以“史”为种，实现“双减”课堂的深度学习

田立刚 卢江红

摘要：从启蒙开始，在小学数学的课堂中融入“数学史”的种子，教师引导学生面对未知的真实世界，去观察、去发现数学现象，提出数学问题，让孩子重演古人的思考、重走知识探索之路、重建理性思考之路.一切从尊重学生的个体出发，扎根于学生个性化的自我成长，让学生犯错、知错、改错，追求让学生自主寻找、自主学习、自主质疑、自主修正、自我成长.还原学习的本色，打破现实数学学习的死记多练，真正走出高分低能，将“双减”落到课堂，将素质教育落到实处.

关键词：数学史；双减；深度学习

德国数学家克莱因指出：“生物发生学的一项基本定律指出，个体的成长要经历种族成长的所有阶段，顺序相同，只是所经历的时间缩短”，在小学数学的课堂中融入数学史，播下数学史的种子，以此为契机，为萌芽，引领孩子走进历史，放眼中外，联系古今，不局限于课本，不局限于年龄的认知层次，实现内容上的深度了解.同时以数学史为线，让学生探索真实的生活数学情境，以深度问题引领深度探究，从而将一个个知識点连成线，串成网，实现过程与结果的一体化，最终达到深度学习.

1顺“史”为基，探寻知识的整体性，以一致性引领深度学习

数是什么？从哪里来，到哪里去？《数学史概论》：“数的概念的形成可能与火的使用一样古老，大约在30万年以前”，“原始人在采集狩猎等生产活动中首先注意到一只羊与许多羊，一头狼与整群狼在数量上的差异.通过一只羊与许多羊、一头狼与整群的比较，就逐渐看到一只羊、一头狼、一条鱼、一棵树……之间存在着某种共通的东西，即它们的单位性……这种为一定物群所共有的抽象性质就是数”.“0”的诞生，“10”的创造，毕达哥拉斯的“形数”……在数学史的长河里不乏有趣的故事，瑰丽的传奇，教师通过附加它们，对数学内容再加工，可以丰富教学内容，让学生感受数学思想的萌芽、发生和发展——从整数到分数、从分数到小数以及初中的有理数、无理数，通过“数学史”建立数的知识网，让学生认识计数单位以“1”为基础的一致性的累加，体会数对现实数量的抽象，形成数感和符号意识.

例如，《万以内数》的教学：

小学生对数的认知是从“1根”小棒数起，满十进一，进成“1捆”小棒；继而十个十是一百，进成“1层”即100个方块；十个一百是一千，再由“1层”小方块累加成“1个立方”即1000个方块……“1根”“1捆”“1层”“1个立方”……并以此为单位认识几个，几十，几百，几千……“1根”“1捆”“1层”“1个立方”有着本质的不同，又有着“1”上的相同.进位的发明，是一次飞跃！进位从哪里来？怎么想起？为什么满十进一？让我们走进历史，走进指头数数，石子记数，结绳记数，《数学史概论》中说：“让学生感受从这种原始的‘数觉'到抽象的‘数'的概念形成，是一个缓慢的渐进的过程，并进一步在对数的认识变得越来越明确时，人们感到有必要以某种方式来表达事物的这一属性，于是导致了记数……”继续走进印度数学，发现“10”的价值，了解阿拉伯数字的产生和衍变.数学史的发展，顺应小学生学习认知的特点，以“1”为基，逐一累加，认识数的大小，认识数位，建立位值概念，构建学生对数的核心概念十进制计数单位、数位、位值为线的知识的主脉络.学生很自然地学会四位一级，按数位读写数，从不同数中找到数本质的意义，体会数的一致性.通过“数的演变史”让学生建立数是对数量的抽象和数对计数单位多少的表达的认知，为数的加减乘除的学习打下基础，让数的认识和数运算的深入联系成一个整体.让学生建立起相关联的知识网络，使学生所学的知识从零碎、杂乱的信息，到有顺序、有联系、有脉络的知识网，让学生从这个知识网中随时随地调用有关信息，产生联想，从而引发学生持之以恒地追问和不断的深入思考，并不断壮大完善这个知识网.

2附“史”为辅，构建教学的单元性，以深度问题引领深度学习

站在数学史的高度追寻数学的本质，引领学生探索数学家发现数学成果所经历的过程，充分感受数学家在这个过程中经历的艰难险阻和火热思考；感受他们数学思想的萌芽，发生发展，在历经猜想、论证、类比、归纳甚至失败的真实的知识创造经历，虽然当中的许多事实与细节都已流逝于历史的长河，但通过附加数学史料，经过教师的教育加工变为教育数学，变为学生的数学.这种经过再生成的教育形态中也有着学生稚嫩的发现，粗浅的探索，需要进一步验证的合情推理，这种初步的自主建构也如数学家一样充满着火热的思考.这才是引领学生学数学，钻研数学，才是实现史宁中教授提倡的让学生学会“用数学的目光观察，用数学的思维思考，用数学的语言去表达”.

例如，《分数的认识》教学：

今天的孩子在测量长度时因为认知的局限，达不到整数单位时产生了认识分数的需求.同样的从数学史的角度看，古代人在生活中分东西时出现结果不是整数的情况于是渐渐产生了分数.“……随着更先进的青铜文化的崛起，分数概念与分数记号也应运而生.埃及象形文字用一种特殊的记号来表示单位分数……单位分数的广泛应用成为埃及数学一个重要而有趣的特色.”

