GeoGebra软件与高中数学教学融合的探索

刘健康

摘要：本文利用数学GGB软件，探究高中数学圆锥曲线的定点问题教学，通过动态图形激发学生兴趣，拓广思路，避免畏难情绪，减少复杂运算，有效提高教学质量与效率.

关键词：GGB软件；圆锥曲线；数学教学

GeoGebra（以下简称GGB）是一款集代数运算和几何畫图于一体的动态教学软件，以其动态化、过程化的图象演示，可以展现知识的形成过程，利于学生观察图象，发现问题，总结规律，充分调动学生学习的积极性.

高中数学新教材对圆锥曲线教学的要求比较高，内容丰富，综合性比较强，对学生的运算能力有一定的要求.教师在圆锥曲线的教学过程中缺乏对学生学习圆锥曲线的积极性的调动；创设的教学情境比较单一；教师在教学中容易忽视几何探索，忽视新教材中的“信息技术运用”等数学活动，教学效果不好，学生感觉圆锥曲线难学.本文以《圆锥曲线的定点问题》为例，对GeoGebra软件与高中数学教学融合进行探讨.

1教学过程

问题1：

两条直线y=kx和y=－kx分别与抛物线y2=2px（p>0）相交于不同于原点的A，B两点，k为何值时，直线AB经过抛物线的焦点？

生1：把直线y=kx与抛物线y2=2px（p>0）联立，求A点坐标，B点坐标，再求直线AB的方程.

教师引入GGB操作：（1）利用GGB做出抛物线y2=2px（p>0）和两条直线y=kx和y=－kx的图象.（2）形成k和p两个滑动条，确定交点A，B两点.（3）用直线工具做出直线AB，明确焦点.（4）分别拖动k和p两个滑动条.

师：请问大家，通过GGB的演示，能发现那些情况？

生2：通过观察，A，B两点横坐标相等.所以只要计算点A的横坐标.

生3：要让直线AB经过抛物线的焦点，由对称性，只要点A的横坐标等于焦点的横坐标.

生4：k=±2时直线AB经过抛物线的焦点，k>2或k<－2，直线AB与x轴的交点在抛物线焦点与原点之间，－2

生5：改变p时，不影响上述结论.

师：大家观察很仔细，总结很到位.

点评：用信息技术把知识的难点和重点向学生呈现出来，使学生有更多机会和时间去完成各种探索和实践活动，有利于培养学生直观想象和逻辑推理能力.

问题2：动点P（x0，y0）在直线2x－y+6=0上，由点P引抛物线y2=2x的两条切线，切点分别为M，N，证明直线MN恒过定点.

师生活动：学生思考问题，教师实时提问：如何证明直线过定点？

学生回答：两个切点情况不清楚，容易失去解题方向，还怕运算复杂.

教师引入GGB操作：如图1，（1）做出抛物线y2=2x，直线2x－y+6=0;

（2）在直线取点P，利用GGB切线工具做出两条切线，切点分别为M，N;

（3）作直线MN，拉动点P，新的位置作直线M′N′，设两次直线的交点为C;

（4）再拉动点P，注意观察，多次变动，直线始终经过点C.

经上述实验证明：直线MN恒过定点.

解：因为2x0－y0+6=0，由切点弦方程得直线MN方程：y0y=x+x0，消去y0得（2y－1）x0+6y－x=0，由于x0的任意性，有2y－1=0，∴定点为（3， 1/ 2 ）.

教师：通过此题，除了学习切点弦方程，我们还可以推出一般结论：

推论：动点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，由点P引抛物线y2=2px的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN恒过定点（ C A ，－ pB A ）.

学生6：此结论可以推广到椭圆和双曲线吗？

师：当然可以，大家可以课后探索证明.

点评：学习最怕的是失去兴趣，解析几何历来就是学生不愿意多接触的，利用GGB可以激发学生思维，体验到定点的存在，从而产生对切点弦方程学习的迫切性，从而提高学生的运算能力.

问题3：（2022年高考全国乙卷数学（理）第20题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0，－2），B（ 3 /2 ，－1）两点.

