初中生数学应用题解题能力发展策略

李芳

［摘  要］ 初中数学应用题部分给学生提出了较高的要求，既需要他们掌握扎实的基础知识，又需要他们对知识的应用有最基本的理解，并针对不同内容做适应性呈现. 因此，教师教学时应随时关注学生的知识掌握情况，结合具体问题进行指导训练，以提升学生的综合素养. 在此过程中，对于解题能力的发展，研究者认为，提升审题分析能力、发展模型构建能力、拥有必要的解题技巧是几个关键点. 文章从这几个关键点着眼，展开具体的探索.

［关键词］ 初中数学；解题能力；教学方法

初中数学的教学目标是，以所学教材知识为蓝本，教会学生顺利处理生活中的各类问题. 这一目标既是学生学习数学的初衷，又直接与社会经济的发展需求相关联. 换言之，教育的最终目的是服务学生发展和社会发展. 所以教师教学时应重视培养学生答题、解题的能力.

解題能力的培养对初中数学教学来说是一个老生常谈的话题. 尽管是一个老话题，但具有一定教学经验，尤其是具有教学研究经验的教师都知道，这个话题在任何教育背景下都有探究的意义和价值. 无论是从应试的角度看，还是从学生可持续发展的角度看，解题能力的培养都是一个绕不开的话题. 毕竟无论在怎样的教育理念之下，解题能力都反映着一个学生的学习能力，而学习能力是分析能力、逻辑思考能力、概括能力等诸多能力的组合. 正是这些能力的组合运用，才使得学生学习新知识后能表现出相应的解题能力.

在传统教学中，教师为了提高学生的应用题解题能力，常采用让学生进行多种题型的重复训练的方法. 坦率地说，这种教学方法成本较低（教学成本低与学习成本低是不同的概念），因为对教师来说，只要在日常的训练题目当中，尤其是考试题目当中，把题目综合起来，然后分类，再让学生系统训练，就可以培养学生相关的解题能力了. 但这种培养能力的思路有一个缺点，那就是对于训练过的题型，学生具有相应的解题思路，但对于新颖的题目，他们往往束手无策. 在这种情况下，教师只能想方设法地搜集更多的题型让学生训练，不过归根结底，这种教学方法并没有让学生形成属于自己的解题策略和能力.

要改变这种教学现状，教师就必须寻找新的培养学生解题能力的策略. 基于此，教师首先要明确：应用题来源于生活，而且很多都来自平时的生活现象. 应用题教学能让学生潜移默化地学到如何用所学知识去审视、处理生活问题，同时解题过程具有巩固数学基础知识、积累学习方法的作用，所以能不断拉近学生与数学学科之间的距离.

帮助学生提升审题分析能力

解决具体问题时，审题是关键，不仅如此，审题还是解决问题的前提. 应用题有较多的文字描述类内容，同其他题型相比，信息量非常大. 对于应用题，关键信息、核心问题等均融于文字叙述中，所以需要学生拥有足够的审题能力. 从另一个角度来看，审题能力其实可以理解为阅读理解能力. 在实际教学中，审题不清是一个比较典型的、难以避免的学生常犯的错误. 因此，教师要在教学期间培养学生的审题能力. 那如何培养呢？方法有二，一是教师要引导学生形成提取信息的意识，即注意到应用题的文字叙述并非所有内容都和解题有关，要从整段文字中找到与解题有关的内容，提取关键词汇、关键数字，并留意单位及“不超过”“不少于”等说法；二是教师要致力于培养学生分析信息、处理信息的能力，要让学生在完成信息提取任务后，自觉地做好信息的分析与整理工作，并将分析与整理好的信息运用到解题当中.

提升分析能力是解决应用题、发展应用题解题能力的基础. 要培养初中生的数学分析能力，需建立在前述审题能力形成的前提之下. 学生通过审题，可以提取到足够多的有效信息，接下来只要分析这些有效信息，就能发现正确的求解思路. 通常，应用题的背景均是学生比较熟悉的生活情境，所以分析应用题，也是培养学生分析生活问题能力的绝佳机会. 审题完成后，教师可以同学生一起利用作图、列表等方式，研究题目中条件与条件之间的关联，从逻辑的角度，确认列式步骤与正确算法，最终得到答案. 总的来说，审题是解题的前提，分析能力是解决应用题的中心环节.

此处需特别说明，在日常教学中，教师一定要给学生强调，审题时不要肤浅地理解题意. 日常教学中，教师常常让学生画出题目中的关键词. 这种策略能否有效提升学生的解题能力呢？笔者通过多年的跟踪观察及对比研究，发现这种策略对提升学生的解题能力来说基本无效. 其中一个明显的现象是，一些成绩较差、解题能力较弱的学生也在题目上圈圈画画，但他们圈画的很多不是关键词，即使是关键词，也是碰巧，属于“瞎猫碰上死老鼠”. 这种模仿式的圈画关键词，对他们来说就是走了一个形式，并不能让他们真正地学会审题. 所以，审题实际上是一个互动过程，学生通过阅读题目，把题目中的信息输入大脑，大脑将这些信息与已有信息进行互动、连接，并结合题目所提问题进行判断，看看题目中的哪些词语能够对解题产生关键作用. 有了这样的基础，学生才能判断出哪些是关键词，而为了避免后续解题时忘记这些关键词，就需要对这些关键词进行圈画. 所以，圈画关键词实际上是审题的结果，而不是审题的前提. 如果弄错了这个关系，审题就本末倒置了，而所谓的培养学生的审题能力，也会变得形式化.