借鉴历史，将相关的分数知识串联.首先认识分数：顺着创设生活情境——分1个东西，达不到一个整体，怎样表达“新”数？为什么这样表达？它有什么用？以问题为引领，走进数学史，走近古印度数学中的分数，走近古中国中的算筹分数.让学生在问题中追寻，在追寻中发现从“1个”到“1个整体”到“1个单位”不断完善的分数意义.分数产生了，怎样用？怎么比较？怎么计算？继续以问题探索：从莱茵德纸草书中看印度人对单位分数情有独钟，古埃及人用加倍程序和单位分数概念熟练的展开分数的四则运算……附史以引，分数的四则运算原来仍然是由一个个分数单位来进行加减乘除.这种由分数单位数建立起来的四则运算归根到底还是数数.整数与分数有什么联系？可以互相转化吗？怎样混合运用？以深度问题引领深度学习，生衍知识脉络——“从1而数”.这些不同的单位“1”建立起了小学阶段数的四则计算的根基.整数与分数，整数与小数，分数与小数，通过单位，位值和四则运算法则（加倍程序的演变）联系到一起，形成一个“数”的知识树.这种个性化的稳固的知识结构以一环套一环，一环更比一环深入的追问将零碎的知识变得有序，将杂乱的信息进行联系，形成单元脉络，让学生需要时随时调用，达到学习过程与结果融通共生.

3化“史”重构，生长主体意识，以思维上升引领深度学习

费赖登塔尔曾描述数学的表达形式：没有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子公开发表出来，一个问题被解决后，相应地发展为一种形式化技巧，结果把求解过程丢在一边，使得火热的发明变成冰冷的美丽，因此他说：教材是“教学法的颠倒”.因此，我们的数学教学必须化“结果”为“过程”，追求一个为什么——是什么——怎么样的过程.在数学教学的过程中创设合理的问题情境，让学生发现问题，探索、经历曲折的“历史”思维过程，促进深度学习.

例如，《三角形面积》的教学：

学生在幼儿园就已经熟悉三角形，一年级下册，围，拼三角形，将多边形分成三角形；四年级下册认识三角形的稳定性，组成和分类；一直到五年级上册《多边形的面积》第三课时学会计算三角形的面积.

三角形是平面几何中最基本、最重要的图形之一，从五年级上册《多边形的面积》这一单元看，计算任何多边形的面积都可以先把它们转化成三角形之后再进行.教师是否可以打破教材安排体系，先教学三角形的面积，在此基础上将简单的平行四边形，梯形，各种组合图形很自然的分成三角形进行计算.如果我们化数学史上的求土地面积为今用，让学生直接猜想三角形的面积和三角形的什么因素有关，边？角？底？还是高？让学生在钉子板上围或用同样长的小棒拼，根据其中的变化，观察，猜想，三角形面积和谁有关？进一步找到我们最容易测量的底和高的变化研究，让学生自主剪拼三角形，通过转化的策略；从长的一半平行截取和从底截一半平行截取让三角形等积变形拼成长方形重演历史的相似——著名数学家刘徽的“以盈补虚”.

三角形的面积公式有10多种，包含用底和高的关系求面积，用三边的长求面积，还有根据三角函数、向量等求面积.从数学史的记载看：“埃及人是否知道任何三角形的面积均为底乘高的一半，这一点尚不能完全确定，因为他们的三角形面积的算法总是涉及一数与另一数的一半相乘……”但海伦-秦九韶公式以古希腊数学家海伦和南宋数学家秦九韶命名，它以历史的惊人相似，科学研究的严谨和缜密，触发学生深度研究的热情，点燃学生的兴趣，生发学生的主体意识.在这一再生成的教育形态过程中学生交流与互动——从局部到整体，从纷繁到简单，从多样到一般.学生的问题很稚嫩的，发现很浅显，研究的策略很简单，探索的过程不严谨……但也如数学家一样充满着火热的思考，思维不断螺旋式上升，达到深度学习的效果.

4“史”今结合，创生新我，以理性建模引领深度学习

与希腊数学相比，中国数学的发展史着重于算法的概括，不讲究命题形式的推导.《孙子算经》下卷中著名的“物不知数”题，亦称“孙子问题”.卷下第31题是后世“鸡兔同笼”问题始祖，传到日本变成“鹤龟算”，这也是六年级下册《解决问题策略》中的练习题.让学生继续徜徉在《孙子算经》《数书九章》的中国数学史世界，让学生收集资料，用手抄报，小演讲向同学介绍“孙子问题”，介绍“中国剩余定理”，介绍“鹤龟算”.教师还可以播放赵本山的小品，让孩子看看今人与古人比智慧，用“抬脚法”算鸡兔同笼，古今结合，激发孩子去挑战，想象出方程甚至方程组的模式解决问题.借助数学史，还原数学知识产生时被压缩、被省略、被淡化的細节，还原数学厚实的历史背景，让学生感受文化的积淀，感受数学历史的滚滚前进洪流，像数学家那样积累数学活动经验，逐步揭示数学与现实世界或人类其他知识领域之间的密切联系，欣赏数学之美，了解数学文化的多元性.以史为鉴而不停留于历史，站在前人的肩膀，将学生的自我经验和古人智慧相结合，渐渐融通，帮助学生更好的构建自我，创生出一个新我！

借鉴数学史，引用数学史，演绎数学史，变数学史为现实情境，让数学问题的情境在课堂上自然发生，让学生在活动中深入探寻，在深度探寻中体验，在古今不同方法的比较中，体会数学的继承和创新，经历挫折，自我调适，学会合作，感受成功，建立自信，让学生“双减”的形势下，减负不降质，从而养成学生自觉而理性的精神与正确的价值观.