例谈换元法解题

摘 要：随着新课改的进行，在教学中融入数学的思想方法对学生来说愈加重要. 本文从整体的思想、新旧元的特点对换元法进行了分类， 旨在提升学生分析问题和解决问题的能力.

关键词：换元法; 解题; 整体换元; 新元; 旧元

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2023）21-0038-03

收稿日期：2023-04-25

作者简介：于雯雯（1999.11-），女，山东省菏泽人，硕士研究生在读，从事数学教学研究.

基金项目：扬州大学教学改革研究课题项目“线性代數线上和线下混合式教学研究”（YZUJX2020-D11）

罗增儒先生在《数学解题学引论》一书中指出：数学方法的本质在于数学思想的程序化［1］.所以我们在解题时需要数学思想和方法的引领，但同时也需要一些具体的解题程序和技巧.而换元法就是其中一个解题方法，它在初等数学和高等数学中的应用都十分广泛，在因式分解、解方程、证明不等式、求函数的值域和定义域、解决数列问题等方面中都起着重要的作用.应用换元法解题的基本步骤是引入一个或几个新的元来代替原有的元，解出新元之后， 再利用新元和旧元的关系恢复原来的元，以得到原来问题的结果.换元法的基本思想是通过变量代换化繁为简，化难为易，化未知为已知，使问题发生有利的转化，从而达到解题的目的［2］.但不同题目特点不同，因此解题技巧方法也不同，故而我们需要基于题目本身的特点寻找解题的方向.通过对以往的文献进行分析发现大部分研究是针对于不同换元法类型与不同题目间的关系，如付立业的《三角换元法，巧解高考题》就介绍了某一类换元法在高考题目中的应用；刘延群的《高中数学换元解题“六法”》介绍了多种换元方法在解题时的应用；杨小兵的《利用换元法解决一类三根问题》介绍了多种换元法在一类题目中的应用，这种一对多、多对多或多对一的方法固然清晰，但方法太多并不易于学生选择.因此本文使用分层的思想对换元法进行分类，旨在使读者对换元法的本质有一个更加清晰的认识，从而使学生更容易选择合适的换元方法.

1 从整体的思想来看

将题目中的一个或几个式子分别看成一个整体，用一个或几个新元代换它们，以此来使复杂的问题清晰化、简单化，从而使问题得到更容易解答的方法叫做整体换元法.一元变量互换性换元、分母换元、目标换元等都属于整体换元.

1.1 一元变量互换性换元

一元变量互换型换元是在应用整体换元时，只需引入一个变量，这个变量所替代的部分往往是一个式子中重复出现的部分，但有时并不能直接发现题目中重复出现的部分，此时就需要先对式子进行观察，寻找各部分之间的关联，再对问题进行解决，这也是换元法的难点所在.

参考文献：

［1］ 罗增儒.数学解题学引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2008.

［2］ 李明振. 数学方法与解题研究［M］.上海：上海科技教育出版社， 2022：235-255.

［3］ 孟伟业.整体换元法在解题中的应用［J］.数学教学研究，2016， 35（05）：59-63.

［4］ 刘延群.高中数学换元解题“六法”［J］.中学数学，2022（09）：81-82，95.

［责任编辑：李 璟］