“变与不变”的思想方法在小学数学中的渗透

黄国建

摘要：数学思想方法是基于具体数学内容，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法.数学思想方法从数学知识产生发展的过程抽象而成，又更具效率地指导数学的学习与研究，并促成个体思维品质的提升，对人生的成长与发展都具有重要意义.数学思想方法应及早渗透于小学生的数学学习过程中，在具体数学知识点的学习中，凝练重要的数学思想方法，化隐为显，让学生去感悟，以提升学生的数学素养.本文以“变与不变”这一思想方法为例，在比例法、奇偶分析、列方程解题等知识方法学习中，去感悟与运用这一数学思想方法，提升解题能力与思维品质.

关键词：数学思想方法；变与不变

大千世界在不断地变化发展，既有量的变化，也有质的变化.“万变不离其宗”，在纷乱多样的变化中，往往隐藏着不变的性质或规律，这是辩证法的要义.我们对未知世界的探求，就是要在纷繁多变的现实中，抽象出不变的客观规律.

哲学一般原理，可以用来指导分析数学问题.正确地找出问题中变化的量和不变的量，是分析问题的关键；尤其是能抓住不变量，往往就看透了问题的数学本质.

下面以“比例法”“奇偶分析”和“列方程解题”为例来阐述“变与不变”的数学思想在小学数学解题中的作用.

1比例法

数学中常见两个量的乘积等于第三个量的数量关系式，即a×b=c.若其中有一个量不变，则另两个量成正比或反比.比如：

（1）在行程问题中，如果行驶时间相同，则路程之比等于速度之比；如果路程相同，则速度与行驶时间成反比，即速度之比等于行驶时间的反比；如果速度不变，显然路程与时间成正比.

（2）在面积问题中，比如三角形的面积，如果高相同，三角形面积之比等于底边之比；如果底边相同，则三角形面积之比等于高之比；如果三角形面积相同，则底边与高成反比.

（3）在经济问题中，如果总价不变，购买数量与单价成反比；如果单价一定，总价跟购买数量成正比；如果购买数量相同，总价跟单价成正比.

进一步，比例法实则倍数关系，将整数倍拓展到非整数倍.所以如果容易知道某两个量的比例关系，则找其和或差，然后按比例分配，就可以解出这两个量，相当于转化为倍数问题.

例11000米赛跑，已知甲到达终点时，乙离终点还有50米；当乙到达终点时，丙离终点还剩100米.假设三个人都是匀速跑步，那么甲到达终点时，丙离终点多少米？

分析与解：设当甲到达终点时，丙离终点还剩x千米.因为三个人都是匀速，所以乙和丙的速度比是不变的.考察第一个时间点，当甲到达终点时，此时丙和乙跑步时间相同，故他俩的速度比等于路程比，为 （ 1000－x ）/（1000－50 ） .再考察第二个时间点，当乙到达终点时，此时丙和乙跑步时间还是相同的，他俩的速度之比也等于路程之比，为 （1000－100） /1000.

所以，（ 1000－x ）/（1000－50 ）= （1000－100） /1000 ，解得x=145千米.

2奇偶分析

整数按奇数和偶数划分，只有两类，且奇偶运算性质简单.所以，有些问题，虽然变化多端，数值一直在变化；但是，若从奇偶角度分析，则提供了一个抓住“不变量”的办法.

推而广之，从“余数”这个角度，也是一个抓住“不变量”的方法，能有效地解决周期问题.

例2某海岛上上生活着45条变色龙，其中用13条灰色的，15条绿色的和17条紫色的.每当两条颜色不同的变色龙相遇时，他们就一起变成了第三种颜色.能否经过一段时间，45条变色龙全部变成同一种颜色？

分析与解：用x表示灰色变色龙的条数，用y表示绿色变色龙的条数，用z表示紫色变色龙的条数.

在一次变色后，三种颜色的条数（x，y，z）会变成（x－1，y－1，z+2），或变成（x－1，y+2，z－1），或变成（x+2，y－1，z－1）.不管怎么变，我们发现，灰色和绿色变色龙的条数之差的变化只能是0、3或－3，也就是说，该差除以3的余数恒为0，这是一个重要的不变量.

在题目中，一开始灰色与绿色条数之差为13－15=－2，如果最后全部变成同一种颜色，则必有x－y≡0（mod3）.矛盾，故不可能.

3列方程解题

方程是含有未知数的等式，建立方程需要寻找等量关系，而寻找等量关系的一个重要方法就是寻找不变的量.

例3学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚3岁；当你像我这么大时，我已经39岁了.”你能知道老师今年多大吗？

分析与解：老师的话中，两人的年龄都在变化，但有一个是不变的，那就是两人的年龄差.可以根据这个不变量来建立方程.

设老师今年x岁.“当我像你这么大时，你刚3岁”说明老师和学生的年龄差可以表示为  （x－3）/ 2岁；“当你像我这么大时，我已经39岁了”说明老师和学生的年龄差可以表示为（39－x）岁.如此，建立方程 （x－3）/ 2 =39－x，求解得x=27岁.

变与不变的思想方法，是在变化中发现不变的，体现的是数学抽象素养，能在复杂多变的问题中，抓住不变的本质.在平时课堂教学中，善于以一些具体的知识点为载体，渗透数学思想方法，对于提升学生思维品质和解题能力是大有裨益的.比方在整数的认识中，无论一个整数有多大，本质上都是利用十进制位值原理，把0～9十个数字放在不同数位上，来表示不同的数值.更进一步，小数的表示也是整数十进制位值原理的扩展.在平时的教学中，适时点拨，将内隐的数学思想方法外显，让学生感悟这样的数学思想方法，学生不仅学习了知识与技能，还掌握了其中的一般思維方法.

参考文献：

［1］王永春.小学数学与数学思想方法［M］.上海：华东师范大学出版社，2014：30-33.