阻的原因很多，但是“一条道走到底”是其中一个最重要的原因，部分学生在对问题表征时总是停留在一种形式，没有强烈的对问题多元表征的意识，表征间的转换或转译意识淡薄，总是容易受原有表征和目标表征的定势影响，不善于借助其他表征.比如集合的交并补仅从文字表征理解起来有点费力，但是借助图形表征“韦恩图”则可以起到“豁然开朗”的效果.

二、表征在问题解决中的重要性

问题解决前对问题的表征形式是很重要的，只有恰当的表征问题，才能从题目中提取有效信息，确定求解目标，从而激活正确的图式理解整个问题.［2］通过对问题的表征可以生成问题理解、减轻认知负荷以及构建解题策略.

1.生成问题理解

同样一个问题不同的表征就是对问题的不同理解，通过不同形式的表征才能比较精准地识别问题的本质.比如复数的模可以表征为向量的模，还可以表征为距离，也可以从数的角度识别成绝对值，一种表征形式就加深一层理解，在解决问题时就会多一种问题解决的策略.

2.减轻认知负荷

不同认知风格的学生对问题表征的能力是有差异的，学生可以根据自己的认知习惯和认知水平选择适合自己的问题表征形式，也可以通过不同的表征从不同的角度对问题进行认知，在一定程度上大大减轻了认知负荷.比如空间几何中线面关系的定理和性质，每一条定理和性质都有三种表征形式，学生可以选择文字表征、符号表征或者图形表征对定理和性质进行理解.可以说多元表征是减轻认知负荷的最好载体.

3.构建解题策略

问题解决的心理过程可大致分为两个层次，一是理解问题，其中包括对问题的转述和问题表征.即将问题用语言或符号表示出来，并转化为学习者的内部心理表征；二是执行计划，其中包括计划的执行与反馈监控.由此表明，良好的问题表征及恰当的转换是问题成功解决的前提和关键.［3］表征选择和表征转换决定了问题解决策略的路径，以复数为例，把复数表征成向量就用向量知识解决，表征成点就用几何知识解决，表征成数就用代数知识解决.

三、基于表征的数学问题解决策略

学生面对一个问题时首先是思考如何理解题意，而很多题目仅从已知条件的外在结构是很难清晰地知道它的内在特点，这就需要对问题进行多元表征，选择哪种表征形式直接决定了问题能否顺利解决.高中数学问题解决中常见的表征形式有三种：图形表征、符号表征和文字表征.灵活应用三种表征，熟练三种表征之间的转译是解决数学问题的关键.

1.图形表征：让问题可视化

数学问题的解决过程中很多意想不到的错误就是缺少问题可视化的过程，除了上述提到的学生受表征能力的影响外，还有一个重要的原因就是思维定势导致的表征转换的偏向性，多数学生偏向数学符号的表达，而不太习惯繁琐的文字表征以及图形表征，而图形表征的最大优势在于直观，让问题可视化.通过把问题可视化更有利于分析问题和解决问题.

题1 在复平面上，一个正方形的三个顶点按顺序分别对应的复数是1+2i，－2+i，0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（）.

A.3+iB.3－iC.1－3iD.－1+3i

这道题的出错率很高，大多数学生选了A，除了受思维定势的影响之外，更多的是学生在解题时没有对题目中“三个顶点按顺序分别对应的复数是1+2i，－2+i，0”进行图形表征，而是凭着以往的解题经验，默认这三个点分别是相邻的，如果正方形是ABCD，那么就默認这三个点就是A、B、C，这样做出来的选项是A，如果作图则求出的答案是D.但是对于选项A作图可以看得出是不能构成正方形，那为什么那么多人会选择A？原因肯定不仅仅是学生没有对结果通过作图进行验证，而是对题目的理解出现了偏差.一是对文字语言的理解受思维定势的影响，平时做过不少类似的题目，如人教版必修二81页的第5题：四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1+3i，－i，2+i，求点D对应的复数.这里A，B，C对应的三个点就是按顺序的，而题1中的三个点显然不是按顺序的，二是学生的惰性思维和惰性行为导致，懒得作图，心算来得比较直接，思维不严谨，认为这是一道比较基础的题.在做错的学生中基础好的学生占比较多，相反数学基础一般的学生反而正确率比较高，原因很简单，就是基础一般的学生在做题时按部就班地根据题意画出图形，再根据图形表征进行解答，而基础较好的学生直接根据题意进行解答.事实上，作图的过程就是思维可视化的过程，通过图形表征让问题直观地呈现出来，以形解数，以数解形，思维更严谨，这样会少走很多弯路，也会提高正确率.

2.符号表征：让问题清晰化

符号表征有着简洁的特点，是数学学习的主要语言，也是学生最熟悉的语言，但是符号表征同时有着高度抽象的特点，符号识别能力弱的学生很难从外在结构找到问题的切入点.因此，应根据所学知识把难以识别的符号转译成便于理解的符号.当然，转译并不是一步到位，有的时候需要多次转译，但是在不断地转译的过程中就会对问题的理解逐渐清晰，从而才能构建出优良的问题解决策略.

题2 若z1－z2=1，则称z1与z2互为“邻位复数”.已知复数z1=a+3i与z2=2+bi互为“邻位复数”，a，b∈R，则a2+b2的最大值为＿＿＿＿＿.

