收入分配不公平度量转移原则的几个定理

刘 薇, 金贤宇, 曾程波

(湖南财政经济学院 数学与统计学院,湖南 长沙 410205)

0 引言

经济增长与收入不平等是经济学家们长期以来一直关注的主题,研究收入分配不公平问题对于实现共同富裕具有重要的现实意义[1]。收入如何进行再分配,使社会福利达到最大,是从社会福利角度研究收入分配不公平度量的问题。Pigou-Dalton提出社会总福利的大小,不仅取决于国民收入总量的多少,而且取决于国民收入在社会成员之间的分配[2]。因此,要使社会福利得到改善,有必要对国民收入的初次分配进行干预,通过收入的再分配实现公平,改善社会福利状况。

著名的Pigou-Dalton转移原则要求通过从某一富人到某一穷人的若干收入转移,使得收入个体之间的不公平程度减少。科姆开创性地引入了弱递减转移原则,明确指出转移值是低收入者与高收入者之间的转移[3-4]。常见的收入分配不公平测度方法有Atkinson指数、Theil指数和Gini指数[5]等,其中只有Gini指数不依赖个体收入转移原则,但Gini指数遵循等级依赖,与Pigou-Dalton转移原则一致,通过一个回归转移保证不公平减少和福利增加。

本文首先引入双重递减转移原则和Yarri-Quiggin的双重递减转移模型,强调对给定秩(等级)比富人低的个体,如果将一个等级为i,收入为X的个体转移Δ的收入到秩(等级)为i-p的个体,则转移对低收入者Xi-p有较大的影响;然后提出一个充要条件:如果决策者能按照等级依赖期望效用(rank-dependent expected utility,RDEU)模型去遵循弱的转移原则,则他将按照期望效用模型(expected utility model,EUM)进行决策。

1 符号和定义

1.1 偏好

令≻是决策者在Ω集中的偏好关系。

1)若决策者应用EUM,则存在一个严格递增的效用函数u:R+→R,使得偏好≻表示为

2)若决策者运用Yarri的双重模型(dual model,DM),则存在一个严格递增的连续概率变换f:[0,1]→[0,1],f(0)=0,f(1)=1,使得偏好“≻”表示为

3)若决策者运用Quiggin的RDEU模型,则存在一个严格递增的效用函数u:R+→R和一个严格连续递增的概率变换f:[0,1]→[0,1],f(0)=0,f(1)=1,使得偏好“≻”表示为

1.2 转移原则

定义1称决策者遵守转移原则,如果对所有的X∈Ω,i10,使得对xi1+ε≤xi1+1,xi2-1≤xi2-ε,有

X1=X+ε(ei1-ei2)≻X。

定义2称决策者遵守弱递减转移原则,如果对所有的X∈Ω,i10,使得xi1+ε≤xi1+1,xi2-1≤xi2-ε,xi3+ε≤xi3+1,xi4-1≤xi4-ε,xi2-xi1=xi4-xi3,有

X1=X+ε(ei1-ei2)≻X+ε(ei3-ei4)=X2。

因此,如果从一个收入为x的个体转移x-Δ的收入到另一个体,则决策者会遵循弱转移原则,且社会福利影响较大的是低收入者x。

定义3称决策者遵循双重递减转移原则,如果对所有的Y∈Ω,i10,使得yi1+ε≤yi1+1,yi2-1≤yi2-ε,yi3+ε≤yi3+1,yi4-1≤yi4-ε时,有

Y1=Y+ε(ei1-ei2)≻Y+ε(ei3-ei4)=Y2。

因此,如果从一个等级为i的个体转移某收入到一个等级为i-p的个体,则决策者遵循双递减转移原则,且转移对等级i-p的个体有更大的社会福利影响。

2 相关定理

给定一个严格递增的效用函数u,u∈R+且u三次可微(u‴∈R++)。给定一个概率转移函数f∈[0,1],f严格递增且三次可微(f‴∈(-∞,0]∪[1,+∞)),使得f(0)=0且f(1)=1。

引理1若t是定义在I=[0,a]上的一个连续实函数,a∈R+(I=R+)且t在(-∞,0]∪[a,+∞)上三次可微(或在R++上),则t‴(x)≥0,当且仅当Δ3(x;a1,a2,a3)≥0,其中x∈(-∞,0]∪[a,+∞)且x+a1+a2+a3∈R+。这里Δ3(x;a1,a2,a3)记为

Δ3(x;a1,a2,a3)=t(x+a1+a2+a3)-t(x+a1+a2)-t(x+a1+a3)-t(x+a2+a3)+

t(x+a1)+t(x+a2)+t(x+a3)-t(x)。

引理1的结论已在文献[6]中被证明。

定理1如果决策者按照EU模型决策,则以下两条命题等价:

