新高考卷“概率与统计”试题分析及其教学启示

刘春芳

［摘 要］“概率与统计”模块蕴含的思想方法比较丰富，题型分布也比较广，认真研究其高考真题对教师的教学优化和学生的思维拓展有较大的帮助。文章基于《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》，结合2020—2022年新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷的6份试卷，从试题特点、典型题等方面对“概率与统计”试题进行研究，并给出一些教学启示。

［关键词］新高考卷；概率与统计；试题特点；教学启示

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）08-0035-03

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中指出：“概率的研究对象是随机现象，为人们从不确定性的角度认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法。统计的研究对象是数据，核心是数据分析。概率为统计的发展提供理论基础。”在新高考背景下，数学一线教师不断地探索、深入研究概率与统计的教学。但一些教师对这个主题模块不是很重视，认为学生能够看得懂、会做题即可。实际上，该主题模块蕴含的思想方法比较丰富，题型分布也比较广，认真研究其高考真题对教师的教学优化和学生的思维拓展有较大的帮助。本文以2020 — 2022年新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷的“概率与统计”试题为例，探讨如下问题：2020 — 2022年新高考卷“概率与统计”试题具有什么样的特点，考查的知识点和蕴含的思想有哪些？2020 — 2022年新高考卷“概率与统计”试题分析会给一线教师带来哪些教学启示？

一、“概率与统计”试题特点与典型题分析

（一）总体特点

1.从考查总分来看，总体比较稳定

总分基本稳定在17分或22分。如2021年新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷单选题1题，多选题1题，解答题1题，共计22分；2022年新高考Ⅰ卷选择题1题，解答题1题，共计17分；2022年新高考Ⅱ卷填空题1题，解答题1题，共计17分。

2.从考查知识来看，分布比较均匀

在近年的新高考卷中概率和统计均有涉及，重要内容年年考，次要内容轮流考。“概率”考查古典概型、相互独立事件、离散型随机变量的分布列、数学期望、条件概率、概率乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式、正态分布。“统计”考查平均数、中位数、标准差、极差、[2×2]列联表、独立性检验等。

3.从考查核心素养来看， 重点比较明显

2020 — 2022年新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷共6份试卷中“概率与统计”试题考查的核心素养比较明显，主要是数学运算、逻辑推理、数据分析。

（二）考查特点及典型题

2020—2022年新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷的试题关注生活实际，旨在检测学生对高中阶段应知、应会知识的掌握情况；重视“四基”，考查基础知识、基本技能、基本活动经验、基本思想；注重渗透核心素养。

1.注重对基础知识、基本概念的考查

对2020 — 2022年新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷的选择题与填空题进行分析，发现考查平均数、中位数、标准差、极差、古典概型、积事件、相互独立事件等概率与统计的常见概念的试题，虽然属于中低档题，但从得分率来看，依然有不少学生对基本概念不清晰，进而失分。具体典型题如下：

［题1］（2021年新高考Ⅰ卷第8题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球。甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）。

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

命题意图：本题考查的知识点是相互独立事件，要求考生能够列举出所有事件和发生事件的个数，属中档题。

［题2］（2021年新高考Ⅰ卷第9题）有一组样本数据[x1]，[x2]，[…]，[xn]，由这组数据得到新样本数据[y1]，[y2]，[…]，[yn]，其中[yi=xi+c]（[i=1]，2，[…]，[n]），[c]为非零常数，则（）。

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样本数据的样本极差相同

命题意图：本题考查命题真假的判断，以及平均数、中位数、标准差、极差等基础知识，主要考查学生的“四基”及数学运算、数据分析等素养。

分析2020 — 2022年新高考卷“概率与统计”试题的客观题可发现，试题考查基础知识、基本概念，属于容易题，但个别题属于易错题，比如2021年新高考Ⅰ卷第8题考查考生对相互独立事件的概念和公式的理解程度。

2.题型综合，考查学生的核心素养

“概率与统计”解答题设置了应用题，与现实生活有紧密的聯系，具有鲜明的时代特征。试题在通性通法的基础上进行了综合和创新，不仅计算烦琐，而且阅读量大，内容又比较抽象，对学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等素养都有不同程度的考查。

［题3］（2022年新高考Ⅰ卷第20题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

[ 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 ]

（1）能否有[99%]的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

（2）从该地的人群中任选一人，[A]表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”， [B]表示事件“选到的人患有该疾病”，[P（B|A）P（B|A）]与[P（B|A）P（B|A）]的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为[R]。

（ⅰ）證明：[R=P（B|A）P（A|B）·P（A|B）P（A|B）]；

（ⅱ）利用该调查数据，给出[P（A|B）]、[P（A|B）]的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出[R]的估计值。

分析2020 — 2022年新高考卷“概率与统计”试题的主观题可发现，每年都是考查一道大题，共计12分。其中，有两次是考查分类变量的独立性检验，一次是考查离散型随机变量的分布列和数学期望。2020 — 2022年新高考卷不回避原题、陈题，许多题来自教材的例题、练习题及复习参考题。

二、由“概率与统计”试题分析得到的教学启示

新高考背景下，教师除研究新课标、新教材外，还要关注《中国高考评价体系》，关注高考真题。通过研究2020 — 2022年新高卷“概率与统计”试题，笔者得到了一些教学启示。

