递进关系，恒等变形，等价转化

楼雄鹏

摘要：涉及函数最值或取值范围的问题是高考以及竞赛中的热点、难点题型之一.结合新高考中“双空题”的创设，合理梯度化，有效递进关系，为此类问题的创设提供更加肥沃的土壤.借助一道模拟题，从多视角、多层面、多方法加以剖析，挖掘问题本质，合理变式拓展，引领并指导数学解题研究.

关键词：函数；最小值；方程；取值范围；导数

1问题呈现

【问题】（2022届山东省济南市高三4月高考模拟考试（济南二模）数学试卷·16）已知函数f（x）=|lnx|+ax+ a x （a>0），则函数f（x）的最小值为______；若关于x的方程ex+e－x－| lna-lnx a |－ a x =0（x>0）有且仅有一个实根，则实数a的取值范围是______.

此题以函数的解析式为问题背景，借助“双空题”的创新设置，从函数的最值与参数的取值范围这两个不同层面来合理设置，综合了函数的基本概念与基本性质，以及指数函数、对数函数、函数与方程等相关知识的应用，交汇了函数的图象、函数与导数、基本不等式等众多知识，在充分考查基础知识的情况下，全面考查思想方法和数学能力等.

2问题破解

解析：【第一小空】

方法1：（基本不等式法）

由于|lnx|≥0，当且仅当x=1时等号成立，

而a>0，x>0，利用基本不等式，可得ax+ a x ≥2 ax× a x  =2a，当且仅当ax= a x ，即x=1时等号成立，

于是，f（x）=|lnx|+ax+ a x ≥2a，当且仅当x=1时等号成立，

所以函数f（x）的最小值为2a.

方法2：（导数法）

由于a>0，当0

求导可得f′（x）=－ 1 x +a（1- 1 x2 ）<0，则知函数f（x）在（0，1）上单调递减；

当x>1时，此时有f（x）=lnx+ax+ a x ，

求导可得f′（x）= 1 x +a（1- 1 x2 ）>0，则知函数f（x）在（1，+∞）上单调递增；

则知f（x）min=f（1）=2a，即函数f（x）的最小值为2a.

解后反思：根据函数的解析式，或利用基本不等式来直接确定最值；或借助分类讨论，结合导数法来确定最值，都是解决此类问题中比较常用的技巧方法.而创新的“双空题”的设置，第二小空往往是在第一小空的基础上加以深入与推进，如何对方程进行恒等变形，利用等价转化来处理，是解决第二小空的关键所在.

【第二小空】

对于函数f（x）=|lnx|+ax+ a x （a>0），

由于方程ex+e－x－| lna-lnx a |－ a x =0（x>0）ex+e－x= 1 a |ln a x |+ a x （x>0）aex+ae－x=|ln a x |+ a2 x aex+ae－x+x=|ln a x |+ a2 x +x（x>0）|lnex|+aex+ae－x=|ln a x |+a（ a x + x a ）（x>0）f（ex）=f（ a x ）或f（ex）=f（ x a ）（x>0）（特别注意，这里有两种情形，不能遗漏）.

而关于x的方程ex+e－x－| lna-lnx a |－ a x =0（x>0）有且仅有一个实根，

那么方程f（ex）=f（ a x ）和f（ex）=f（ x a ）（x>0），其中一个方程有且仅有一个实根，另一个方程没有实根，

结合x>0，可得ex>1，由以上第一小空中分析可知函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，

则有ex= a x 或ex= x a （x>0），

由于y=ex和y= a x （x>0）的图象有且仅有一个交点，则知方程ex= a x （x>0）有且仅有一个实根，另一个方程ex= x a （x>0）沒有实根，

下面只要考虑方程ex= x a （x>0）没有实根的情况，

方法1：（公切线法）

考虑方程ex= x a （x>0）没有实根，设函数g（x）=ex，h（x）= x a （x>0），

当直线h（x）= x a 与曲线g（x）=ex相切时，设切点的横坐标为x0，

则有g（x0）=h（x0）

g′（x0）=h′（x0），即ex0= x0 a

ex0= 1 a ，解得x0=1

1 a =e，

结合函数的图象，数形结合可知 1 a  1 e 时，直线h（x）= x a 与曲线g（x）=ex没有公共点，此时方程ex= x a （x>0）没有实根.

