凭借随机真实数据，发展学生的数据意识——以苏教版数学四年级上册“可能性”的教学片段为例

江苏省无锡市新吴区硕放实验小学 曹秋涛 周梦潇

笔者所在的数学工作团队对苏教版数学四年级上册“可能性”一课进行了集体研究、团队磨课活动。我们用新课标的核心素养为导向，以寻找切合学生当前认知水平、唤醒和发展学生的数据意识为目标，反复打磨。在一次又一次的磨课中，我们不仅深化了对“可能性”教材内容的认识，还对新课标的课程理念产生了基于实践后的理解和认同。我们把核心素养的主要表现之一的“数据意识”，作为本堂课的核心概念，统摄整堂课的设计、推进和演化。

课上，学生通过游戏随机生成真实有效的数据，通过观察分析多组数据，对事件发生的可能性有了深刻的感悟，并初步养成对数据认真观察和分析、用数据来说话、表征的习惯。本设计通过知识（数据组）的结构化呈现，让学生对“可能性”知识产生较为整体和系统的认识，即先教学可能性和可能性的大小，通过可能性大小的动态变化，让学生深刻理解确定性事件（“一定”和“不可能”）。那么，我们是如何凭借真实有效的数据，层层深入地引导学生感悟事件发生的随机性，逐步发展学生的数据意识的呢？我们试着利用案例分析的形式，进行较为具体的剖析和总结。

一、精心组织数学实验，催生真实有效的数据

让学生通过观察，分析自己随机生成的有效数据、真实数据来感悟数据蕴含的信息，进而发现其中的规律，是本堂课得以展开和推进的前提。精心组织学生参与数学实验不仅是为了催生真实游戏的统计数据，还是为了培养学生的科学态度和理性精神。本堂课设计了三个实验，团队周老师提出了明确且有层次性的实验操作要求。

第一次实验的摸球游戏规则：

师生合作摸球。黑色袋子中装有1个红球和1个黄球（它们的大小、材质相同），学生事先不知道球的颜色和个数。摸球员每次任意摸出1个球，摸完后放回；操作员（教师）每次摸完需搅一搅袋中的球；记录员记录每次摸球的结果；其他同学观察并思考摸几次就可以判断袋中2个球的颜色。

第二次实验的摸球游戏规则：

每个小组有1个黑色袋子，袋子中装有1个红球和1个黄球（它们的大小和材质相同），学生事先知道颜色和个数。每个小组各摸球10次；摸球员每次任意摸出1个球，摸完后放回；操作员每次摸完需搅一搅袋中的球；记录员用贴红色或黄色圆片的方式记录每一次摸球的结果，最后把摸到红球和黄球的次数分别写在“摸球记录表”中。

第三次实验的摸牌游戏规则：

每个小组有4张扑克牌（3张红桃、1张黑桃），操作员在每次摸牌前，都要重新洗牌，把牌打乱；记录员记录每次摸牌结果；其他组员轮流摸牌，共摸20次；记录员用写“正”字的方法将每次摸牌结果记录在“摸牌记录表”中。

通过对上述三个实验规则的解读，在磨课的过程中，我们发现，只要学生的摸球（摸牌）的操作不规范，就可能造成极端数据。比如，第三个数学实验——摸3张红桃和1张黑桃中的任意一张牌，摸到红桃，教师赢，摸到黑桃，同学赢。结果，学生为了赢教师就盯着操作员重新洗牌的手，导致出现摸到黑桃的次数反而比红桃的次数多的情况。为了使实验得出的数据真实有效，我们有必要精心设计实验的要求，规范操作的流程和方法。第一个实验由教师和学生合作完成，教师负责摸完球后把球放入黑色袋子中搅一搅。这一做法就是给学生一个操作的示范——如何把袋子中的球搅乱，这样就可以保证第二个实验能够顺利有效地展开。第三个实验中，之前学生洗牌的时候是放在课桌上洗的，这样洗牌不容易把牌搅乱。所以，我们最后决定让学生把牌放在课桌里来回叠放、穿插。正因为我们对这三个实验操作要求上的精益求精，才催生了一组又一组真实有效的数据，为学生下一步的观察数据、分析数据提供可靠的依据。

二、基于真实数据观察，培养用数据说话的习惯

新课标指出，在义务教育阶段，数学语言主要表现为数据意识或数据观念、模型意识或模型观念、应用意识。通过经历用数学语言表达现实世界中的简单数量关系与空间形式的过程，学生能初步感悟数学与现实世界的交流方式；能够感悟数据的意义与价值，有意识地使用真实数据表达、解释与分析现实世界中的不确定现象。“可能性”知识对于四年级学生而言，是非常抽象且很难真正理解和把握的。如果没有一种深入体验随机事件的学习过程，学生对这部分知识的理解会浮于表面，形成一种机械的认识。培养学生用数据说话，不仅是培养学生数据意识的有效途径，还是培养学生有依据地进行数学思考、数学表达的思维方式。“可能性”的教学，如果脱离了“用数据说话，用数据思考”的学习方式，就只能产生那种从结论到结论的、机械式的、肤浅的认知，也很难使学生体会“随机性”“等可能性”的本质内涵。

