探究数形结合思想在高中数学教学中的应用

洪木山

摘 要：近年来，随着我国教育事业的不断发展，高考试题也在朝着越来越开放的方向不断发展，高考命题的方式也越来越多元化，很多时候一道数学题会包含好几个知识点，而要解决这些数学问题，需要学生对数学知识点的理解更加深入，运用更加灵活。为了达到这一教学效果，教师需要在高中数学教学中，灵活应用数形结合思想，不断完善教学方案，以此来拓宽学生的数学解题思路，让学生的数学解题效率越来越高，进而促使学生整体数学实力得以提升。文中结合笔者的教学经验，对数形结合思想在高中数学教学中的应用策略进行探究，以供大家参考。

关键词：数形结合；高中数学；数学教学

数形结合思想，其实指一种既涉及数字，又涉及图形的思维模式，在这种思维模式下，学生可以将数字转化为图形，也可以将图形转化为数字，同时亦可以将数字和图形进行互化[1]。数学是高中时期非常重要的一门学科，其主要是为了研究数量关系和空间形态，在教材中存在数字和图形两个部分。在高中阶段的数学教学中，当学生遇到一些抽象、复杂的数学问题时，如果无法应用数字或图形中的任意一个去解决它，那么就需要运用数形结合的思维方法，把原本抽象、复杂的数学问题简单化，并由此来帮助学生明确解题思路，从而更好地解决这些數学问题[2]。高中数学教师必须在课堂中密切关注学生主体作用，同时积极地在课堂中渗透数形结合的思想，以此来帮助学生理解和掌握数学知识，进而有效地提升学生的数学解题能力。

一、数形结合的原则

数形结合思想是一种同时涉及数字和图形的思维模式，即通过对数的严谨、形的直观两种特性的综合应用来分析和解决数学问题的思维方式。简单来说就是灵活对“数”与“形”进行转换，将抽象的“数”以形象的“图形”方式呈现出来[3]。将数形结合应用到高中数学教学中，可以通过对图形的应用展现原本抽象的数学问题，从而可将数学知识、数学问题变得更容易理解、更容易感知，进而能够达到降低学生理解难度，促进学生深度学习的效果，对提升高中数学教学效率及质量有积极帮助。

但需要注意的是，在高中数学教学中应用数形思想结合时应严格遵循两个原则，其一，双向性原则。双向性原则也就是要对集合图形进行直观研究分析，这是由于几何图形的多种条件都可以实现对图像的转化，从而可以以图像方式直观地展现数学问题中所要推断的位置条件。在此基础上，再运用代数知识对数学问题展开逻辑分析，以弥补几何直观性给问题分析造成的约束，从而通过对代数抽象性以及几何图形直观性等优势的共同应用，发挥出更好的教学效果[4]。其二，等价性原则。等价性原则即应保证“数”的代数性质和“形”的几何性质在转化时应保持等价性。这是因为“图形”虽然具有直观性强的特点，但是其准确性难以有效保证，故而也有其自身的局限性，若不能与“数”的代数性质保持一致，则容易对解题情况造成影响。故而，在运用数形结合思想解决数学问题时，也应注意保持数形的等价性原则。

二、数形结合思想在高中数学教学中的价值

数学是一门内容丰富的学科，其学习内容可涉及数量关系、空间结构等多个方面。可以说，数学是一种揭示事物规律的基本工具。数学的这一特性也决定了其内容必然存在有很强的逻辑性、抽象性及严谨性，这也就对学习者逻辑思维能力提出了更高的要求，需要学习者具备一定的数学思想。尤其是在高中阶段，数学学习难度较大、学习压力重、时间紧，仅仅依靠传统的“题海战术”方式进行机械化的练习巩固，很容易出现事倍功半的效果，不利于学生学习效率的提升[5]。而数形结合思想则能够通过数与形的有效结合，帮助学生学会从不同角度分析和解决问题，对降低数学学习难度，提升学生数学效率有积极帮助。具体而言，高中数学教学中数形结合思想的应用价值可以归纳为下述几个方面：

