新工科背景下开源数值分析平台赋能传统工科课堂——以“传输原理”教学为例

●武向权 张忠明 郭 灿 徐春杰

一、引言

随着工程教育认证的“以学生为中心”“成果导向教育”和“持续改进”三个核心理念[1]广泛融入到我国的工程教育实践之中[2]，如何在全面信息化的时代背景下使工程教育更加适应现代科技的发展，融入最新的工程实践，是新工科建设中必须思考的问题。[3]新工科建设就是为了满足新技术、新产业对合格人才的迫切需求。[4]历次工业革命都对当时的高等教育提出了重大挑战，但也是高等教育跨越式发展的良好机遇。当前新技术革命风起云涌，以信息技术、计算机技术、微电子技术为代表的信息革命正在革新传统工程行业，以人工智能、大数据为代表的先进算法正在逐渐深入技术领域的方方面面。传统工程学科如何适应这一新技术时代的迅猛发展，如何革新课程内容，使得学习工程科学的学生快步赶上和引领最新的工程应用，如何在工程学科的教育上实现新理念、新模式、新方法和新内容，是传统工科基础课程亟待解决的重要问题。同时，新技术的发展给传统工程学科带来解决问题的新思路和新手段。

传输原理是金属材料、冶金、材料成型、冶金机械、化工等专业必须学习的专业基础理论课程。[5]理论分析、实验分析、数值分析可以称之为学习传输原理的三驾马车，在传统以讲授为主的课堂教学中，教师以讲授理论为主，学生学习到的主要方法为基于数学方法的理论分析。实验课单独开设，通过简单案例加深学生对传输原理基本概念的实际理解。在这一过程中，数值分析方法由于其理论层面难度大，往往只能介绍基本思路。学生学习传输原理的能力目标之一是能够采用数值模拟，分析传输场中的物理量随时间和空间的分布规律。在实际教学中，理论分析占主导地位，数值分析则存在缺位。

近年来，已经有教师开始将科研融入传输原理的课堂[6]，开始使用数值分析手段介绍传输原理的基本知识，通过数值分析可视化传输过程，取得了良好效果。[7]然而目前的教学改革对数值分析这一重要分析方法仍存在只“授学生以鱼”的问题，学生在其他课程中虽然学习了数值分析的基础知识和有限元软件知识，却并没有掌握能够应用于传输原理的数值分析思路和手段。在教学中更多是应用高度包装的商业软件，没有提供给学生自主学习的方向以及可自由使用且具备高自由度的数值分析平台，导致学生存在知识结构和工具方法上的认识缺失。通过将多传输场耦合的开源数值仿真引入《传输原理》的工程教育中，在教学中提取和重构结合开源平台的数值仿真案例，并通过项目驱动和小组协作，有助于激发学生的学习和创新主观能动性，自主学习掌握最新的信息技术和工具，采用科学的思路分析和解决实际中的涉及传输理论的问题。这种开源数值仿真的多传输场耦合教学路径，为传输原理的工程教育提供了有效手段和新思路。

二、传输原理教学和开源多传输场数值分析

(一)传统传输原理理论教学现状

传输现象原理涉及的偏微分方程是通用的规律描述，在其公式中含有的变量复杂、空间维数多。传统教学中，在介绍实际问题时只能简化到单变量的一维问题，以利于课堂计算讲解，因此存在理论推导和例题讲解之间的复杂性差距。如果增加更为复杂的二维问题，就只能针对原理和过程做演示性和结论性介绍，不能有效引导学生深入思考和学习。如，在动量传输教学中，纳维尔斯托克斯(N-S方程)是一个四变量、二阶的偏微分方程，在理论授课时可以引导学生将公式推导出来。然而，在讲授实际应用时，只能将其简化为单变量的情况，增加附加简化条件以便于求出分析解。

在实际授课中，虽然在课程一开始介绍了三种传输现象的共通性和定律之间的相似性，但在后续讲解中将三种传输现象分为三个模块分开讲授，很难将三传现象结合讲解，因为涉及的求解难度和课程深度会大大增加。最终学生能够掌握的只限于单独传输现象的一维和稳态的简化问题求解，面对实际问题时缺乏解决的思路。如，铸造的浇注过程是一个典型的三传现象都存在的过程，在传统授课过程中讲授动量传输和热量传输过程中均用到铸造浇注的案例，然而这两种传输在案例中却是独立的，学生很难从中获得深入认识传输现象内在的联系。传统教学通过理论授课和习题练习，并参加简单的观察实验，最终学生能够了解三传现象的基本公式和典型简化问题的求解，然而对工程实际和科学研究中遇到的多种传输现象耦合问题难以找到解决的思路，在课程学习过程中没有掌握有效的实用工具，这导致课程教学效果偏离了既定目标，很难达到新工科课程建设的要求。

