指数有界双参数n 阶α 次积分C 半群的逼近

白 洋， 赵华新

(延安大学数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000)

线性算子半群理论中的逼近定理一直是各类学者研究的重要内容，对此众多学者对此做了大量的研究.文献[1 -4]讨论了C半群的概率型逼近问题。 文献[5 -6]分别讨论了双连续C半群的逼近定理和概率型逼近.文献[7 -8]分别给出了双参数C半群的逼近定理和Yosida 逼近.

文献[9]讨论了双连续α次积分C半群的概率型逼近.文献[10]给出了α次积分C半群的Trotter - Kato逼近.文献[11]讨论了n次积分C半群的概率型逼近. 文献[12]讨论了n阶α次积分C半群的次生成元、Cauchy 问题、Laplace 变换.文献[13 -14]给出了n阶α次积分C半群的逼近定理和普映射定理.文献[15 -16]给出了双参数n阶α次积分C半群的逼近定理和扰动定理.本文通过借助算子半群理论的相关知识给出了指数有界双参数的Laplace 变换和逼近定理，丰富了双参数n阶α次积分C半群的研究内容.

在本文中，X为无限维的复Βanach空间，B(X)是X上的有界线性算子全体所构成的Banach代数；D(A)为线性算子A的定义域，设n∈N，α≥0

T＝0 当且仅当存在n≥0，使JnΤ(t，s)＝0 ，t，s≥0 .

1 基本概念

定义1[15]设n∈N，α≥0，C∈B(X)是单射，有界线性算子族{T(t，s):t，s≥0}⊂B(X)称为指数有界双参数n阶α次积分C半群，若有以下条件成立:

存在闭线性算子A ＝(A1，A2)满足

{T (t，s):t，s ∈R}⊆B (X )强连续，即对每一个x ∈X 映射

强连续.

存在M≥0，ω∈R使得∀t，s≥0 有

称A ＝(A1，A2)是{T(t，s):t，s≥0}的次生成元.

把G(M，ω，C，t，s)记为X内的所有满足｜｜T(t，s)｜｜≤｜｜C-1｜｜Meω(t＋s)的指数有界双参数n阶α次积分C

半群构成的集合.

定义2指数有界双参数n阶α次积分C半群的次生成元是线性变换L:R2→L(X)定义为

其中A1，A2分别是指数有界单参数n阶α次积分C半群{T(t，0)}t≥0和{T(0，s)}s≥0的次生成元，即

定义3 设{T(t，s):t，s≥0}为指数有界双参数n阶α次积分C半群，A ＝(A1，A2)是其次生成元，若

为定义在Banach空间X上的有界线性算子，则称λ为A ＝(A1，A2)的正则点.为A ＝(A1，A2)的预解式.

全体正则点所构成的集合称为A ＝(A1，A2)的预解集，记为

2 主要结论

引理1[13]:令ω＞0，，设F(u)满足Laplace型表达式:且则

定理1令指数有界双参数n阶α次积分C半群{T(t，s)}t，s≥0的次生成元为A ＝(A1，A2)，并且，则对，有

r ＞λ，对，有

特别的，当(a ＋b)＝1 ，

而且(6)、(7)式的右端积分在关于t 的有限范围内是一致收敛的.

证明根据，故｜｜T(at，bt)｜｜≤Meω(t＋s)，设

显然a(t)满足引理1，又有

F(λ)＝

F(λ)满足引理1，由引理1 知:

a(t)＝

即得(6)式

对(6)式两边同时作用A，得

在(8)式中对t求(n -1)次积分，得

由定义得

因为

得

令(a ＋b)＝1 ，上式转换为:

定理2设A ＝(A1，A2)，An ＝(An1，An2)∈G(M，ω，C，t，s)，{T(t，s)}t，s≥0，{Tn(t，s)}t，s≥0分别是由A ＝(A1，A2)，An ＝(An1，An2)次 生 成的 双 参 数n阶α次 积 分C半 群，若∀x∈X，t，s≥0，Tn(t，s)x→T(t，s)x(n→∞)，则

对

证明设∀x∈X，t，s≥0，Tn(t，s)x→T(t，s)x(n→∞).根据预解式的定义，对Reλ ＞ω有

对上式两边取极限得，

即∀x∈X，Reλ ＞ω，有

定理3设A，An∈G(M，ω，t，s)，{T(t，s)}t，s≥0，{Tn(t，s)}t，s≥0分别是由(A1，A2)，(An1，An2)次生成的双参数n阶α次积分C半群，若∀x∈，(n→∞)，则对∀x∈X，t≥0，有Tn(t，s)x→T(t，s)x(n→∞).

证明∀x∈X，在固定区间t，s∈ [0，T]上有｜｜

其中D1＝｜｜Tn(t，s)

关于D1，由于｜｜Tn(t，s)｜｜≤Meω(t＋s)≤Meω(T＋S)，∀x∈X，Reλ ＞ω，，有

即D1→0 .

关 于D3， 因 为T(t，s)x关 于t，s是 连 续 的 所 以， 所 以T(t，s)x将 紧 集 [0，T] 映 成 紧 集，{T(t，s)x:0 ≤t，s≤T}，又由于∀x∈

则对T(t，s)x∈{T(t，s)x:0 ≤t，s≤T}有

即D3→0 .

关于D2，由定理2 知

则有

由已知条件知当n→∞时且

从而有

即D2→0 .

从而对∀x∈X，当n→∞时，

∀x∈D(A)，可以表示成的形式，

其中z∈X.所以∀x∈X，