在“纠错”中深入 在“思错”中升华

黄郑

［摘  要］ 错误是一种特殊的教学资源，若教学中教师能够充分挖掘并合理利用“错误”资源，往往可以诱发学生深入思考，提升学生的学习品质. 教学中，教师应宽容地、合理地对待错误，引导学生在“纠错”和“思错”中突破思维障碍，训练思维能力，完善认知结构，从而由“错误”走向“正确”，走向“成功”.

［关键词］ 错误；教学资源；学习品质

数学作业具有巩固知识、强化技能、拓展思维等价值，布置作业是数学教学的重要一环. 然学生在思维水平、知识背景、学习能力、表达方式等方面存在明显的差异，因此他们的作业常常会出现各种各样的问题. 面对学生的错误，教师应该保持客观的态度，充分挖掘错误中隐藏的价值，并合理利用，把学生的错误转化为宝贵的教学资源. 不过，在实际教学中，大多数教师常常将错误笼统地归因于学生做作业时态度不认真，没有对错误进行深度剖析，只是任务式地进行作业评改，这样就错失了真正了解学生、了解教学的机会，久而久之，作业变成了一种形式，没有发挥真正的价值. 要知道，作业是教学效果最直接的反馈，透过错误教师可以反思自己的教学过程，及时调整教学策略，提升教学水平. 另外，教师只有认真分析错误才能找到学生的真正错因，从而通过补偿练习让学生真正地理解知识，掌握数学方法，提升数学素养. 因此，教学中教师要科学合理地对待学生的错误，并将学生的错误转化为宝贵的教学资源，让学生在错误中不断成长、不断完善. 下面笔者以一节“分式”的习题讲评课为例，阐述如何引导学生在“纠错”和“思错”中获得新发展、新提升.

纠错——深化认知

讲评前，教师要结合学生的真实反馈选择一些典型、普遍的问题. 这些问题既要反映核心知识点，又要体现学生思维存在的漏缺，以便通过针对性的讲评还原知识本质，让学生“真懂真会”. 纠错可以通过以下五个步骤展开.

1. 错解呈现

呈现错解时，教师最好进行实例展示，如通过投影或者做成课件的形式展示学生的错解，这样既能拉近师生的距离，又易于学生接受.

例1当x=______时，分式的值为0.

错解x=±3.

例2解方程：-=0.

错解1去分母，得2（x-1）-x=（x-1）（x+1），化简后得x2-x+1=0. 因为Δ=（-1）2-4×1×1=-3<0，所以原方程无解.

错解2去分母，得2-x=0，解得x=2. 经检验，x=2是原方程的增根，所以原方程无解.

错解3方程两边同时乘（x-1）（x+1），得2（x-1）-x=0，解得x=2.

2. 师生交流

教师将典型的错解呈现后，不应急于展示正确的解题过程，而应预留时间和空间让学生自主交流，让学生谈一谈自己出错的原因，或者组织学生讨论错在何处，可能是什么原因造成的错误. 这样的讨论过程可以让学生对错误形成深刻的认识，能有效避免同类错误再次发生. 以上过程看似简单，但教学中是必不可少的，因为讨论可以充分暴露学生的思维过程，这样能找到真正的错因，从而为正确理解知识做好铺垫.

3. 错因归类

学生解题时会出现各种各样的错误，出现错误的原因主要有：①基础知识掌握不牢；②不良的学习习惯；③教师的教学方法不当；④学生的学习态度不认真. 错误类型大体可以分为：①审题不清；②马虎大意；③方法不当；④计算有误. 纠错时只有正确地认识错误并找到造成错误的真正原因，才能對症下药，从而有效避免“一错再错”.

对于例1，解题时因忽视了分式有意义的前提，从而出现了x=3这一错解. 例2中的错解1，等号右边为0，0乘（x-1）（x+1）仍为0，学生却得到了（x-1）（x+1）；错解2，对于去分母，学生直接理解为去掉分母，解题时出现了不等价转换，造成了错误；错解3，缺失了“验根”这一步骤.

在此环节，教师应鼓励学生“回头看”，让学生自主完成错因归类，以便学生更好地理解知识.

4. 探索正解

找到真正的错因后，教师要与学生一起探索正确答案. 从以上错解过程可以看出，学生因解题不规范，出现了解题步骤的遗漏，因此探索正解时，教师有必要从示范的角度出发，给出完整的解答过程，培养学生思维的严谨性.

对于例2，师生交流后，给出了如下完整的解答过程：

解法1方程两边同乘（x-1）（x+1），得2（x-1）-x=0，解得x=2. 检验：当x=2时，（x-1）（x+1）≠0，所以x=2是原方程的解.

