巧用平面几何知识来解反比例函数的综合问题

黄晴 贾建宁

摘要：通过研究2022年的中考题，引导学生如何利用平面几何图形性质求反比例函数图象上的点，用待定系数法求函数的解析式，让学生综合运用所学知识解决问题，提高学生推理证明、数学运算的能力，整体提升学生的数学核心素养.

关键词：平面几何；反比例函数；综合问题；变式深化

反比例函数不少问题设计都与平面几何知识息息相关，解题时如果能抓住所涉及的平面几何图形的特征，借助平面几何定义、定理及性质，有助于解决一些反比例函数的综合问题，本文以实例对此作些探讨.

1利用等腰三角形的性质

例1（2022年吉林省中考数学第12题）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），点B在y轴正半轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为______.

分析：连接BC，先根据点A的坐标可得OA=2，再由同圆半径相可等判定△ABC是等腰三角形，最后根据等腰三角形三线合一可得OC=OA=2，由此即可得点C的坐标为（2，0）.

评注：此题还可以用圆的直径在y轴的正半轴上，据圆的对称性可知，A（－2，0）关于y轴的对称点就是点C.

变式深化：其它条件不变，若弧AC与y轴负半轴交于点D，且OD=2（ 2 －1），求半径BA的长.

2利用三角形中位线的性质

例2（2022年宁夏中考数学第24题）如图2，Rt△ABO的顶点O在坐标原点，点B在x轴上，∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=2 3 ，反比例函数y= k x （x>0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）连接CD，求四边形CDBO的面积.

分析：（1）欲求反比例函数的解析式，需知点C或点D的坐标，根据已知点C为OA的中点，在Rt△OAB中，AB=OBtan30°=2，过点C作CE⊥x轴，垂足为E，则CE= 1 2 AB=1，OE= 1 2 OB= 3 ，故点C（ 3 ，1）.

（2）将xD=2 3 代入（1）中求得的解析式，求得点D〖JB（（〗2 3 ， 1 2 〖JB））〗，因为AB=2，AD= 3 2 ，所以SACD= 1 2 AD·BE= 3 3  4 ，并由S四边形CDBO=S△ABO－S△ACD可求.

评注：这是反比例函数与几何的综合题.第（1）问求出点C的坐标是关键；第（2）问利用割补法求四边形的面积.

變式深化：（1）求直线CD的解析式；（2）求Rt△OAB被直线CD分割后所成两部分的面积比.

3利用图形翻折的性质

例3（2022年内蒙古鄂尔多斯市中考数学第15题）如图3，正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，E，F分别是边AB，OA上的点，且∠ECF=45°，将△ECF沿着CF翻折，点E落在x轴上的点D处，已知反比例函数y1= k1 x 和y2= k2 x 分别经过点B，E.若S△COD=5，则k1－k2=______.

分析：根据反比例函数的几何意义，k1-k2其实是第一象限的对应两个矩形的面积之差，这样作EH⊥y轴于点H，则四边形BCHE，AEHO都为矩形，利用折叠的性质得∠BCE=∠OCD，再证明△BCE△OCD（ASA），则两三角形的面积相等，根据反比例函数系数k的几何意义得k1－k2的值.

评注：本题根据反比例函数系数k的几何意义，关键求出两个矩形的面积之差，转化为矩形BCHE的面积，为此先推证∠BCE=∠OCD，或者推证∠CEH=∠DCO，再利用全等三角形的判定与性质，利用转化的方法求解即可.清晰的思路，流畅的逻辑通路都是建立在一定的数学基本活动经验基础之上活动，形成数学的直观能力，发展了学生的核心素养.

变式深化：若点E为AB的中点，求反比例函数y1= k1 x 和y2= k2 x 的解析式.

4利用平行四边形、矩形和全等三角形判定与性质

例4（2022年安徽省中考数学第13题）如图5，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y= 1 x 的图象经过点C，y= k x （k≠0）的图象经过点B.若OC=AC，则k=______.

分析：欲求k，只需求出点B的坐标，只需求出2SRt△OBE即可.如图6，过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E.先证明四边形CDEB为矩形，得出CD=BE，再证Rt△COD≌△BAE（HL），

根据S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，再求S△OBA= 1 2 S平行四边形OCBA=1即可.

评注：本题是反比例函数与几何综合.紧紧抓住反比例函数的图象经过点C，而点C的坐标是（1，1），这是S△OCD=S△CAD= 1 2 的关键数据.又点B的坐标（xB，yB）与Rt△OBE的面积息息相关，SRt△OBE= 1 2 OE×EB= 1 2 xB·yB，即反比例函数k=xB·yB，这些逻辑推理源于对反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质的熟练地掌握.

变式深化：若把反比例函数y= 1 x 改为y1= k1 x ，其它条件不变，求k－k1=？

总之，函数试题是中考的重点内容，考查形式多样，试题往往与平面几何图形紧密联系在一起，一方面考查平面几何中有关图形的判定和性质，另一方面有考查函数的性质，双管齐下，综合性较强，对学生各方面的能力要求较高，因此重视数学基本经验的积累，数学思想方法的渗透，这样才能帮助学生提高分析问题和解决问题的能力，有力的提升学生的数学素养.

参考文献：

［1］王海青，曹广福.从《本原》谈中学平面几何课题式教学研究［J］.数学教育学报，2021，30（5）：39-46+91.

［2］陈艳.去伪存真激发学生思考让学引思培养核心素养——“反比例函数图像与性质”教学案例分析［J］.数学通报，2019，58（5）：37-39.

［3］李永杰，王申怀.新课标下平面几何变式教学几例［J］.数学通报，2011，50（1）：32-33.