大概念引领下的教学改进

杨洁

新修订的普通高中课程方案明确指出：“重视以学科大概念为核心，使课程内容结构化，以主题为引领，使课程内容情境化，促进学科核心素养的落实.”［1］可见，大概念的提出为有效的课堂教学组织提供了路径.最近，笔者再次回顾了两节主题为“点到直线的距离公式”市级公开课，上课采用的是“同课异构”形式，两节课最大的差异就体现在公式推导方法的处理上.到底哪种做法更加自然、更加符合学生的认知水平？

1 教学过程简介与分析

“两点之间距离最短”是欧式几何的本质所在，把两点所确定的线段长度定义为这两点间的距离.利用空間元素的垂直关系，解决各种各样的距离问题，这是几何中解决距离问题的基本思路.点到直线的距离公式是知识的一个交汇点，是一个内涵丰富的内容，故对公式的推导不能蜻蜓点水，需要让学生在过程中体会.公开课中，两位老师都采用了多种方法来推导点到直线的距离公式，充分地展示了思维的多样性，通过他们的问题链设计来进行对比分析.

两位老师都用到了“向量法”和“定义法”，但教学顺序发生了大颠倒.笔者特意就此请教过两位教师，得到反馈后总结如下.

考虑到向量的工具性作用在上一节“两点间距离公式”的推导中优势微弱，甚至可能没有提到，教师甲的问题设置尊重知识习得的最近发展区理念，逐步将学生引导到可以借用向量工具来推导公式，既避开了分类讨论，又体现了平面向量的威力，有事半功倍的效果.但又考虑到学生有用定义法推导的想法，故设计了第二个问题.希望对比两种方法，让学生更好体会向量法的优势.

教师乙尊重学生的自然思路，用定义法直入，让学生在课堂上经历了繁琐的化简，并投屏肯定了优秀学生熟练的代数变化技能.后又笔锋一转，为了避免多数同学由于代数运算复杂而产生的错误，将方法指向利用直角三角形推导点到直线的距离公式.

两位教师看似理由都很充分，但仔细分析还是有点站不住脚.两位教师的理由其实都是基于“这个公式怎么推导”的立场，呈现出来的是“知识点教学”的课时主义教学观，而根本没有考虑到“点到直线的距离公式”中的学科系统上的大概念.

我们知道在以核心素养为目标导向今天，“课时主义”的“就课论课”“只见树木不见树林”的教学观已经无法承担起发展核心素养的重任，单元教学才是根本出路.决定单元教学成败的关键是能否将散布在教材中“具有关联性”知识点按照一定的“逻辑”进行串联、整合、重构，并形成相对完整的教学单元，从而实现单元教学“上接下联”、贯通上位学科核心素养与下位课时教学目标之间承上启下的作用［2］.那么组成单元的“逻辑”到底是什么？如何确定“逻辑”呢？这就需要“怎样培养人”的“大概念”教学中枢.也就是说，“大概念”引领“单元教学”的组织逻辑，它是一个比“单元教学”更加上位的概念.

2 “大概念”的内涵与特征

大概念可以被界定为反映专家思维方式的概念、观念或论题，它具有生活价值，是“居于学科基本结构的核心概念或若干居于课程核心位置的抽象概念整合相关知识、原理、技能、活动等课程内容要素，形成有关联的课程内容组块”；而大概念教学则是以大概念为锚点组织教学的一种方式，具体说，就是以大概念确定教学的逻辑，围绕大概念搭建核心观点框架，依托大概念提升学生的能力和素养.对于数学学科教学，从大概念的本质特征、作用机理和教学功能上可以提炼出以下三点：

2.1 从本质特征上看，大概念是“原子核”

大概念就像一个原子核，隐藏于单元所有知识、原理的最深处，位于一般概念的高位，能够统摄单元内所有下位的概念，具有普遍性解释能力.如“函数是刻画事物变化规律的重要模型”，“立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系”，“统计的研究对象是数据，核心是数据分析”等.

2.2 从作用机理来看，大概念是“吸铁石”

大概念如同一块神奇的“吸铁石”，魔术般吸附起各类相关概念，使它们系统、有序地紧密附着在“吸铁石”上，并形成一个连贯“活”整体.如“数形结合是代数方法和几何方法沟通的纽带”，“数列求和的技巧要基于对数列性质的理解”，“各种各样的函数都是通过基本初等函数的加、减、乘、除等运算或复合得到的”等.

2.3 从教学功能来看，大概念是“文件夹”

大概念类似于具有收纳、整理功能的文件夹，它是一个蕴含丰富内涵的意义模式，为学生认识事物、构建知识提供了一个优质的认知框架和结构体系.“文件夹”在属性上有显性文件夹和隐性文件夹之分，如“三角函数学习线索：背景、任意角和弧度制—概念—基本性质—图像和性质—三角恒等变换—函数y=Asin（ωx+φ）—应用”（显性文件夹），“三角函数是圆函数”（隐性文件夹）.

3 大概念引领下的的教学改进

克里斯提那·查莫斯从学科教育角度将“大概念”分了两类：内容大概念和过程大概念.内容大概念主要指原理、理论或模型；过程大概念指获取和使用知识时涉及的技能.分析内容和过程，结合上面对大概念的提炼，“点到直线的距离公式”这一课中的大概念应该如何把握？

3.1 立足学科系统提取“大概念”

大概念教学的第一步就是站在学科系统的高度从不同的层级提取大概念.内容大概念的提取不是简单地从知识点中找出知识内容的重难点，而是需要站在学科系统高度，从具体内容出发，分析和挖掘内容背后的核心观点.

