在“变与不变”中提升学生的思维能力

马理

在新课程背景下的小学数学教学，数学练习仅仅关注基础知识和基本技能师不够的，还要通过改变传统的练习方式，设计有利于学生观察、操作、探索的练习，关注数学思想方法和一些解决问题的策略，关注积累基本的数学活动经验。因此练习课作为数学课堂教学中主要的课型之一，教材总体安排练习课多于新授课，这也与“做数学的理念相吻合。

要提高数学教学的质量，就必须提高练习课的教学质量，提高练习设计的有效性，从而实现轻负高质。有效的练习设计具有促进理解、巩固所学知识，形成技能、发展能力的功能。通过练习，要达到三种层次学生发展：第一层次是“知识理解”与“技能形成”：第二层次是“方法获得”和“能力提高”；第三层次是“思维发展”和“思想感悟”。

[透视分析]

1.分析教材

《长方体、正方体的体积和表面积》是五下第三单元的教学内容，长、正方体的表面积这一知识的“生长点”是对表面积的认识，对长方体、正方体的特征的掌握，长、正方体的体积“生长点”是体积的意义和对体积单位的理解。 “延伸点”是圆柱或其他规则图形的表面积和体积。在已经学习了“长、正方体表面积”和“表面积练习”、“体积”和“体积练习”的基础上，进行表面积和体积的综合练习课的设计，教材中没有明确的练习安排，给教师自主设计留有较大的空间。

本节课重点是通过理解表面积、体积的内在联系形成知识结构，熟练技能，加强对长、正方体表面积体积本质的理解；探索长方体长、宽、高的变化引起表面积和体积的变化规律是难点，特别是表面积的变化规律。对于数学能力较弱的学生也只是让他经历这样的一次探索，不要求完全掌握，到六年级学习圆柱体体积和表面积时再为学生创设一次这样的探索经历，在积累数学活动中感悟数学的思考方法，感悟数学归纳与演绎、类比和推理的数学思想。

2.分析学生

学生对长、正方体表面积、体积的计算方法掌握的比较好，但对长、正方体的体积的通用公式V=SH的本质理解不够，所以遇到一些变式的练习就困难重重。五年级的学生空间想象能力的发展到了一定关键时期，学生的数学思维能力差异性也非常大，据观察，有50%以上的学生空间想象较薄弱，教师必须通过练习内容的拓展、练习方式的创新有针对性有目的的培养。

3.目标和教学策略分析

本节课的内容属于“空间与图形”范畴，“空间与图形”相关内容与“数与代数”、“统计与概率”相比，学生的差异性更大。因此，在练习设计中必须关注到不同层面的学生的学习状态，在兼顾整体目标的基础上，练习的安排关注个体和全体的关系，尽可能让所有学生都主动参与，让不同的学生在空间想象能力都有不同程度的发展。练习设计的主要策略是通过开放性的变式练习，突破学生的思维定势，在不断地对比中，感悟转化、类比的思想方法，培养学生数学思维的灵活性。

下限目标：

（1）在练习中，进一步理解长方体和正方体表面积、体积的含义，能正确、灵活地解决求表面积和体积问题。求变化后规则图形的表面积和体积（基本技能）

上限目标：

（2）通过观察、比较、归纳、概括的探索过程，感受表面积和体积的变化规律，理解表面积和体积的知识本质。（能力发展）

（3）感悟解题策略，渗透转化、类比的数学思想，发展空间想象能力。（感悟思想）

重点：理解长方体和正方体表面积、体积计算本质

难点：长方体和正方体表面积、体积的变化规律

这节练习课将目标定位从传统练习课单纯的巩固基础知识、熟练基本技能向提升数学能力、渗透数学思想方法转化，既关注知识技能，也关注能力思想，并通过数学内在魅力提升学科情感，做到目标定位多元化；制定目标分成下限目标和上限目标，对不同层次的学生学习准确定位。介于以上的思考，对长方体、正方体表面积体积的练习课设计进行了以下设计。

[课堂记录]

片断一：

1.谈话引入，沟通知识间的联系

（1）观察引入：

根据你对长方体的认识，说说下面哪张纸能 正好折成一个长方体？

学生观察后回答。预设：a、从棱上观察，b、从面上观察

如果以6×4这个面为前面的面，那么这个长方体的长、宽、高是多少？

折好后的前面、左面、上面的面积分别是多少呢？

根据学生口述，出示立体图形

2. 借助图形，沟通联系，熟练技能

（1）（根据下图）已知长方体的上面、左面、底面的面积，高是4厘米，

你还能求出什么？

学生先独立思考，尝试完成。

预设：可以求侧面积（前后左右四个面之和）、表面积、体积、长和宽

（2）教师组织反馈

依次反馈测面积、表面积、长和宽、体积

关注两种求体积的方法，强化 “体积=底面积×高”

（3）想一想：如果上面的面积18平方厘米不知道呢？还能求出表面积和体积吗？

请学生独立尝试做一做。

预设：

方法一：先求出长和宽，再求体积

方法二：先求长，再求体积

方法三：先求宽，再求体积

（4）学生独立练习后根据学生信息组织有序反馈

引导学生观察3个求体积的算式，你发现了什么？

3.小结：

求体积你能用一句话来表达吗？

现在你对V=SH 有什么新的理解？

[设计意图]