（1）求E的方程；

（2）设过点P（1，－2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MT〖TX→〗=TH〖TX→〗.证明：直线HN过定点.

第（1）问椭圆E的方程为： y2 4 + x2 3 =1.

师生活动：学生阅读题意，动手画图，反馈此图形比较复杂，相关点多，解题困难.

教师引入GGB操作：

如图2：（1）用GGB画出椭圆，描出点P，A，B三点，

（2）利用直线工具，过点P作直线交椭圆于M，N两点，

（3）过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，连接MT并延长两倍到H，

（4）拖到N点的位置，观察动态直线.

教师：点P作的动态直线有哪些情形？

生7：由图3，有4种情形：（1）直线一般情形，（2）直线斜率为0，（3）直线斜率不存在，（4）直线过原点.

教师：通过这几种情形，可以看出直线HN过哪个定点？生齐答：过点A.

教师：非常好！先把斜率不存在的情形说明验证好，可以得分.对一般情形我们如何处理？

生8：把直线和椭圆联立方程组，利用韦达定理，表示点T和点H的坐标，最后表示直线HN的方程，计算很繁琐.

教师：既然我们已经知道直线恒过点A，是否可以想办法减少运算，优化解答过程？

生9：不用求直线HN的方程，只要证明AN和AH的斜率相等就好.

教师：很好！如果大家细心的话，会发现PA，PB都是椭圆的切线，继续探索，可得下面推论：

推论：过椭圆Ax2+By2=1外一点P（x0，y0）得任一直线与椭圆的两个交点为C，D，与椭圆切点弦的交点为Q，则 1 |PC| + 1 |PD| = 2 |PQ| 成立，反之亦然.

生10：估計把椭圆改成双曲线和抛物线，也会成立，圆锥曲线真的有很多神奇.

教师：我们还可以猜想直线TN是否定点.

点评：利用GGB作出的动态课件就可以直观生动地将动态直线展现在课堂上，方便学生的学习，这是传统课堂做不到的，就是可以利用GGB将三大圆锥曲线统一起来.有利于提高课堂教学质量和效率.

2教学反思

课堂教学中，并不是把题目解出来，求得运算结果就大功告成，对于这类圆锥曲线过定点问题，要通过以下提问去帮助学生总结：

（1）如何刻画直线过定点？

（2）如何通过数学GGB作图，观察图象的对称性，特殊位置如直线的水平位置，垂直位置，斜率等于0或斜率不存在.采用先猜后证的策略？

（3）如何引进参数，研究变化的量与参数没关系，如何从特殊到一般，探索出定点，再证明？

现阶段部分学生对圆锥曲线的学习存在偏差，过于强调圆锥曲线几何问题代数化，没有充分进行几何研究，而且学生的运算能力有欠缺，造成学习圆锥曲线积极性不高.课堂中圆锥曲线的教学主要停留在教师根据题意分析思路，例题示范，然后变式训练，其实这种做法没有从根本上解决问题，学生兴趣不大，计算浅尝辄止，最后一事无成.很多教辅资料也主要是进行圆锥曲线的代数解法归纳，提出齐次化思想，设而不求或者定比分点思想等等，这些都没有抓住圆锥曲线的本质！圆锥曲线首先就是个几何图象，没有把所有的几何特征摸清楚，问题解决就肯定困难.因此我们教学的重点应该摆在几何的直观展示，运用平面几何知识，结合信息技术，创设问题情境，调动学生积极性，培养学生直观想象能力，才能有助于坐标法的开展.

但是大部分数学教师GGB软件功底不高，使用熟练度不好，而且用GGB做课件很耗时，平时教学任务比较重，关键用GGB辅助教学不能做到恰到好处，导致使用GGB教学不能展开.随着时代的进步，伴随着人教版新教材的多处对GGB的需求，会有越来越多的教师提高技术水平，对圆锥曲线的教学研究会越来越多，教学手段会越来越丰富.

基金项目：广州市教育科学规划课题（教育科研协作基地项目）《信息技术与学科教学深度融合的实践研究》（课题编号：202213858）.