“点到直线的距离公式”的关键字眼是“距离”，什么是距离？如果说把距离简单理解成特殊的“两点间距离”，那么用定义法推导“点到直线的距离公式”思路自然，方法大众化，不涉及什么策略性知识，可以程序化.但怎么想到向量法？只是由于运算的复杂，我们才用向量投影引导学生从“繁”中解放出来吗？教师甲问题1的前两问看似尊重学生的已有认知，通过先让学生回答“与已知直线垂直的直线的方向向量”问题再引向向量法解决问题，但是为什么最初要提到“方向向量”？教师乙在两种方法推导公式后，以“你还能想到其他方法吗？向量法可以吗？”引出向量法.两位老师都为了“讲向量法”而劳心费力，设计了不同的引导方式.事实上，使用向量法技巧的动机问题始终没有得到有效解决.问题还得回到“距离”的概念，距离的本质是什么？“距离是高维空间到低维空间的度量”这是一个超越欧氏空间的从“映射”角度对“距离”本质的回答.在这个大概念下，距离本身就是一个作投影的过程，于是向量法呼之欲出，借助向量正是充分利用了反应距离本质的垂直概念.

仔细读“距离是高维空间到低维空间的度量”这个大概念，“度量”的大小可以放到“不等式”、“函数”、“几何与代数”等课程框架内容中去解释，会引出了均值不等式、柯西不等式、二次函数、三角函数、极限与导数、直线方程、向量方法、直角三角形等内容.基于这些知识的推导方法在课外材料中比比皆是，可以设置成一个小的“数学探究活动”.可见，大概念引领下的“距离”，就像“原子核”一样，辐射出各板块的知识，拥有骇然能量.

3.2 借助大概念建立知识间的关联性

温·哈伦指出“如果教学法并与不大概念的需要进行衔接，只是建议教学内容应该专注于大概念是没有用的.”［3］上位概念如何衔接起下位概念，同层概念之间又该如何衔接？大概念本身就是一种“联结”，大概念引领下的数学教学就是学科内的概念相互联结、融会贯通的过程.联结越多样，认知结构层次之间就越容易融通.要建立概念之间的关联性，就把看似孤立的知识点，按照一定的逻辑进行关联，在揭示概念之间紧密联系的同时也使学生的学习呈现出一种连续不断的过程.当然，关联不是教师直接告诉学生，而是在过程中不断反思形成的.

反思“点到直线的距离公式”中定义法推出公式的过程，运算量较大是学生产生反感情绪的主要原因.但若望而却步，回避代数化简的过程，会将旧方法与新方法产生关联的“结”断裂开来.实际上，方法的“繁”与“简”可以相互转化，“简”是从“繁”中演化出来.

在这里，数形结合地考虑，要实现“化繁为简”，主要利用平行于坐标轴的线段来表示点到直线的距离，通过特殊与一般之间的关联实现转化，而在转化过程中又要利用三家函数有关知识，使距离的表示更加简单.

如图，借助大概念建立知识间的关联，好比“吸铁石”吸硬币的过程，对一个硬币的磁化需要时间，然后别的硬币靠近这枚硬币时又会被持续吸引，最后形成一个“活”的连贯体.

3.3 学生在反思迁移中理解大概念

大概念類似“文件夹”，在具有收纳整理功能的结构框架之内，学生能够有效把握各经验、事物、概念之间的联系，并在相互关联的有机整体中理解它们，获得对知识的深度理解、持久记忆和广泛迁移，在此基础上形成学科思维，最终将大概念建构在个体的认知结构中，从而获得知识、技能、习惯和品格等具体素养成分交互整合成的核心素养.

如果没有大概念教学视角，我们看到的课堂小结是这样的：请同学们自主回忆本节课我们解决了什么问题？用到了哪些方法？你体会到了哪些思想方法？然后师生共同总结出本节课我们解决了点到直线的距离问题，建立了点到直线的距离公式，值得注意的是，在这个过程中，用到了两种经典方法.方法一是将点到直线的距离转化为点到点的距离问题，体现了“转化”的思想；方法二是用借助向量投影，轻松地得到了点到直线的距离公式，体现了“降维”的数学思想，感受向量工具的强大作用，以后可能还会用到.

在大概念视角下，知识的框架倾向于设计以下问题：什么是距离？距离的本质是什么？我们为什么会想到向量法？你在定义法直接代入两点间距离公式来推导点到直线距离公式遇到的最大困难是什么？从哪些角度可以克服这些困难？这些问题的设计要基于教师对大概念的理解，合理融入到教学的各个环节，搭建起完整的结构体系.

总之，大概念统摄下的教学关键环节的转变是对传统数学教学样态的创新改革，也是对学科核心素养落地路径的积极尝试和有效探索.深刻理解、科学提取大概念，依据大概念进行教学设计、实施的过程，有助于教学从零散走向系统，从“被动灌输”走向“自然内化”，从狭隘走向广阔，同时可以帮助学生构建优质的学科知识结构，提高学生迁移运用知识解决复杂问题的能力，进而发展学生的核心素养，真正实现学科育人.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中课程方案（2017年版2020年修订）［S］.北京：人民教育出版社，2020：4.

［2］张肇丰.基于核心素养的单元教学设计-第十届有效教学理论与实践研讨会综述［J］.上海教育科研，2016（2）：18-21.

［3］温·哈伦.以大概念理念进行科学教育［M］.北京：科学普及出版社，2016.

［4］吕增锋.数学大概念教学与传统教学的区别［J］.中小学教师培训，2022（03）：35-37.