基于母题变式的“轴对称”复习课教学设计

杜高俊

【摘要】复习课既能指导学生系统掌握知识、发展思维能力，又能辅助教师弥补教学缺失、提高教学质量，是中小学教学中必不可少的环节.本文以北师大版数学七年级下册第五章“生活中的轴对称”期末复习课为例，对原有复习课“知识点罗列+习题课”的模式进行改进，基于母题变式，一课一题，探讨期末复习课如何有效开展.

【关键词】轴对称；折叠；三角形

教学内容 北师大版数学七年级下册第五章“生活中的轴对称”期末复习课.

教材分析 本章立足学生的生活经验和数学活动经历，从观察现实生活中的对称现象开始，引出轴对称图形的概念，從整体上概括轴对称的特征.又进一步介绍了两个图形成轴对称的概念.结合探索对称点的关系，归纳轴对称的性质.本章让学生了解轴对称现象的数学本质，为学习轴对称的性质和变换，以及其在等腰三角形中的应用打下坚实的基础.在等腰三角形中，利用等腰三角形的轴对称性，得出“两底角相等”“三线合一”等性质.接着结合“线段”和“角”的轴对称性，探讨了“线段的垂直平分线”及“角平分线”的性质.“利用轴对称进行设计”一节，鼓励学生大胆想象、大胆尝试，要把关注点放在活动中的数学层面上，重在看学生是否真正理解轴对称的特点.

学情分析 从认知情况看，学生学完了“平行线与相交线”“全等三角形”等内容的期末复习课之后，会具备了一定的推理能力.到了期末，需要学生将所学过的知识进行联系与融合.对“生活中的轴对称”这一章的知识来说，“轴对称图形”和“两个图形成轴对称”是学生容易混淆的两个概念.图形的折叠是运用轴对称性质的一个重要载体，而在折叠问题中运用轴对称的性质也是学生的一个难点.考虑到七年级学生还没有学习特殊的平行四边形，同时七年级下册第四章学习了“三角形”，因此本节课选择折叠的主体图形是三角形.

教学目标 （1）复习轴对称图形，两个图形成轴对称的概念及性质.

（2）在三角形的折叠问题中，灵活运用轴对称的性质，体会知识间的联系.

（3）经历从多角度去分析同一问题的过程，感受题目的变式改编，尝试对问题进行改编并解答，潜移默化地培养和提高发现问题、分析问题、解决问题的能力.

教学重点 在折叠问题中理解与运用轴对称的性质，体会知识间的联系.

教学难点 在折叠问题中灵活运用轴对称的性质.

突破难点的策略 最开始的例题讲解时，准备三角形让学生实际操作折叠，理解折叠的本质就是轴对称，加深对轴对称性质的理解与掌握，同时采取分解问题的方式，让学生体会在折叠问题中能用、要用、会用轴对称的性质.接着让学生感受折叠问题的变式改编，此时不再分解问题，让学生自己提出问题并解答.在此基础上，学生亲自尝试题目的变式改编，提出问题并解答，以达到在折叠问题中灵活运用轴对称性质的目的，从而突破难点.

突破难点策略的可行性分析 动手操作是解题的好方法，可以加深对轴对称性质的理解与掌握，因此准备三角形让学生实际操作折叠；其次，将轴对称的问题进行分解，使学生容易接受，能切实感受折叠的本质就是轴对称，为学生能在折叠问题中灵活运用轴对称性质打下基础.在此基础上，给出例题的变式题，让学生自己提出问题并解答，从而引导学生体会虽然题目发生了变化，但解题的本质没有变，进而再一次加深对轴对称性质的理解与运用.给出的例题变式题，为学生下一步尝试变式改编提供了思路，所以在让学生自己变式改编时，学生是可以操作的.当学生能自己变式改编并去解答问题时，就说明在折叠问题中灵活运用轴对称性质的教学难点已经突破，同时也帮助学生联系并融合所学知识.学生感受和体验题目变式改编的过程和方法，并能迁移到其他的问题中，有助于学生对其他问题的理解与运用.

教学过程设计：

1 复习提问

练习1 下列图形中不是轴对称图形的是（  ）.

练习2 视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（  ）

设计意图 期末复习时，学生会出现遗忘基本概念的情况，“轴对称图形”和“两个图形成轴对称”是学生容易混淆的两个概念，采取结合练习题复习提问的方式帮助学生回忆基本概念.通过两道直观练习题加深对两个不同概念的理解与掌握，体会它们之间最直接的区别.同时，练习中的图都是实际生活中的常见图案，这正是生活中轴对称的体现，感受到数学与生活息息相关，也符合《课程标准》提出的认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形的要求.回忆轴对称的性质帮助学生复习基本知识，为后面在折叠问题中应用轴对称的性质作铺垫.

2 例题讲解

例1 如图3，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处.

（1）△BCD与△ECD有什么关系，说明理由；

（2）找出图中相等的线段，相等的角，说明理由；

（3）若∠A=20°，你能求出图中哪些角的度数.

（4）连接BE，CD所在直线与线段BE的位置关系是什么，此时说明（2）中的线段相等，角相等，还可以从什么角度去说明？

设计意图 第四章学习了“三角形”，因此选择直角三角形作为折叠的主体图形，这样能联系直角三角形的性质及三角形的相关知识，变式时可将直角三角形改成其他三角形.动手操作是解题的好方法，讲解此题时准备直角三角形，供学生直接动手操作折叠，加深对轴对称性质的理解与掌握.