这个环节的第一层面的目标是进一步理解表面积、体积的意义，沟通知识间的联系。在教学中借助长方体展开图，引导学生主动回顾长方体长、宽、高与每个面的关系。每个面面积的计算是表面积和体积的计算起点，借助此练习既可以复习长、宽、高与每个面面积的关系，又对表面积、体积的意义的进一步理解，开放的问题也给不同层面的学生探究的空間。引导学生想象立体图形，这一过程也学生发展空间想象能力。把教学的知识整体呈现，有助于学生把握知识的结构和体系。

片断二：

1.在长、宽、高的变化中，理解长、宽、高与表面积和体积的关系

（1）从长、宽、高变化，理解长方体、正方体表面积、体积的意义。

（仍用前题中的长方体，长6cm、宽3cm、高4cm）

① 将长缩短到4厘米，想象一下这个立体图形。（先想象，再课件标出减少后的数据）

引导： 现在长方体的表面积和体积会怎样变化？

② 表面积减少了多少，体积减少了多少？

学生独立计算

表面积预设：

方法一：原来图形的表面积-现在图形的表面积

方法二：（2长+2宽）×2

体积预设：

方法一：原来图形的体积-现在图形的体积

方法二：底面积×2

组织反馈：先反馈体积，再反馈表面积。

学生思考并回答。观察课件动态演示，理解减少部分的体积和表面积。

请板演的同学说说想法？并配以课件动态演示。

引导思考：方法一都是从原有的体积（表面积）中减去现在的体积（表面积），那么方法二在思考方法上有什么共同特点？

（2）继续将宽增加1厘米，想象一下这个图形。（先想象，再课件标出延伸后的数据）表面积和体积与原来相比会怎样？

引导学生求直接求增加部分的体积：底面积×1

直接求增加的表面积：底面周长×1

2.小结：长、宽、高变化会引起长方体、正方体表面积和体积的变化。

[设计意图]

这是本节课的突破重点与难点的主要环节，通过长、宽的变化，感受长方体、正方体表面积和体积的变化，进一步理解表面积和体积的意义，在变式中引导学生探寻规律，发展学生的空间想象能力和解决问题的灵活性。

片断三

1.计算合并、分割后的长方体、正方体表面积和体积，感受表面积变、体积不变

（1）将两个长6厘米、宽3厘米、高4厘米的长方体拼合成一个大长方体。

A、拼合后的大长方体体积与原来两个小长方体体积之和相比会怎样呢？口答

B、拼合后的大长方体表面积与原来两个小长方体表面积之和相比会怎样呢？

表面积会减少多少？请你用算式表示。

C、反馈中体现三种不同的拼合方式。

引导思考：根据计算，你发现了什么？

（沿着较大面拼合，表面积减少的最大，反之则小）

（分割成两个同样大小的长方体，表面积和体积又会怎样？）

2.小结：相同的长方体分割或拼组为更大的长方体，表面积增加或减少，体积不变。

[设计意图]在此环节中，通过长方体、正方体的拼组和分割，使学生经历发现表面积的变化规律的探索过程，理解表面积和体积的知识本质。学生思维能力提高是一个长期、复杂的过程，在教学中创设疑难的问题情境，会不断地把学生的思维引向深入，形成对问题敏锐的洞察力和深刻的批判力。

[思考与改进]

这节练习课是一节综合了多个知识点的练习课，因此在设计中侧重于发展学生的数学能力。整节课紧紧围绕长6cm、宽3cm、高4cm这个长方体为学习材料，通过变换形式的练习将基础知识、技能的掌握与学生数学思维能力的发展紧紧的结合在一起，形成教学的主线，给学生的学习提供的材料具有丰富的生长性，使学生充分感受到数学思考的魅力，感受数学思维美。

1.关注练习的形式，更关注练习的本质

改变练习的形式是提高练习兴趣、发展智力的一个方法。但是教师在练习课的设计时不能只关注练习形式，散乱的练习题会让学生犹如进入了练习的“万花筒”。所以练习设计不能只注重形式，更多的应该关注练习内容的本质。在此设计中，笔者给学生提供的数学材料看似单纯，但变换出不同的练习内容，紧紧扣住对表面积体积本质的理解，主线突出，充分的发挥了学习材料的作用。

2.关注数学基础，更关注数学发展

这节课是在学生已经掌握了新知，会解决一些基本问题，初步形成了基本技能后的一节具有综合知识点的练习课，这时练习的设计应以熟练技能、提升数学能力、渗透数学思想方法为主。练习课的设计在紧扣教学目的的前提下，进行了有层次、有坡度的训练，通过具有开放性和挑战性的问题，来引导学生感悟解题策略，体会策略的价值，获得成功的体验。片断一从教师直接出示课题，请学生说说你对关于长方体、正方体的体积和表面积的理解，到从观察长方体展开图引入，借助展开图更有利于学生主动回顾知识，有意识的让学生想象折完后长方体的长、宽、高与各面的面积，更关注学生的能力培养。片断二对长方体长、宽、高延长或缩短后表面积体积的增加减少的研究，通过学生独立尝试、引导交流、动态课件演示、得出减少的体积和表面积都可以直接求得的思考方法。减少的表面积还可以将它转化为一个长方形。学生在积累数学活動经验中感悟到数学思想，不断增强应用策略解决问题的自觉性。在“变与不变”中提升学生的思维能力。