（一）有利于激发学生的数学学习兴趣

在高中阶段的数学教学中，由于这一阶段的数学知识难度越来越大，且大多数知识点都存在抽象性、象征性以及形式化的特点，很多学生学习起来会非常吃力，同时各种考试带来巨大的压力，让学生对于数学学习的信心和兴趣越来越低，甚至还有不少学生产生了厌学心理[6]。但是，通过在高中数学教学中应用数形结合思想，可以将原本抽象的数学理论和概念直观形象地呈现给学生，以此来达到化难为简的目的。这样一来，可以让学生在数学学习中重新建立信心，体会数学知识的魅力，从而有效地激发学生的数学学习兴趣。

（二）有利于提高学生的数学理解速度

在高中阶段的数学教学中，因为传统教学方法上所存在的一些问题，使得学生在学习了新的数学知识之后，很难将其与旧数学知识串联起来，从而影响了学生数学知识体系的构建。通俗来说，就是学生无法将所学的新知识与旧知识进行关联，从而难以在解题过程中有效地运用这些数学知识[7]。但是数形结合思想的应用，是数字和图像的一种转换，这就在一定程度上推动了学生数学知识体系的建构，让学生可以在学习新知识的同时完成旧知识的巩固。另外，通过在高中数学教学中广泛运用数形结合思想，也可以将原本抽象难懂的数学理论知识通过直观的形式呈现出来，让学生在数字和图形的双重辅助下，提升自身对数学知识的理解速度。

（三）有利于拓宽学生的数学解题思路

在高中阶段的数学教学中，数形结合思想虽然不是唯一的数学解决方法，但是却在数学解题过程中一种重要方式，它可以让学生在面对一些问题时，帮助学生从更多角度去寻找问题的突破口，拓宽学生的解题思路，从而使学生可以采用一种更为简单的新方式去解决数学问题。另外，在解决数学问题时应用数形结合思想，可以让学生更加充分地提取和运用题干中的相关信息，从而大大地提高了学生的解题效率。教师在高中的数学课程中要注重数形结合思维的应用，在培养学生思想深度的基础上，进一步拓展他们的数学解题思路。

（四）有利于提升学生的数学思维能力

步入高中之后，学生的思维也在发展，通过在高中时期应用数形结合思想，可以有效地提升学生的解题思维能力，让学生从多个角度入手去思考和分析数学问题，从而实现学生数学思维能力的培养[8]。与此同时，在高中时期的数学教学中应用数形结合思想，可以让学生的思想不断在数字和图形之间进行转换，以此来锻炼学生的思维。最后，数形结合思想的重点在于抽象思维与形象思维的相互转变，这样的一个过程，对于提升学生思维能力非常有益。

三、数形结合思想在高中数学教学中的应用策略

（一）运用数形结合思想解决集合问题

在高中阶段的数学教学中，学生会遇到与“集合”相关的问题，在这部分内容的教学中，集合的并、补、交等概念相对来说会比较抽象，后续还要进行集合的基本运算，如果学生无法正确地理解和掌握集合的并、交、补的概念，那么在学习这部分内容时会非常吃力[9]。因此，教师在教学中，可运用图示法等，让原本抽象的集合概念变得简洁、直观起来，以此来帮助学生理解和掌握集合的并、交、补含义。在具体的实施中，教师可以先让学生从字面上理解并、交、补各自的含义，然后教师再绘制Vemn图，让学生直观地看到并、交、补各自的含义，最后教师再结合教学内容，为学生讲解集合的并、交、补，如此一来，学生可以从多个角度去理解并、交、补的含义，从而为后续集合的运算打下基础。

