尤尔-沃克方程的发展历程及成因探析

聂淑媛, 张来萍

(1.洛阳师范学院 数学科学学院,河南 洛阳 471934; 2.宁夏大学 新华学院,宁夏 银川 750021)

作为刻画自回归序列的参数与其协方差函数之间关系的一种随机过程模型,尤尔-沃克方程是描述某些时变过程的重要工具,在统计学、信号处理、经济学等领域有着广泛的应用[1],但其诞生背景和发展历程却鲜被提及。本文基于“为什么数学”的数学史研究范式[2],从统计方法和技术工具发展的视角,致力于尤尔-沃克方程的成因探析。

从本质上而言,尤尔-沃克方程与自相关、自回归概念密切相关,追根溯源,自相关出现的早期主要是由气象应用推动形成的。1904年,气象学家凯夫(CAVE-BROWNE-CAVE F E)首次以相距遥远地点的日压力读数为样本,探讨了时间序列数据的自相关问题,给出了数学关系式yt=f(yt-1)+ε的雏形[3]。1917年,克莱顿(CLAYTON H H)研究了太阳辐射和温度的时间序列自相关函数[4]。英国统计学家和统计史学家克莱因(KLEIN J)认为,上述AR(1)过程早已隐含在19世纪末生物学家高尔顿(GALTON F)、生物统计学家皮尔逊(PEARSON K)关于遗传问题的相关和回归研究中[5]。但学界普遍认为,从统计学视角首创现代自回归分析方法的是英国统计学家尤尔( YULE G U)和沃克( WALKER G T) 在探讨世界各地降水、温度和压力等气候变量关系时,进一步拓展了AR(auto regression)模型,从而形成了著名的尤尔-沃克方程。

1 尤尔首创AR(2)、AR(4)模型的技术剖析

尤尔发展自回归思想的背景是当时的一个社会热点问题——寻求太阳黑子序列的隐周期,其核心技术是利用调和函数分析单摆运动,国内外学者已基于不同视角解析了尤尔的创新性工作[6-7],本文旨在挖掘尤尔首创AR(2)、AR(4)模型的技术发展历程及实践推动缘由。

1.1 AR(2)模型的诞生与应用——假定序列只有一个周期

利用上述AR(2)过程的分析思想,尤尔不仅拟合了1749—1924年沃尔夫太阳黑子数据的具体模型ux=1.623 73ux-1-ux-2+16.99,而且实证推算了此太阳黑子序列的周期T=10.08年。由于该周期明显低于诸多研究者一致认可的太阳黑子11～12年的周期,尤尔再次以1753—1920年的另一组太阳黑子数据为样本进行分析,结果表明,拟合模型为ux=1.684 26ux-1-ux-2+14.13,周期T=11.03年[8],建模效果理想。尤尔的大胆尝试不仅开创了自回归的技术方法,而且为挖掘准周期行为提供了一个可实证操作的统计模型。

1.2 AR(4)模型的诞生与应用——假定序列有两个周期

若序列有两个周期T1和T2,尤尔设其通项为

为借助更多的滞后项进行建模,尤尔首先计算

-μ1a-μ2(ux-2-a),

(1)

(2)

联合(1)式和(2)式,消去a,即得ux=(4-μ1-μ2)(ux-1+ux-3)-(6-2μ1-2μ2+μ1μ2)ux-2-ux-4。令k1=4-μ1-μ2,k2=6-2μ1-2μ2+μ1μ2,则AR(4)模型为ux=k1(ux-1+ux-3)-k2ux-2-ux-4+εx。

尤尔进一步拟合了两组太阳黑子数据的具体AR(4)模型,沃尔夫太阳黑子序列对应的模型是

ux=1.160 51(ux-1+ux-3)-1.014 86ux-2-ux-4+εx,

其中,T1=3.37年或1.42年,T2=11.95年,Var(εx)=21.952。第二组太阳黑子序列对应的模型是

ux=1.655 39(ux-1+ux-3)-1.839 55ux-2-ux-4+εx,

其中,T1=3.89年或1.35年,T2=12.36年,Var(εx)=17.472。

据此尤尔证实了,除了只存在一个11～12年的主周期外,太阳黑子序列不存在其他次周期。根据统计分析结果,两个AR(4)模型中的扰动标准差21.95、17.47,均显著高于前文两个AR(2)模型中对应的扰动标准差17.05、11.43[8],AR(4)模型的拟合效果并不理想。但从技术层面而言,正是自回归AR(2)、AR(4)模型的构建,为尤尔-沃克方程的问世迈出了关键的一步。