促进学生发展构建模型的能力

建构模型的能力对解题而言至关重要，且不说数学学科核心素养强调数学建模，就拿日常的习题教学来说，无论学生是否意识得到，都存在一个基本规律，那就是要想成功解题，就必须建构相应的模型. 此处提到的模型并不是一个抽象的概念，它对应着学生解题的思路与框架，反映着学生基于题目所给的信息进行加工的能力. 一般来讲，当学生面对一道题目时，要想成功建构模型，就必须认真审题，加工题目中的关键信息，并将这些关键信息的逻辑关系梳理清楚，从而形成一个符合逻辑的因果推理关系. 当学生清楚地认识到这种关系时，模型实际上就已经建构了. 所以，要发展学生建构模型的能力，除了要培养学生的审题能力，还要引导学生发现关键信息之间的联系，让学生借助数学逻辑关系，将这些信息串联起来. 当学生经历这样一个建构模型的过程后，他们的模型建构能力就能得到发展.

一般地，应用题涉及的对象比较多，且数量关系、空间形式以及需求关系等也有极为丰富的表现. 所以初中数学应用题涉及多种形式：一，数学本学科内的一些典型问题，如数字、角度、长度、体积等；二，与其他学科交叉的一些问题，如热学、光学、力学、电学问题等；三，和现实生活相关的一些问题，如购物问题、工程问题等. 在这些应用题中，有些应用题由于学生对原型了解的程度不够，所以有必要对题目原型展开丰富的联想，这样才有可能顺利理解题意，发现题目中隐含的数量关系. 而对题目原型展开联想，可采用如下方法：从题意出发，对曾经见过的、能够被认知的场景做出回想；发现和类比与题意相接近的场景；从原有题意出发，进行相关实际场景的想象. 上述几种方法的恰当运用，能将实际模型构建过程勾勒出来，于是可以把实际模型抽象、转变为数学模型，给解题提供正确的思路.

例如，将一根长56 cm的铁丝剪成两段，让每段铁丝都可以围成一个正方形. 若由两段铁丝围成的正方形面积之和为100 cm2，那么怎么剪这根铁丝合适？本题是初中数学应用题的常见类型，教师可以借助作图的方法，启发学生构建抽象模型：若围成的一个正方形的边长为x cm，而另一个正方形的边长为y cm，那么可以通过列方程组求出答案. 总之，在应用题教学期间，教师要强化学生在应用题方面的训练，特别是与模型构建有关的训练，这是学生解题方法与技巧产生的主要环节.

引导学生形成解题思想、技巧

教师需要在培养学生审题能力、分析问题能力、构建模型能力的同时，让学生在解题思想和解题技巧方面有所收获. 实际上，每个学生在解题的过程中都会有属于自己的认识，只不过这些认识对于有些学生来说是清晰的，对于有些学生来说则是模糊的. 对于后者，教师要想方设法让模糊的认识显性化. 而对于所有的学生来说，他们需要认识到自己的解题心得是否存在缺陷，假如存在缺陷，则需要采取一定的措施让缺陷消失. 事实证明，对于初中数学应用题，可以采用概念对比、逆向思维等策略来求解，下面进行详细说明.

对于概念对比，学生可能潜意识里认为概念属于基础知识，能在提高学习质量方面起到一定的作用，但在提高解题能力方面作用不大. 这种矛盾心理造成很多学生忽视概念学习、认知与应用题解决之间的关系，继而让应用题中的关键字词等重要信息被忽视，导致主观臆断等错误情况发生. 所以，初中数学教师需加强学生概念对比方面的培养，使学生在解题时认真审视概念的内涵和外延，并在对其进行归纳和总结时，采用分析、对比的形式，以理解题意，顺利解决问题，同时发展解题思想.

正向思维和逆向思维对比法是值得重视的技巧. 在传统教育模式的影响下，学生的解题思路过于单一，针对逆向思维的变式题探索力度不够. 针对这种情况，数学教师有必要在进行应用题教学时，同时从正向、逆向两个角度做好变式训练的提升与巩固工作，这是学生解题技巧提升的有效策略之一. 例如下面两个问题的同时展示，便是一种很好的正向思维、逆向思维技巧训练方法.

问题1如图1所示，△ABC是等腰三角形（AB=AC），直线d是线段AB的中垂线，直线d交AC于点D. 若∠BAC=50°，求∠DBC的度数.

问题1比较基础，无论是否把它置于生活应用场景，学生都能顺利解答.

问题2 如图1所示，△ABC是等腰三角形（AB=AC），直线d是线段AB的中垂线，直线d交AC于点D. 若∠DBC=15°，求∠BAC的度数.

很明显，问题2是问题1的逆向推理问题. 采用正向思维求解问题2虽然行不通，但可以采用方程思想. 学生可以根据教师的提示，得到正确答案：设∠ABD=x°，则∠BAC=x°. 因為∠ACB=∠ABC=x°+15°， ∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，所以2（x°+15°）+x°=180°，解得x=50. 所以∠BAC=50°.

解决问题1采用的是代数方法，解决问题2采用的是方程思想. 解决这两道题所需要的思维深度不同，思考角度也各有侧重. 同时呈现这两道题，有利于学生培养逆向思维.

总结

总而言之，针对初中数学应用题教学，教师既要主动做好新型高效课堂教学模式的探索工作，又要做好强化学生分析能力与归纳能力的工作，只有这两方面的工作同时做好，才有助于提升学生的数学问题分析能力与思考能力，从而达到课堂学习期间学生主动提出想法、创新解题思路的效果. 在此期间，教师应以模式探索和学生指导工作为指引，全面关注提升学生审题分析能力、发展学生模型建构能力、让学生拥有必要的解题技巧等几个方面，并采取切实可行的措施，给学生未来充分、深入地学习数学知识奠定基础.