（一）“见微知著”，重视高考卷“概率与统计”试题的解答

1.读懂条件，提升阅读能力

“概率与统计”试题尤其是解答题，不仅文字篇幅长，而且经常结合图表和公式一起考查，对学生的阅读审题能力有较高的要求。在平时的教学中，教师应教会学生对文字语言、符号语言和图形语言进行转化；读懂试题中的条件和要求；整合题目中的各种信息；掌握泛读、复读、精读等阅读的技巧。教师不仅要关注教材，还要加强学生的阅读训练，比如让学生阅读教材中的“阅读与思考”栏目，提高学生的阅读速度和阅读能力。

2.写清过程，注意规范答题

教师应重视引导学生规范书写表达，注意表达的逻辑性和严谨性。比如，在解答有关[2×2]列联表和独立性检验的题目时要使用零假设（原假设），若无零假设，则推断缺少证据，而没有假设则会导致没有检验，因此在解答独立性检验类题目时表达应力求准确，在表述检验结果时要确保符合新教材中的规定。

3.及时检查，注重培养纠错意识

在运用随机变量的分布列计算概率、成对数据分类变量计算卡方时容易出错，教师要引导学生在平时训练中每一步都要检查是否出错，否则等整道题做完再检查，往往很难查出错误。

（二）“借助外力”，运用信息技术资源辅助教学

数学教师要按照新课标的要求，结合信息技术直观方便、素材丰富的优点，有效运用信息技术资源辅助教学，发展学生的数学学科核心素养。比如，在“概率与统计”教学中，可运用Excel软件计算数据的样本均值、样本方差，画散点图或利用R软件来拟合线性回归模型，让学生更好地体会概率的意义和统计的思想。

（三）“目标多元”，充分体现学科育人

1.重视“四基”，回归教材的“原点”

在高一、高二的新课教学中，部分教师会忽略概率与统计知识的教学。这是因为对于必修模块，教师认为学生在小学、初中有过接触，相对于其他知识，得分比较高，且题型比较固定；对选择性必修模块，教师认为学生通过自主阅读便可掌握相关知识，因此只注重习题讲解，不关注概念和基本公式的来龙去脉。教师要加强学生对基本概念的理解和基本性质的掌握，重视方法的总结归纳。高考具有“源于教材，高于教材”的特点，因此关注教材，回归教材，理解教材，讲清概念，以教材的习题为出发点，充分挖掘题根，回到原点进行改编，都是高三复习备考不能缺少的环节。

2.发展“四能”，追求数学的“本质”

新教材之所以比旧教材要厚实很多，其中一个原因就是新教材的探究栏目加大了篇幅。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》强调提高学生的“四能”，那么教师必须反思：在概率与统计教学中，如何真正落实“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”？数学的“本质”是什么？教师必须要提升自身的研究能力，用“高观点”去理解概率与统计知识，进而把握高中数学知识的本质。

比如，在“[2×2]列联表及独立性检验”的教学中，可实施“四环”教学：第一环节，案导先学。让学生提前自主预习，思考：为什么要进行零假设？第二环节，合作研学。让学生小组讨论研究或师生合作探究：如何进行假设检验？第三环节，展示互学。让学生分析、解决问题：卡方大于临界值，小概率事件发生，假设不成立，所以两变量有关系，那么假设犯错的概率如何体现？第四环节，巩固拓学。让学生自主解决问题：借助网络资料，是否能解决问题？

发展学生的“四能”不是仅靠刷题就可以实现的，而是要通过对问题的深度思考与解决。

3.渗透素养，突出数学的“思想”

随机思想、统计推断思想等一直贯穿“概率与统计”的教学。概率中有频率估计概率的思想，而统计推断思想分为两个方面，即根据样本估计总体，由数据预测未来。数学学科核心素养以数据分析和逻辑推理为主，部分题目还突出了数学运算、数学抽象、数学建模等。

综上所述，新高考卷“概率与统计”试题背景丰富、特征明显、分类清晰、形式多样。在高三数学复习中，教师首先要透过现象看本质，重视对学生基础知识和基本思想的巩固和培养；其次要聚焦数学学科核心素养，培养学生的关键能力和必备品格；再次要引导学生独立思考、自主学习、合作交流，把握数学知识的本质；最后要充分借助信息技术资源有效辅助教学。

［   参   考   文   献   ］

［1］  中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版2020年修订［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］  赵轩，任子朝.高考概率统计试题考查目标的沿革与实现［J］.数学通报，2019（10）：39-43.

［3］  章建跃.核心素养立意的高中数学课程教材教法研究：下册［M］.上海：华东师范大学出版社，2021.

［4］  郑良.2020年高考概率与统计试题的解答及教学建议［J］.中小学数学（高中版），2020（10）：48-52.

［5］  邓小青，沈威.2021年全国高考数学“概率与统计”试题研究［J］.中学数学教学参考，2022（13）：67-70.

［6］  李亚琼，徐文彬.高考课标卷概率统计试题的特点及其教学启示：基于2011—2020年全国课标卷的分析［J］.数学教育学报，2021（6）：16-19.

［7］  杨正朝.剖析新高考命题 明确教学复习方向：以2021年新高考全国卷“概率与统计”为例［J］.理科考试研究，2022（7）：6-8.

［8］  蒋凤君，金克勤.指向核心素养的高考概率与统计试题新变化：2022年高考“概率与统计”专题解题分析［J］.中国数学教育，2022（Z4）：86-96.

（责任编辑 黄春香）