例如，在人教版高一数学必修一第一章《集合的基本运算》的教学中，当学生遇到集合问题“已知某一个班级有学生41人，其中喜欢吃橘子的有18人，喜欢吃香蕉的有16人，香蕉和橘子都不喜欢吃的有11人，现在我们要计算出既喜欢吃香蕉，也喜欢吃橘子的人有多少？”在解决这一问题时，教师可以先集合题目内容，将文本内容转换成集合语言，即我们先将全班的总人数集合起来，表示为，喜欢吃橘子的人数集合起来，表示为，喜欢吃香蕉的人集合起来，表示为。然后绘制Vemn图，将题干中的文字转换为直观的图形，其中红色与黄色相交后呈现的橘色部分，就是既喜欢吃香蕉，也喜欢吃橘子的人数。这样一来，教师在进行集合相关知识教学时，通过数形结合思想的运用，不仅可以让集合问题变得通俗易懂，方便学生理解学习，同时还丰富了课堂内容。

（二）应用数形结合思想解决方程和不等式问题

在高中阶段的数学教学中，方程和不等式也是数学教学中不可忽视的内容，而在解决方程和不等式问题时，应用数形结合思想，可以有效地优化方程和不等式问题的解题方法，从而提升学生的解题效率[10]。因此，在“方程与不等式问题”相关知识的课堂教学中，教师往往能够借助二次函数图形，将一元二次不等式问题更直接地表现在图形上，并由此来开拓学生的解题思维，从而提升学生的解题效率。

例如，在人教版高一数学必修一第二章《二次函数与一元二次方程、不等式》的教学中，当学生面对一元二次不等式问题“＞0”时，教师可以先将其转换为二次函数，即，然后根据二次函数绘制图像，确认二次函数图像的开口向上，其在轴上的两个交点是-2、3，也就是指题目中所给的二次函数，其图像与轴有交点坐标存在，即（-2，3），从图像可知，如果＞0，需要取交点两侧的值，即＜-2或＞3时才能满足＞0，因此，一元二次不等式＞0的解集为{|＜-2或＞3}。除此之外，借助函数图象求解方程的近似值也可以有效地简化问题，如在求解不规则的方程时，教师可以将等式的两边分别设置成函数的方式，然后绘制函数图象，函数图象的交点就是方程的根。如一元二次不等式问题“已知方程|-1|=+1，求在不同取值范围中，该方程的解。”在解决

这一问题时，教师可以先设置函数方式，即1=|-1|，2=+1，然后绘制图像，观察图像的交点个数。因为1=|-1|是两条抛物线，一条开口向上，一条开口向下，且与轴的交点为-1、0和1，而2=+1是一条平行于轴的直线，求解后可得，当＜-1的时候，1和2之间是没有交点的，故而此方程无解；

当=-1的时候，1和2之间存在两个交点，故而此方程有两个解；当-1＜＜0的时候，1和2之间存在四个交点，故而此方程有四个解；当=0的时候，1和2存在三个交点，故而此方程有三个解；当k＞0的时候，1和2存在两个交点，故而此方程有两个解。通过这种以形化数的方式，可以有效地降低一元二次不等式问题的难度，教师应该多给予学生一些独立思考的时间，让学生充分考虑到其中的可能性，从而准确地解决此类问题。

（三）应用数形结合思想解决几何问题

在高中阶段的数学教学中，立体几何是其中非常重要的内容之一，为了帮助学生掌握更多解决立体几何问题的方法，教师在教学中应该重视数形结合思想的应用，以此来帮助学生突破思维的限制，形成较为完整的立体几何解题思路。在具体的实施中，教师可以先对立体几何的结构特点等进行分析，发现其中所存在的数量关系，然后利用数量关系来解决问题。