1) 决策者遵从弱递减转移原则;

2)u‴≥0,x∈R++。

证明先证1)⟹2)。对于确定的x,y,有00时,有xi3≥xi2。给定ε>0,且ε→0时,有u′(xi4)-u′(xi3)≥u′(xi2)-u′(xi1),即

u′(y+α)-u′(y)≥u′(x+α)-u′(x),

因此当α→0,有u″(y)≥u″(x)。同理u″(y+α)-u″(y)≥u″(x+α)-u″(x),即u‴(y)≥u‴(x)≥0。

再证2)⟹1)。若要证决策者能按照遵从递减转移原则的期望效用模型决策,则由定义2中,对任意的X1,X2,有U(X1)-U(X2)≥0,即

U(X1)-U(X2)=u(xi4)-u(xi4-ε)-(u(xi3+ε)-u(xi3))-(u(xi2)-u(xi2-ε)-(u(xi1+ε)-u(xi1)))=

u(xi4)-u(xi4-ε)-u(xi3+ε)-u(xi2)+u(xi3)+u(xi2-ε)+u(xi1+ε)-u(xi1)。

令x=xi1,a1=ε,a2=xi2-xi1-ε,a3=xi3-xi1,x,a1,a2,a3∈R+,且xi2-xi1=xi4-xi3,容易得到

U(X1)-U(X2)=Δ3(x;a1,a2,a3)。

因此,由引理1可知,对所有的R++,若u‴(x)≥0,则Δ3(x;a1,a2,a3)≥0,即U(X1)≥U(X2)。

定理2如果决策者按照DM决策,则以下两条命题等价:

1) 决策者遵从双重递减转移原则;

2)f‴(p)≥0,p∈(-∞,0)∪(1,+∞)。

证明先证1)⟹2)。由于连续函数f在(-∞,0]∪[1,+∞)上二次可微,则对于任意给定的p1,p2∈Q∩(-∞,0]∪[1,+∞),且p2>p1,则f″(p2)≥f″(p1)。

在正有理数集Q++中,选择一个足够小的q,使得p1+q

考虑人口规模为kn的收入分配Y1,Y2,k∈N*,由定义3,有i1=kn-k(m+m2),i2=kn-km2,i3=kn-k(m1+m),i4=kn-km1。因为W(Y1)-W(Y2)≥0,则

(1)

f′(p2+q)-f′(p2)≥f′(p1+q)-f′(p1)。

(2)

(2)式两边同时除以q,并令q→0,则可以得出期望的结果f‴(p2)≥f‴(p1),即f‴(p)≥0。

再证2)⟹1)。假设f‴(p)≥0,p∈(-∞,0]∪[1,+∞)。由定义3给定Y1,Y2,需证明W(Y1)≥W(Y2)。

因此,W(Y1)-W(Y2)=ε·δ,且

令x=(n-i4)/n,a=1/n,a2=(i4-i3)/n,a=(i4-i2)/n;x,a∈[0,1],且δ=Δ3(x;a1,a2,a3)。因此,由引理知,δ≥0,即W(Y1)≥W(Y2)。

在MEHRAN F[7]的连续收入分配中,与定理2有相似的结论。

证明1)首先证明对任意的x∈R++,有u″(x)≥0。

(3)

(4)

d=(u(yi4)-u(yi4-ε))-(u(yi3+ε)-u(yi3))-(u(yi1+α)-u(yi1+α-ε))+(u(yi1+ε)-u(yi1)),

因此,d≥0。

再对(4)式左右两边同时除以d,且令ε>0,ε→0,可得结论u′(yi4)-u′(yi3)≥u′(yi1+α)-u′(yi1)。

最后,当α→0且0

2)证明u″(x)≤0,∀x∈R++。同理,令yi1,yi2,yi3,yi4和β>0是任意的,则0

同理可得,u′(yi4)-u′(yi4-β)≥u′(yi2)-u′(yi1)。当β→0,且0

因此,在正实数R+中,u是一个正变换,即u(x)=x是一个正变换,x∈R+。

3 结论

定理1和定理2说明,若决策者遵循递减转移原则,则他们的行为将与EU模型一致。另一方面,如果决策者遵循双重递减转移原则,则他们的行为将与Yarri’s双重模型一致。RDEU模型则是唯一提出结果概率权重与优势原则相一致的模型。定理3说明,如果决策者能按照双重递减转移原则的RDEU模型进行决策,则效用函数通过正变换后仍然能够表示原来偏好。