新教材实施后的高一学生没有学过圆的方程，那么解答这道题时就要从其它角度进行分析，首先根据题意把z1－z2=1表征为（a－2）2+（3－b）2=1，显然学生是不能从这个式子表征的外在结构识别出它的意义，从而导致思维受阻.但是，如果对这个符号表征稍微变换一下，把不熟悉的表征转换为熟悉的表征，即（a－2）2+（b－3）2=1，问题就清晰了很多.接下来不难理解这个符号表征的几何意义，用语言表征就是：点（a，b）到点（2，3）的距离是1，然后用图形表征即画出图形，显然知道这是一个圆，最后把a2+b2变为a2+b2，其几何意义是点（a，b）到原点的距离，根据图形表征迅速求解.

解决问题的最终途径是化未知为已知，把不会的问题逐步转化为已经学习的知识进行解答，转化的过程就是问题逐渐清晰化的过程.在问题清晰化之后解题策略就会丰富起来，除了上述的解法之外，还可以利用三角换元的思想进行解答，（a－2）2+（b－3）2=1的式子结构有着很明显的“平方和”的特点，这与“sin2θ+cos2θ=1”的结构极为相似.因此，可以设a=2+cosθ，b=3+sinθ.不同的符号表征代表的意义是不同的，稍作变换便“守得云开见月明”.另外，必要的一题多解可以体现知识的联系性与整体性，有利于学生巩固和完善知识体系.这道题的解决过程中并不是单一的符号表征，而是三种表征不断地转译，单一的表征是不足以完成问题的解决.可见，培养学生的表征意识和表征能力在高中数学问题题解决中是非常重要的.

3.文字表征：让问题结构化

分析问题首先应该从问题的结构入手，剖析问题的结构有利于发现问题的本质，从而对问题进行适宜的表征.但是由于学生表征具有偏向性，对于数学学习来说，学生较为喜欢符号表征与图形表征的转译，而忽视对文字表征的重视.其实如果对数学对象的意义能够用精准的文字表述出来数学素养是很高的.因此，数学问题的解决中要加强对语言表征的转译.

题3 设函数f（x）=2sin（π2x+π5），若对任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则x1－x2的最小值为＿＿＿＿＿.

这道题以三角函数为背景考查学生的数学抽象和逻辑推理以及数学运算素养.学生在审题时无法理解符号表征f（x1）≤f（x）≤f（x2）的意义，如果单独集中注意这个符号，这道题是无法理解的.表面上看是符号表征的抽象，其实题干的主要信息是文字“任意，都”，只有把这两个关键的逻辑联结词跟符号表征f（x1）≤f（x）≤f（x2）结合在一起，此题才有能找到问题的突破口，分析清楚问题内在的逻辑结构.因此，首先把原有表征用详细的语言表征进行转换，即“对任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立”的意思就是不论x取任何值，不等式f（x1）≤f（x）≤f（x2）都成立，进一步用口语化的语言进行表征就是：也就是说f（x1）永远小于等于f（x），f（x2）永远大于等于f（x），再进一步转译就是“f（x1）是函数的最小值，f（x2）是函数的最大值”，转译到这里，这道题的运算路径就出来了，即x1，x2是函数f（x）=2sin（π2x+π5）的最大值和最小值时的x的取值，再分析求解目标“x1－x2”，理解清楚了x1，x2的意义，再来理解x1－x2并不难即x1－x2表示距离.因为最值的位置就是函数的对称轴的位置，最大值和最小值最近的距离就是半个周期，这道题其实就是求解函数的周期，绕了这么大一圈，最终的运算是很简单的.

在对符号表征进行转译的过程中就是对问题的结构进行剖析，每转译一次，结构就优化一次，在两次的转译中问题的结构变为两个并列式的关系，一是求函数的最小值，二是求函数的最大值.根据这两个结构化的问题，根据目标表征x1－x2进行第三次转译“求函数取得最值时的x的取值之间的距离”.不少学生在解题时不会分析题目中的关键信息，其原因之一就是没有对关键信息进行表征之间的转译，转译的过程就是复杂问题简单化、抽象问题具体化的过程，题1中抽象的数学符号f（x1）≤f（x）≤f（x2）其实就是隐含着函数的最值问题，要对不理解的信息结合题干反复读，一步步转译，才能挖掘出题干中的隐藏信息.在转译表征的过程中逐渐剖析问题的结构，一层层打开题目背后神秘的面纱.这道题看似简单，但是思维的路径很长.学生在做此题时被符号f（x1）≤f（x）≤f（x2）给迷惑了，思考的重心在這个不等式，而忽视了关键词语“任意”和“都”.学生一般会受题干中原有表征的影响，缺乏转译表征的意识，问题以何种表征出现，学生就用何种表征解题.没有多元表征的相互转译，解题思路显得非常狭隘.很显然这道题只有把这两个词“任意、都”放进思考的路径中，并对其进行更进一步的文字表征转译才能理解这道题的意思.

新高考最大的变化就是对学生思维能力的考查，繁琐的运算不是主要考查的目的，对题目信息的多元表征才是命题者的重心.单一的表征往往是不足以解决数学问题的，很多时候三种表征交替出现，互相补充，不同的表征发挥着不同的作用，在不同的表征转换中生成数学理解.

参考文献

［1］何小亚.解决数学问题的心理过程分析［J］.数学教育学报，2004，13（3）：34-36.

［2］陈姗姗.“问题表征”在解题教学中的应用探究［J］.中小学数学，2020（6）：53—55.

［3］沈徐虹.数学问题解决中多表征及其转换的调查研究——以必修１函数部分为例［D］.苏州大学，2016（4）：19.