2 沃克拓展AR(s)模型及自相关函数模型的技术剖析

和尤尔类似,沃克也是在探寻序列隐周期的过程中,陆续创建和使用了相关分析、多元回归方程、可能误差概念、联合相关系数、沃克检验等系列统计技术工具,沃克一生的主要研究方向是世界天气,对于南方涛动、沃克环流、厄尔尼诺现象、气压等气候问题做了诸多开创性工作。特别是1931年,沃克选定了世界天气最重要的一个活动中心——达尔文港口,探究港口压力与系统自然周期以及外部振荡干扰之间的关系时,分析和拓展了尤尔创设的AR模型,并运用这种一般的自回归模型拟合港口压力的季节性时间序列数据。

沃克认为,不同于太阳黑子序列,达尔文港口压力的样本序列及其自相关函数比阻尼正弦波更复杂,较高阶的AR过程是理想模型,因此在总结尤尔工作的基础上,沃克首先直接给出了AR(s)模型

ux=g1ux-1+g2ux-2+…+gsux-s+εx。

(3)

如果说尤尔-沃克方程中尤尔的贡献在于首创了经典的AR(2)模型,那么沃克的创新思想则在于抛开了尤尔直接对原始数据拟合AR过程的估计方法。沃克认为自相关函数是更有力的工具,并最终推证了自相关函数序列{ρk}亦满足与上述AR(s)过程本身形式完全一致的差分方程,具体推导过程可以大致梳理如下。

(3)式的两边同乘以ux-s-1,对指标变量x从s+2到n求和,忽略扰动项[9],即得

假定序列{ux}的标准差是常数,则可化简为ρs+1=g1ρs+g2ρs-1+…+gsρ1,扩展到一般项ρk(k≠0),有

ρk=g1ρk-1+g2ρk-2+…+gsρk-s。

(4)

(5)

沃克通过试验和误差分析借助阻尼正弦波和阻尼指数的混合模型拟合样本自相关函数,然后将拟合后的自相关函数再转化为相应的差分方程,并借助傅里叶变换和联合相关系数等工具,最终推证了(5)式。证明过程相对繁琐冗长,此处不再详细叙述,旨在凸显沃克在创建尤尔-沃克方程中所贡献的创新性结论。

根据上述研究,沃克创设了AR(4)模型ux=3.35ux-1-4.43ux-2+2.71ux-3-0.64ux-4+εx,拟合达尔文港口压力原始数据和自相关函数序列,进一步给出了前40个相关系数ρk满足的混合阻尼模型

并利用此模型证实了达尔文港口压力序列存在11个季度左右的周期,扰动项的方差平均只是原始振荡项方差的1/4左右等系列结论。

3 尤尔-沃克方程的正式命名及其影响

1927年尤尔创建的太阳黑子序列自回归模型受到了学界的广泛重视和高度赞誉,其开创性的论文被国内外学者多次引用,尤尔也被誉为现代时间序列分析的“开山人”。英国统计学家费歇尔(FISHER R A)等认为,沃克在相关与回归、天气预报中多重相关系数、多重比较方面的工作,显然助推了统计方法和隐周期性测试的发展,至今仍在使用的“费歇尔检验”正是在“沃克检验”的基础上发展形成的。但值得一提的是,“尤尔-沃克方程”这个名字却是在尤尔和沃克的论文发表很长一段时间后才被正式提出的。1938年,瑞典计量经济学家沃德(WOLD H)分别总结了尤尔和沃克对于自回归的研究工作,并讨论说明了这类方程与最小二乘法中的正规方程是相互等价的[10],但尚未明确命名“尤尔-沃克方程”。直到1949年,肯德尔(KENDALL M G)在探究线性自回归时间序列参数的估计方法时,才首次正式将其称为“尤尔-沃克方程”[11]。

4 结语

为探究太阳黑子序列的周期,尤尔将统计学中的相关和回归概念扩展到了自回归技术,首创了经典的AR(2)模型,沃克不仅将其扩充到一般的AR(s)模型,而且证实了对应的自相关函数序列亦满足与AR(s)过程相同的差分方程,同时利用自相关函数可以更便捷地识别系统周期。尤尔-沃克方程的正式命名相对缓慢,但其实用价值和理论意义不容忽视,它是解决周期判定、参数估计等问题的重要工具。