解法2移项，得=；去分母，得2（x-1）=x，解得x=2. 检验：当x=2时，（x-1）（x+1）≠0，所以x=2是原方程的解.

解法3 原方程可化为-=0，即=0，所以x-2=0，解得x=2. 检验：当x=2时，（x-1）（x+1）≠0，所以x=2是原方程的解.

解法4 移项，得=，所以2（x2-1）=x（x+1），解得x=2，x=-1. 检验：当x=2时，（x-1）（x+1）≠0；当x=-1时，（x-1）（x+1）=0，所以x=2是原方程的解.

教师呈现不同解法的解题过程，既能规范解题过程，又能让学生感受到不同解法之间的联系. 对于初学者来说，只有夯实基础，才能有效规避“方法不当”“思考不周”等错误，从而让学生“既懂又对”.

5. 平行矫正

探究正解后，教师应给出一些针对性的变式练习，从而帮助学生巩固知识、技能、方法，达到举一反三、触类旁通的效果.

值得注意的是，变式练习不要局限于单一的横向迁移，还应该关注纵向拓展. 所谓横向迁移，是指不改变核心知识、核心方法和题目结构，仅仅在数据信息、已知或结论上进行简单变化. 其本质是对原题进行简单变形，让学生通过模仿来巩固知识、方法，实现举一反三. 但是单一的横向迁移往往难以诱发学生进行深度思考，难以让学生对知识形成深刻的认识，且解题时机械的模仿容易造成思维疲劳和思维定式，不利于学生学习能力的提升. 因此，在横向迁移的同时，教师也应关注纵向拓展，让学生运用已掌握的数学知识和数学思想方法去解决一些新问题，或迁移至其他相关的领域，以开阔学生的视野，达到触类旁通的效果.

思错——升华认知

1. 追踪溯源，改进教学

研究分式的概念、基本性质时，教师大多会与分数相类比，从而借助学生熟悉的“分数”让学生更好地理解“分式”. 如教学时，引导学生通过赋值的方式进行“分式”与“分数”的转化，从而让学生体会抽象与具体、特殊与一般的关系. 分数与分式虽密不可分，却有本质的区别，即分式的分母上有字母，也正是这一特征决定着解题时要确保分式的分母始终不为0，这是分式有意义的前提. 教学时，教师除了重点强调和记忆，还可以设计“陷阱”，诱发学生犯错，从而“將错就错”，强化学生的认识.

2. 将错就错，触类旁通

实际教学时，教师应尝试理解学生的错误，从学生的错误做法出发，通过适当引导和点拨的方式让学生自己发现错误，这样不仅能让学生发现正确的解题方法，而且能丰富学生的知识，拓展学生的思维.

对于例1，教师设计了如下变式练习.

变式1当x=______时，分式的值为0.

变式2当x取何值时，分式有意义？

变式1既要保证分子为0，又要保证分母不为0；变式2既要确保x+3非负，又要保证分母不为0.

对于例2，可给出如下变式练习.

变式解方程：-=1.

上述变式将等式右边的0换成了1，求解时，除了要关注分式有意义，还要关注分式与等式基本性质之间的区别和联系.

相信通过以上变式练习，学生对分式的意义及其基本性质会有深刻的认识，能有效提升解题能力.

3. 渗透方法，提升素养

在数学教学中，要把知识内化为能力，离不开数学思想方法的渗透，因为思想方法是优化学生认知、提升学生素养的桥梁和纽带. 在“分式”教学中，涉及的思想主要是类比思想. 如将“分式”与“分数”相类比，将“分式方程”与“整式方程”相类比. 类比既能发现两者的相同之处，又能找到两者的区别，且类比能让学生更好地理解新知、内化新知. 在日常教学中，教师应将数学思想方法融于学习情境和教学过程中，让学生在潜移默化中理解和掌握知识，从而提升思维品质，提升数学素养.

错误是宝贵的教学资源，其宝贵不在于错误本身，而在于师生在纠错、思错的过程中能有新收获、新发展. 对教师而言，学生的错误折射出来的往往是教学过程中出现的漏缺，它为教学过程和教学策略的改进提供了新机遇. 教学中，教师不仅要正确地对待学生的错误，还要合理地应用错误，充分挖掘错误的价值，通过巧妙的引导来发散学生的思维，提升学生的素养. 另外，在纠错和思错的过程中，教师应以学生为本，尊重学生，相信学生，为学生提供时间和空间，让学生去自主发现、自主改正，以此培养学生良好的学习习惯.

总之，在教学过程中，教师要宽容地、冷静地对待学生的错误，要充分挖掘错误的教学价值，帮助学生突破思维障碍，增强学习信心，让学生踏着自信的云梯攀向高峰.