一道模拟试题的解法探究及推广

丁胜锋

圆锥曲线综合问题是解析几何的核心内容，是历年高考数学的重要考点之一，也是高考复习备考难突破的难点之一，对于圆锥曲线综合问题，由于题目文字符号多且运算量大，使得学生在解题过程中目标性不强并且方法单一，得分率偏低. 在高考复习备考中，我们希望学生能规范答题格式的同时，更能够跳出问题的本身，得到一般性结论和在解题方法上有所突破，避免由于静止地思考问题带来思维的局限性和片面性. 本文以一道高三模拟题为例，探求其解法和一般性结论的推广.

原题 已知椭圆C：x22+y2=1的上顶点为M，如图1，过M作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=5，求证：直线AB过定点.

本题主要考查直线与椭圆的位置关系和直线过定点问题，体现了直线与椭圆核心內容和圆锥曲线基本思想方法的考查.

一 多视角解析

其证明方法与结论1证明方法类似.

以上是以椭圆为载体的斜率之和与斜率之积为常数时，直线定向或过定点，实际上在双曲线和抛物线上也具有类似性质，读者不妨自己证明.