所以实数a的取值范围是（ 1 e ，+∞.

方法2：（分离参数法）

考虑方程ex= x a （x>0）没有实根，等价于方程a= x ex 没有实根，

设函数g（x）= x ex （x>0），求导可得g′（x）= 1-x ex ，

当00，函数g（x）在（0，1）上单调递增；当x>1时，g′（x）<0，函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，

又g（0）=0，当x→+∞时，g（x）→0，则知g（x）max=g（1）= 1 e ，

要使得方程a= x ex 没有实根，即直线y=a（a>0）与曲线g（x）= x ex 的图象没有交点，

则知a> 1 e ，即实数a的取值范围是（ 1 e ，+∞.

方法3：（导数法）

考虑方程ex= x a （x>0）没有实根，设函数g（x）=ex－ x a （x>0），

求导可得g′（x）=ex－ 1 a ，令g′（x）=0，解得x=－lna，

当a≥1时，g′（x）≥0，函数g（x）在（0，1）上单调递增，g（x）>g（0）=1，方程ex= x a （x>0）没有实根，满足条件；

当0

那么只要满足g（x）min= 1+lna a >0，即1>a> 1 e ，此时也满足条件；

综上分析，实数a的取值范围是（ 1 e ，+∞.

解后反思：根据条件中的方程，借助前面第一小空中的函数结构特征加以同化与恒等变形，合理变形与转化是关键，也是解决第二小空中最重要的一道关卡.而在确定兩个抽象函数相等的情形下，合理利用函数的单调性来构建关系并判断，是解决问题的第二道关卡.多个知识点、多个难度系数重叠，合理构建出创新应用问题.

3变式拓展

探究1：保留原问题背景与条件，结合以上问题的解析过程，对于参数a的不同取值情况下，对应相关方程的实根个数情况，进而从不同视角加以设置，得到以下两个对应的变式问题.

变式1已知函数f（x）=|lnx|+ax+ a x （a>0），则函数f（x）的最小值为______；若关于x的方程ex+e－x－| lna-lnx a |－ a x =0（x>0）恰有两个不同的实根，则实数a的值是______.

答案：（1）2a；（2） 1 e .

变式2已知函数f（x）=|lnx|+ax+ a x （a>0），则函数f（x）的最小值为______；若关于x的方程ex+e－x－| lna-lnx a |－ a x =0（x>0）恰有三个不同的实根，则实数a的取值范围是______.

答案：（1）2a；（2）（0， 1 e ）.

具体以上两个变式的解析过程，可以参考原问题中的不同方法的解析过程，可以很好加以确定相应的答案，这里不多加以叙述.

4教学启示

4.1函数结构特征，最值技巧策略

涉及函数最值或取值范围问题，解决的基本技巧策略与思维方法就是抓住函数自身的结构特征，利用导数法这个最常规的“暴力”思维方法，基本无往不利；通过函数关系式的系数配凑或恒等变形后，利用均值不等式（或基本不等式等）或重要不等式（柯西不等式、权方和不等式等）思维方法，可以巧妙破解；而借助消元法或换元法特殊处理后，通过变形后的函数结构特征，利用二次函数的图象与性质、三角函数的图象与性质等思维方法，也可以合理转化.这些都是解决函数最值中比较常见的思维方法，具体到特殊的函数最值问题的求解，有时还有一些其他特殊的思维方法.

4.2“含参”等价转化，“分参”巧妙处理

涉及含参的方程问题，解决的基本策略就是“含参”等价转化与“分参”巧妙处理这两个基本思维角度，可以在“含参”情境下，通过函数、不等式知识，利用主元法、方程、导数法等思维来转化与应用；可以在“分参”条件下，转化为相关的关系式问题，利用不等式的性质、函数的基本性质、导数法等来构建与应用.