一次函数与二次函数的应用

易涌军

《义务教育数学课程标准（2022年版）》对第四学段关于“函数”的内容有如下要求：能用一次函数解决简单的实际问题；会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题. 基于上述课标要求，一次函数与二次函数相结合的生活应用题在各地中考中成了高频考点，而此类应用题中的利润问题既复杂又是重點考查对象. 下面举例介绍此类问题的解题思路.

例1 （2022·辽宁·铁岭·葫芦岛）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元. 经市场调查发现，山野菜的日销售量[y]（千克）与每千克售价[x]（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表：

[每千克售价[x]/元 … 20 22 24 … 日销售量[y]/千克 … 66 60 54 … ]

（1）求[y]与[x]之间的函数关系式.

（2）当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？

分析：此类利润问题中一次函数表达式有四种不同的呈现方式：文字叙述、直接给出表达式、表格、图象. 其本质都是为了求出一次函数表达式y = kx + b（k，b为常数，且k ≠ 0）. 而利润的最大值求法也有三种：（1）自变量的取值范围包括顶点且满足题意；（2）自变量的取值是整数，而顶点横坐标恰好不是整数；（3）顶点不在自变量取值范围内. 本题需要先根据表格中的数据求出一次函数表达式，再利用“每日总利润 = 每千克利润 × 销售量”列出二次函数的表达式，求出利润的最大值.

解：（1）设[y]与[x]之间的函数关系式为[y=kx+b（k≠0）]，

由表中数据得[20k+b=66，22k+b=60，]

解得[k=-3，b=126].

∴设[y]与[x]之间的函数关系式为[y=-3x+126].

（2）设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为[w]元，

由题意得[w=y（x-18）=（x-18）（-3x+126）=-3x2+180x-2268=-3（x-30）2+432].

∵市场监督部门规定其售价每千克不高于28元，

∴18 ≤ [x] ≤ 28，

∵- 3 < 0，∴当[x] < 30时，[w]随[x]的增大而增大，

∴当[x] = 28时，[w]最大，最大值为420，

∴当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元.

例2 （2022·辽宁·盘锦）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量[y]（个）与销售单价[x]（元）之间满足如右图所示的一次函数关系.

（1）求[y]与[x]的函数关系式（不要求写出自变量[x]的取值范围）.

（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？

（3）设该玩具日销售利润为[w]元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？

分析：（1）直接用待定系数法，即可求出一次函数的关系式；（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是[y]元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；（3）根据题意，列出[w]与[x]的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案.

解：（1）设一次函数的关系式为y = kx + b，

由题图可知，函数图象过点（25，50）和点（35，30），

把这两点的坐标代入一次函数[y] = [k][x] + b，

得[25k+b=50，35k+b=30，]

解得[k=-2，b=100，]

∴一次函数的关系式为[y] = -2[x] + 100.

（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是[x]元，

由题意得（[x] - 10）（-2[x] + 100） = 600，

解得[x]1 = 40，[x]2 = 20，

∴当天玩具的销售单价是40元或20元.

（3）根据题意，得[w] = （[x] - 10）（-2[x] + 100），

整理得[w] = -2（[x] - 30）2 + 800.

∵-2 < 0，

∴当[x] = 30时，[w]有最大值，最大值为800.

∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大，最大利润是800元.

总结反思：在商品经营活动中，经常会遇到利用一次函数与二次函数求最大利润、最大销量等问题. 解此类题的关键是通过题意，确定出一次函数和二次函数的表达式，然后确定其最大值. 实际问题中自变量[x]的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量[x]的取值范围.

（作者单位：沈阳市实验学校）