(二)开源多传输场数值仿真分析的优势

由于传输原理问题及大部分物理场均可以用偏微分方程进行描述，采用统一软件平台进行多种物理场的求解成为现代数值仿真分析的目标之一，由此产生了多种著名的商用仿真分析系统。Elmer多物理场分析平台开源于2005年，该平台由芬兰CSC科学中心开发，使用和安装均按照GPL通用公共许可，对软件的免费使用和修改只要继续遵循GPL协议即可。[8]其优势为开源、封装程度低、有可视化的GUI界面、有模型案例库和内容详细的模型教程[9]、以及关于求解器的数学模型手册。[10]该软件建模流程直观，不同物理场对应的数学方程清晰明确。用含有关键词的输入文件SIF(solver input file)控制求解器分析，通过SIF文件，可以直观看出输入求解器的各种信息。这种对建模和计算流程的处理方式更加接近底层数学模型，对基本问题的处理相比于复杂商业软件更加直观，能够直观地观察有限元分析计算的模块架构和计算流程，不同于商用软件的高度封装和不可见性。

在多传输场方面，该软件采用多个求解器代表不同传输场，并在一个耦合问题中采用多个求解器进行计算，耦合模式包括顺序耦合(单向耦合)、弱耦合(双向耦合)、强耦合(整体式耦合)。学生可以深入观察和理解底层有限元计算。正是因为这些特点，Elmer平台非常有利于大学本科阶段的学生，针对传输原理的基本数学理论和进阶的复杂问题，在个人电脑上自行编制求解文件并进行计算和求解。Elmer还可以对接开源的后处理软件Paraview进行数据可视化，实现了分析、求解、显示全流程自主可操控。通过这一过程，学生可以掌握一整套数值分析工具，为专业课学习以及未来从事研究性工作打下良好基础。

三、教学路径与方案设计

(一)课程方案设计思路

《传输原理》是一门材料类专业的专业基础必修课程，将三传理论和材料加工中的典型工程问题相结合，为学生进一步学习铸造、锻造、焊接、复合材料等专业课程打下牢固的理论基础，并使学生具备识别、建模、解决复杂工程问题的能力。教学思路如下。

首先，从传输原理的宏观角度揭示三种传输现象的内在联系，让学生掌握传输原理的相似性和联系性。其次，选取铸造浇注、加热炉设计、金属表面处理等工程问题案例，应用简化的一维稳态或非稳态传输微分方程，目的是让学生掌握工程问题的抽象简化方法，学会解决问题的思路，并结合实操的传输实验加深对理论的理解。在此基础之上，选取传输场数值仿真案例，应用传输微分方程解决更为复杂的问题。在该过程中，如何设计和重构针对传输原理课程的案例是达成良好教学效果的关键。选取台阶层流、冯卡门涡流等动量传输问题，应用动量传输N-S方程求解；选取三维壳体散热和热辐射问题，应用热量传输微分方程求解；选取对流-热传导耦合的圆管内热水流动问题，应用动量N-S方程和热量微分方程单向耦合求解；选取对流-扩散非稳态耦合问题，应用动量N-S方程和扩散微分方程双向耦合求解。最后，通过课程大报告的形式驱动学生自主学习和解决实际问题，在小组协作和项目驱动过程中真正动手和思考问题的数值计算求解思路，并解决求解过程中碰到的问题。

(二)基于开源多物理场Elmer平台的传输原理案例教学

在多传输场的数值仿真教学过程中，对选取的案例，首先演示输入网格划分好的模型，选定需要求解的方程(同时选定所需的求解器)，根据实际问题设定材料属性，然后在求解文件中生成或输入体积力、初始条件、边界条件，最后对求解器进行设定并进行迭代求解。在案例演示的流程中，学生可以理解现代数值分析方法解决复杂传输问题的基本思路和基本过程，理解理论公式中符号的意义和作用，让学生体验到公式中的条件和输入都在共同作用。为了增加课堂的互动性，鼓励学生提前预习案例，并做案例演示自主操作。