在第一个数学实验“学生摸球猜颜色”中，师生对话如下：

生1：我摸了3次，第一次和第二次摸到的球都是红球，第三次摸到了黄球，我认为袋子中，1个是红球，1个是黄球。

生2：我摸了4次，前三次都摸到了黄球，第四次摸到了红球，我认为袋子中1个是红球，1个是黄球。

生3：我摸了2次，第一次摸到了红球，第二次摸到了黄球，我认为袋子中1个是红球，1个是黄球。

师：袋子中确实装着1个红球和1个黄球，为什么第三个同学摸2次就能判断出这个结果，而第二个同学摸了4次才猜出这个结果呢？

生4：因为第三个同学的运气好，恰好第一次摸到红球，第二次摸到黄球，而第二个同学的运气没有第三个同学的运气好，他连摸三次都是黄球。

片段分析：让学生学会用数学的语言表达现实世界，除了需要掌握必要的数学知识，还需要引导学生将生活语言的表达转换成数学语言的表达。作为小学阶段唯一的关于概率的教学内容——“可能性”，没有相应的数学概念的支撑，学生可以用自己的语言来表达。教师的任务就是帮助学生顺利完成这种过渡和转换。课堂伊始，教师就有意识地让学生用数据说话。通过简单数据的比较，学生自然发现了摸球游戏中，摸到什么颜色的球，存在着“运气”的成分，而这种“运气”正是数学上的可能性事件中的随机性。

在第二个数学实验（黑色袋子中装有1个红球和1个黄球，分小组摸球，一共摸10次）中，教师先让学生预测可能摸到几个红球和几个黄球。下面是摸球结束后的师生对话：

生1：我们小组摸到红球6次，摸到黄球4次。

生2：我们小组摸到红球5次，摸到黄球5次。

生3：我们小组摸到红球3次，摸到黄球7次。

……

师：谁来说说，10次摸球的结果与你预测的结果一样吗？为什么？

生1：我预测摸到5次红球和5次黄球，实际摸到6次红球和4次黄球，实际摸球的结果与预测的结果不一样，因为每一次摸球之前，都无法确定到底摸到红球还是黄球。

生2：我们小组摸球的结果与预测的结果一样，都是摸到5次红球和5次黄球。

生3：我们小组实际摸到红球3次，摸到黄球7次，预测红球摸到6次，黄球摸到4次，摸球的结果与预测不一样，我们认为摸到红球或黄球都要靠运气，摸到黄球的运气好一点。

师：袋子中有1个红球和1个黄球，每一次摸球之前，我们都无法知道下一次摸到什么颜色的球，但我们知道要么摸到1个红球，要么摸到1个黄球，也就是摸到红球和摸到黄球的机会是一样的。

片段分析：培养学生用数据说话的习惯的起点在于进行数据的使用。本环节设计的目的在于将实际摸球的数据和预测的数据进行比较，让学生初步感知可能性事件发生的不确定性、随机性。由于八组数据中出现了三组都是5个红球和5个黄球的情况，学生隐隐觉得摸到红球和摸到黄球的可能性相等。但是，教师并不急于得出“可能性相等”这样的数学规律，而是代之以“摸到红球和摸到黄球的机会相等”这样通俗易懂的话语，为学生下一步探索“等可能性”积累活动经验，提供思维方向。

三、在大数据观察和分析中感悟，在数据比较中推想

本堂课的难点是让学生感悟理解随机事件中的“等可能性”。为了突破这个难点，教师设计了三个环节，先通过摸球游戏（黑色袋子中装有1个红球和1个黄球），让学生初步感知事件发生的等可能性。摸球的总次数只有10次，摸到红球的次数和摸到黄球的次数之间的差距会比较大，所以，这时候的等可能性的趋势并不明显，学生对等可能性的认知属于猜测和疑问的阶段。

教师再介绍数学家蒲丰、费勒、皮尔逊三人用大数据来研究抛硬币的实验数据（见表1）。学生阅读后发现，随着抛硬币的总次数越来越大，硬币正面朝上的次数与反面朝上的次数越来越接近。这时候，学生慢慢领悟到正面朝上与反面朝上可能性相等。虽然可能性相等，但由于抛硬币中的随机性始终伴随，正面朝上与反面朝上的次数很难绝对相等。第三个实验中，教师通过摸牌游戏，问学生：“摸到红桃A、红桃2、红桃3和红桃4的可能性是怎样的？为什么摸到其中任意一张牌的可能性相等？”由于已经有了摸球体验可能性相等积累的直接经验以及观看数学家抛硬币得到的间接经验，学生回答：“摸到其中任意一张牌的可能性相等”。他们不是简单地理解了因为任意摸这4张牌有4种可能，所以摸到每张牌的可能性都相等，而是已经理解了在可能性相等的情况下，连续摸4次，不一定正好每张牌被摸到1次。

表1 数学家抛硬币实验

只有通过大数据支撑的问题情境，才能让随机事件中的“等可能性”这一不容易被发现的规律“水落石出”。通过小数据和大数据实验结果的比较，学生才能发现，等可能性在小数据的情境中具有极端性、不稳定性，只有在大数据的情境中，才能表现出相对稳定性。这样的比较，既揭示了等可能性的规律，又为学生进一步感悟事件发生的随机性提供了生动翔实的数据参考。

通过反复的磨课和反思，我们认为，本课锚定发展学生的数据意识是成功的关键；精心组织数学实验，让学生随机生成真实有效的数据是成功的前提；挑战性问题的驱动和教师适当、适宜的介入指导、启发是本堂课成功的保障。

学生的数据意识的形成不是一蹴而就的，而是在一次次的调查研究、收集数据、整理数据和分析数据的过程中逐步养成的。本课的教学设计牢牢抓住“数据意识”这个核心概念，组织引导学生参与数据统计和数据分析的全过程，在难点处设置多个认知环节，让学生的认知感悟逐步推进，逐渐触摸知识的本质。