第（1）问旨在复习全等三角形的本质定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.由于学习了全等三角形的判定条件后，绝大部分学生都遗忘了说明三角形全等还可以利用全等三角形的定义，还有助于学生体会：成轴对称的两个图形一定全等，而两个全等的图形不一定成轴对称.

第（2）问答案不唯一，在说明线段相等和角相等的理由时，可以从全等三角形的对应边相等，对应角相等去说明，也可以从轴对称的性质去说明.旨在体会知识间的联系与融合.说明理由的过程，能让学生在数学解题的过程中锻炼语言表达能力.

第（3）问图中所有角的度数都能求出来，但不指明具体求哪一个角，开放性问题，激发学生思考，也能联系三角形相关知识，直角三角形的性质，角的计算等有关知识.复习第五章《生活中的轴对称》，但又不拘泥于第五章，寻找知识间的联系.

第（4）问旨在复习线段的垂直平分线及其性质.“说明（2）中的线段相等，角相等，还可以从什么角度去说明”旨在让学生经历从多角度去分析同一问题的过程，同时还可以联系等腰三角形等相關知识.

变式1 如图4，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，沿BD折叠△CBD，使点C恰好落在AB边上的点E处，若∠A=20°，请你提出一个问题，并解答.

提问 （1）请借助图中的线段表示△ABD的面积.（2）你还可以怎样折叠？

设计意图 引导学生从改变折叠的方向去变式题目，感受题目的改编，虽然题目变化了，但解题的本质没有变.进一步加深对轴对称性质的理解与运用，有助于学生总结和归纳所学知识与方法.“请借助图中的线段表示△ABD的面积”这一问，旨在复习三角形的高，特别是钝角三角形的高.

“你还可以怎样折叠？”这一问，旨在让学生感受与体验题目的变式，同时体会折叠的本质就是轴对称，遇到折叠问题时要联系轴对称的性质.

变式2 如图5，在△ABC中，沿BD折叠△CBD，使点C恰好落在AB边上的点E处，若∠A=20°，求∠DBE的度数.

设计意图 变式去掉了三角形是直角三角形的条件，这样在解答时，会引起学生的思维冲突，这时引导学生添加一个条件来解答，感受另一种形式的变式.在添加条件并解答的过程中，又进一步地加深对轴对称的性质的理解与应用.

3 回顾总结

（1）今后遇到“折叠问题”，你可以利用什么知识去解答？

设计意图 学生刚刚经历在折叠问题中运用轴对称的性质，经历从多角度去分析同一问题的过程，感受题目的变式，尝试变式并解答，及时梳理学生的所思所想，帮助学生将感受与体验提炼，是突破本节课难点的最好契机，促进将方法和经验迁移到其他知识的学习与其他问题的解答中去.培养和提高发现问题、分析问题、解决问题的能力.

（2）通过学习这节课，你加深了对哪些知识的理解？

设计意图 检验通过本堂课学生真正加深了对哪些知识的理解，同时可以了解学生本章还有哪些知识是后续需要再复习加强的.

4 布置作业

作业1 如图6，三角形纸片ABC中，∠A=80°，∠B=50°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1=30°，求∠2的度数.

作业2 如图7，等边三角形ABC的边长为3cm，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC的外部，则阴影部分图形的周长是多少？你能求出图中哪些角的度数.

设计意图 趁热打铁加强巩固对轴对称性质的应用，这两道题都是从改变三角形的形状，改变折叠的方向进行变式，课堂上的例题及变式已知条件都是角的度数，而第2题已知条件换成已知边长，同时折叠的主体图形是等边三角形，有助于联系等边三角形的相关知识.在思考能求出哪些角的度数时还可以联系相交线，平行线等相关知识.

思考 如图8，∠ACB=90°，△ABC的面积是12，AB=6，沿AD折叠△CAD，使点C恰好落在AB边上的点E处，M为AD上的一动点，且MF⊥AC，求MF+MC的最小值.

设计意图 题目以折叠为背景，涉及的知识有：轴对称的性质、三角形面积、垂线段最短、角平分线的性质等知识，课下能进一步复习和运用轴对称的性质，不拘泥于第五章所学知识，题中涉及的知识点比课堂上的例题多，有一定难度，适合课下学有余力的同学思考，满足不同学生的需求.

课后反思 期末复习课不是按部就班地对章节知识点进行简单的梳理，这样的模式学生会觉得枯燥也不会愿意听.更不是“测试+讲试卷+试卷订正”，这样的模式不利于知识点的梳理，学生也会处于焦虑之中.复习课中的例题、习题要有综合性，可以一题多解、一题多变，可以加强不同章节之间的联系，让学生可以将所学方法迁移到不同的问题解决中去，这样的思维方法迁移可以使学习者将数学学习过程中训练形成的逻辑思维能力、数学思想方法应用到其他学科或日常生活中，用数学的眼光去看待世界，用数学的方法去研究世界［1］.

参考文献：

［1］付钰，姜秋羽.数学学习中的迁移现象及其对教学的意义［J］.中学教研（数学），2018（9）：3-6.