传输场的求解可以归结为偏微分方程求解，能够求解偏微分方程的软件有多种，Elmer并不是最佳的传输原理问题求解工具，也不是最佳的多物理场分析软件，然而传输原理课程与Elmer平台的有机结合能够使得学生掌握传输原理相关偏微分方程的实用求解方法，能够让学生建立起复杂传输问题借助现代数值分析工具能够“轻松”求解的信念，消除畏难情绪，使学生具有解决更加复杂问题的信心。

(三)小组协作和项目驱动的自主学习

通过课堂上的数值仿真案例学习以及有限的自主操作，仍难以达到学生深刻理解与有效运用数值方法的目的，因此在课堂之外的自主学习才是真正理解的开始。通过利用课程考核综合评价，采用课程项目大作业驱动以及小组协作方式，能够有效调动学生在课堂之外的自主学习能动性。为课程项目大作业设置合适的课程考核分数占比，并且为学生分组和指定小组长，鼓励学生在自己的小组根据个人的能力和特点发挥实质性作用。在项目选题方面，推荐学生自由选题，充分发挥学生的创造与创新能力，鼓励他们观察生产实际，分析解决工程实际问题。在项目采用的分析方法方面，推荐应用课堂中的多传输场开源数值仿真方法，学生可以在个人电脑上安装运行Elmer平台，在实际的操作和求解过程中，理解传输原理这门课程的现代数值计算方法。课堂上的教学案例均可以在学生的个人电脑上运行，有助于调动学生的课外学习积极性。这个过程体现了问题式引导、项目驱动、以学生为中心的课程改革思路。

四、传输场仿真案例及教学实施效果

(一)应用动量传输N-S方程求解层流和涡流问题

动量传输涉及到的流体问题是复杂的，作为通用的描述理想流体的欧拉方程和描述实际流体的纳维斯托克斯方程，由于涉及到的流体参数、时间、空间维度多，课堂教学仅限于公式推导和理论讲解。在讲授实际应用时，通常只会利用两个极大简化的方程，即一维稳定流连续性方程以及只在限定条件下成立的描述流体能量守恒的伯努利方程，这导致学生对动量传输的理解仅限于简化案例，对如何应用N-S方程解决更为复杂的问题没有概念和方法。

针对这些问题，提取了流体层流和冯卡门涡流两个能够利用动量传输求解器(N-S方程求解器)进行有效求解的题，来说明看似复杂的N-S方程如何有效应用和求解实际问题。在层流案例中，学生可以观察到流速沿壁面的梯度分布以及在台阶处层流的走向变化。可以看到，在截面面积不同的稳定流状态下，截面积越大，流速越小；截面积越小，流速越大这样体现一维总流连续性方程的可视化解释。在非稳态的涡流案例中，可以观察到流体遇到圆形障碍物后产生随时间变化的两列涡旋，该案例作为经典的自然界经常出现的流体案例在飞机、桥梁制造中得到应用，学生可以认识到学习N-S方程具有工程应用价值。通过这两个案例，激发学生对采用N-S方程解决复杂问题的兴趣，使得学生认识到如果采用正确的方法，复杂的N-S方程解决复杂问题可以变得轻松有趣。

(二)应用热量传输微分方程求解稳态三维热传导和热辐射问题

热量传输的基础理论可以归结为导热微分方程，其中涉及到热源、材料热特性参数、时间及空间维度，使得应用导热微分方程解决实际问题存在较大困难。为了便于学生的学习和练习，目前简化到理想状态的无内热源一维稳态导热问题成为课堂讲解的重点。然而实际问题更为复杂，如何基于导热微分方程解决复杂问题，是传统课堂教学中缺乏的内容。对于复杂零件的三维导热问题，提取了一个有体热源的箱体零件通过表面散热的案例。

采用热量传输求解器(导热微分方程求解器)，可以快速求解出稳态散热过程中温度在三维零件中的分布。在这一案例中，可以方便地更改散热的第一类边界条件(边界上的温度值)，学生可以观察到不同的边界散热导致温度分布的变化。针对机理更加复杂的热辐射问题，提取一个典型的热辐射升温案例，学生可以观察到热辐射在仿真分析中是通过对第三类边界条件进行了辐射参数设定而求解的。通过这两个案例，学生不仅深入理解了导热微分方程的应用，还加深了对理论教学中三类边界条件的理解，同时能够理解热辐射在实际中是如何建立模型和求解的。

