关于量子态的真多体非局域性的一些研究

陈峥立,程靖霖

(陕西师范大学 数学与统计学院,西安 710119)

量子非定域性是量子力学有别于经典力学的本质特征,它是量子信息和量子计算的基础,具有深远的物理意义,并且在密码学［1-2］、随机提取［3］和降低通信复杂［4］度等方面具有广泛应用.

在过去的30年中,关于两体情况下的贝尔非局域性的研究取得了一系列成果.GISIN等人［5-6］证明了所有两体纠缠纯态都是贝尔非局域的;CAO等人［7］给出了两体态的贝尔非局域性的数学定义和刻画,证明了所有贝尔局域态所构成的集合的凸性和闭性.但是,对于多体系统的非定域性所知甚少.

本文是在CONTRERAS-TEJADA等［17］提出的真多体非局域性的定义的基础上展开的.在第2节中,针对CONTRERAS-TEJADA等［17］提出的定义中存在的问题,在遵循文献［15,17］中无信号条件约束的情况下,给出了更精确的真多体非局域性的数学定义;证明了两可分态都是真多体局域态,进而说明了真多体非局域态都是真多体纠缠态.在第3节中,利用算子理论的方法,给出了三类不能用来检测量子态真多体非局域性的测量集合.

1 预备知识

M1⊗M2⊗…⊗Mn={Mx1⊗Mx2⊗…⊗Mxn：xi=1,2,…,mHi},

其中,

Mx1⊗Mx2⊗…⊗Mxn={Ma1|x1⊗Ma2|x2⊗…⊗Man|xn：ai=1,2,…,OHi}.

2 真多体非局域性的定义

|ψ〉=|ψT1〉⊗|ψT2〉⊗…⊗|ψTk〉,

(1)

(2)

注11)若ρ是可分态,则ρ一定是两可分的;若ρ是两可分的,则ρ不一定是可分的.

2)两可分的混合态不需要相对于Hilbert空间的任何特定划分是可分的.

M1⊗M2⊗…⊗Mn={Mx1⊗Mx2⊗…⊗Mxn：xi=1,2,…,mHi}

表示复合系统H1⊗H2⊗…⊗Hn上的一个测量集合,其中

Mx1⊗Mx2⊗…⊗Mxn={Ma1|x1⊗Ma2|x2⊗…⊗Man|xn：ai=1,2,…,OHi},

(3)

定理1每一个两可分态都是GML态.

由定义5可知|ψ〉是GML的.

下证两可分的混合态的情况.

注2因为每一个两可分态都是GML态,所以GMNL态一定是GME态.

3 三类不能用来检测真多体非局域性的测量集合

对于复合量子系统HA⊗HB⊗HC中的量子态ρABC∈D(HA⊗HB⊗HC),下面给出了三类不能用来检测真多体非局域性的测量集合.

证明对于任意的ρABC∈D(HA⊗HB⊗HC),有

定义双射f：［OA］×［OB］×［OC］→［OAOBOC］,且

(4)

则称MH是相容的(Compatible).

从而∀ρABC∈D(HA⊗HB⊗HC),有

定义双射f：［rA］×［rB］×［rC］→［rArBrC］,且

fB(b|y,q)fC(c|z,h),

定理4可交换的测量组合一定是相容的.

结合定理3和定理4就有下面这个结论:

定理2、定理3和定理4说明单个的POVM测量所组成的测量组合、相容的测量所组成的测量组合和可交换的测量所组成的测量组合不能用来检测量子态的GMNL性,在这样的测量下,所有的多体态都表现出GML性.

4 结 论

本文主要基于真多体纠缠态的定义,给出了真多体非局域性的数学定义,证明了两可分态都是真多体局域态,进而说明了真多体非局域态都是真多体纠缠态.还证明了单个的POVM测量所组成的测量集合、相容的测量所组成的测量集合以及可交换的测量所组成的测量集合不能用来检测量子态的真多体非局域性质.