例如，在人教版高一数学必修二第八章《空间点、直线、平面之间的位置关系》的教学中，学生经常会遇到类似这样的问题“已知有一个四棱锥，其底面是平行四边形，且平行四边形的为60°，=2，同时四棱锥的棱和平行四边垂直。现在要求和垂直”。在解决这一几何问题时，不仅需要学生发挥自身的空间想象力，同时还需要学生运用数形结合思想，如题干中所提到的为60°，=2，通过这两个信息以及余弦定理，学生就可以证明和之间是垂直关系，而由题目中得知和也垂直，和同属于一个平面，这样学生很容易就能解决这个几何问题。另外，在解决几何问题的过程中，教师还可以利用直角坐标系，让数字和图像结合得更加充分，从而有效地发挥代数等知识的优势，帮助学生运用这些知识去解决几何问题，进而提升学生解决几何问题的能力。

（四）应用數形结合思想解决函数问题

在高中阶段的数学教学中，函数问题既是重点也是难点，为了更好地帮助学生学习这部分知识，教师在教学中可以应用数形结合思想，对函数相关知识进行研究分析。在解决一些函数问题时，常常会借助直角坐标系来辅助问题的解决，通过直角坐标系的绘制，能够清晰明了地表达函数关系，再利用函数解析式的精准计算，从而使得函数问题得到有效解决。在具体的实施过程中，教师需要积极地向学生灌输数形结合思想，使学生能够达到灵活运用的程度。这样，学生在面对函数问题时，才能够准确抓住函数问题的特征，促使学生解题思路得到拓展，更好地掌握函数相关的知识内容。

例如，在人教版高一数学必修一第三章《函数的基本性质》的教学中，学生经常会遇到如下类型的函数问题“已知有一个二次函数=（＞0），当＜0时，的值应该是什么？A.0；B.正数；C.负数；D.取决于符合”。在解决这一函数问题时，教师需要先绘制二次函数图像，并计算=

与轴之间的交点坐标，即=0或者=-1，且由于的图像开口向上，当＜0时，其的区间应该是（-1，0），区间长度是1，而由题干可知，＞0，将函数的图像整体向上进行平移后，＜0的区间长度只会比1更小。因此，当＜0时，的值一定会大于0，由此可得，此题的答案为B。通过以上解题过程可以看出，数形结合思想的应用可以将原本较为抽象的函数关系更加直观地表现出来，让函数问题变得简单，有助于学生掌握函数知识，学会运用函数知识解决问题。

结束语

总而言之，数学这门学科具备着非常强的逻辑性，其既研究空间图像，也研究数量关系，数形结合思想的应用是非常有必要的。因此，在高中阶段的数学教学中，教师应该从实际教学情况出发，灵活地运用数形结合思想去解决高中数学教学中所遇到的函数问题、集合问题、几何问题、方程和不等式问题等，以此来降低题目的难度，帮助学生理解和掌握数学相关知识，拓宽学生解题思路，从而促进学生数学整体实力的提升。另外，除了文章中所提到的这些数学问题之外，数形结合思想的应用还可以帮助学生解决概率问题、数列问题等，为了确保数形结合思想的应用优势得以充分发挥，还需要教师不断创新和优化数形结合思想的应用策略。

参考文献

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[2]張松柏.数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用方法探究[J].中学课程辅导（教学研究），2020（1）：161.

[3]李文华.高中数学教学中数形结合思想的运用探究[J].中学课程辅导（教学研究），2020，014（5）：45.

[4]洪霞.浅谈数形结合思想及其在高中数学教学中的应用[J].当代家庭教育，2021（35）：22-23.

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[6]陈晓平.探究数形结合思想在高中数学教学中的应用[J].商业故事，2018（23）：159.

[7]龙基明.数形结合思想方法在高中数学教学中的应用研究[J].新课程导学：下旬刊，2018（4）：93.

[8]钱春艳.数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用[J].文理导航，2022（8）：64-66.

[9]陈宏科.数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用方法研究[J].考试周刊，2021（39）：53-54.

[10]王亚丽.浅析数形结合思想在高中数学教学与解题中的有效运用[J].世纪之星—高中版，2021（13）：29-30.

本文系泉州市教育科学“十四五”规划（第一批）立项课题“新高考背景下“历史倾向”学生的数学培优实践研究”（项目编号：QG1451-177）研究成果。