(三)应用动量N-S方程和热量微分方程单向耦合求解对稳态流换热问题

在工程实际中，同一个现象往往涉及多个传输原理，如在铸造浇注过程中，涉及动量和热量传输场的复合情况，理论分析方法很难对铸造浇注过程进行准确的复合场分析。对流换热同样包含动量传输和热量传输。采用多种传输求解器耦合，可以实现对复杂形状和条件的对流换热模拟计算。为了学习这种问题的求解方式，提取一个热水流过弯曲圆管的问题。首先采用动量传输求解器(N-S方程求解器)对弯管中的热水流动进行流场计算，再把流场计算的结果输入热量传输求解器(导热微分方程求解器)中进行热传导的计算。由于该问题是稳态问题，所以只需要单向耦合迭代。学生从结果中可以看到流管中流体的运动速度分布，看到弯曲对流速的影响，还可以观察到热水的流动分布影响了热传导，流速大的地方热量损失少，而弯管流速慢的地方热量损失大。这使得学生认识到，一个看似复杂的两种传输现象复合的问题可以通过依次求解的耦合方式获得很好的解答；还可以认识到，稳态问题的多场复合在数值分析中是较容易得到分析结果的。

(四)应用动量N-S方程和扩散微分方程双向耦合求解非稳态对流扩散问题

质量传输是传输原理中概念最为复杂的一种传输现象。质量传输微分方程涉及到扩散、流动、化学反应，又存在同相中不同组分传质，以及相间的传质。学生在理解这一部分内容时存在较大难度，理论授课时的讲解重点为简化到与一维稳定导热类似的一维稳定扩散，以及简单的一维非稳态扩散。学生存在面对复杂扩散问题没有思考，理论知识无法应用的问题。对此，提取了非稳态的对流扩散问题，该问题既存在动量传输，又存在扩散问题。而流体的流动还会随着时间而变化，继而会影响流体中的扩散过程。这种非稳态问题对求解方式提出新的挑战。学生通过这个案例可以认识到，采用动量传输求解器和对流-扩散求解器的单向耦合只能求解出一个时间步后的结果，如果想求得连续时间内的结果，就需要双向的耦合迭代，即将一个时间步后的结果重新代入动量传输求解器和对流-扩散求解器中，求解下一个时间步的结果。通过这个案例，学生可以观察到流动对扩散过程的影响，也可以观察到随时间推移流动对扩散过程的持续影响，还可以认识到非稳态问题和稳态问题在数值求解思路上的异同点。

五、结语

紧随时代和技术的发展，授学生以鱼的同时授之以渔，做到能够不断调整课程与最新理论发展及实际工程应用的互动关系，是传输原理课程这门专业基础课程的必由之路和生命力所在。在新工科建设背景下，传统工程学科教育要运用新理念、新模式、新方法和新内容，适应新技术的发展，要应用最新的技术手段实现新工科教育目标。

本文设计了开源多传输场耦合分析赋能的传输原理教学路径，通过应用传输场数值仿真、通过传输微分方程的数值分析工具解决复杂问题。提取了利用单传输场微分方程求解的数值问题和多传输场微分方程耦合求解的数值问题，应用动量传输N-S方程数值求解台阶层流、冯卡门涡流等动量传输问题；应用热量传输微分方程数值求解三维壳体散热和热辐射问题；应用动量N-S方程和热量微分方程单向耦合数值求解对流-热传导耦合的圆管内热水流动问题；应用动量N-S方程和扩散微分方程双向耦合数值求解对流-扩散非稳态耦合问题。在这一过程中，学生可以认识到如果采用正确的方法，应用复杂的传输微分方程解决复杂问题可以变得轻松有趣，一个看似复杂的两种传输现象复合的问题可以通过依次求解的耦合方式获得很好的解答，非稳态问题通过耦合迭代就可以获得不同时间步上的解。最后采用课程项目大作业驱动，以及小组协作方式，通过开源平台的使用，学生有了能够自主运用和操作的仿真和可视化环境，最终使学生掌握现代数值分析技术解决工程问题的思路和方法。