基于智慧课堂的高中数学概念探究课探索

刘奕签　张静元

探究的本质在于真实的体验，数学探究是一个多向互动、动态生成的过程，课堂上要给学生足够的空间，不设限，不为了既定结果而探究.从形式探究，走向真实探究，这样的探究活动才有生命力.教师应基于深度学习理论，让学生围绕具有挑战性的学习主题，全身心积极参与到探究中，体验成功、获得发展，让思维的广度与深度得到体现.同时，教师还要利用多种信息技术手段，让学生经历自主探究过程，理解知识、掌握方法.下面笔者就以“指数函数的概念和性质”的课堂实录为例谈谈如何在智慧课堂中上好高中数学概念探究课.

一、温故知新

师：上课之前考同学们一个问题：一个荷塘第一天开一朵荷花，第二天开两朵，第三天开四朵……30天开满整个荷塘，请问第几天的时候开满一半的荷塘？

生1：15天.

生2：29天.

师：没错，是29天，前28天可能荷花都只占了荷塘的一个小角落，而最后几天就能开满整个荷塘，这就是“荷花效应”.我们常说“行百里者半九十”也是这个道理，这就是指数增长的魅力.所以在学习中，如果我们坚持了28天还不见起色，不要着急，再多坚持那么几天，厚积薄发，也许在不经意间，一切就喷薄而出了.

设计意图：虽然本节课是指数函数的第二课时，研究图象和性质，但开头的一抹亮色既让学生体会到了指数增长的速度，激起他们对其性质的研究热情，又从数学角度解释了日常现象和熟语，给学生以思想层面的启示，将人文底蕴素养融入课前引入.

师：在上一节课中，我们学习了两个数学模型，一个是游客随着时间增长的模型，一个是碳-14的衰减模型.在实际问题中，我们抽象出了指数函数的模型，并且发现指数函数可以刻画这类增和减的模型.哪位同学来说一说什么是指数函数？

生3：形如y=ax的函数.

师：这两个字母有什么特征呢？

生3：a＞1且a≠1，x为自变量，x∈R.

师：谢谢你精准的描述.认识了新朋友，我们想了解它，可以从哪些方面入手？

生（全体）：单调性、奇偶性、周期性.

师：从解析式来看呢？还有——

生（全体）：定义域、值域.

师：很好，不能忘了研究函数定义域.从解析式来看，好像单调性和奇偶性不明显，类比于幂函数，我们可以怎样来研究一个新函数？

生（全体）：画图.

活动一：小组合作，自主选取一个数作为底数，在坐标纸上画出一个指数函数的图象，可以使用计算器.

作图时思考几个问题：①如何画图？②如何取点？③取哪些底数更容易研究？

学生开始动手操作，教师巡视并将几个有代表性的图象用平板拍照，投影在大屏幕上.呈现的问题主要有：自变量只取了正的部分，指数函数凹凸性错误，值域出现负数部分，过定点错误……

师：如何画图？

生（全体）：描点作圖法.

师：没错，画图之前内心要有一个大致的图象.上一节课我们接触过两个概念，一个是增长量，一个是——

生（全体）：增长率.

师：当增长量为常数时，图象为——

当增长率为常数时，图象为——

生（全体）：线性的，非线性的.

师：知识掌握得很好，我们可以用光滑的曲线勾勒出大致图象.如何取点，反映了定义域的取值.在初中阶段我们学过了整数指数幂，到了高中，我们从有理数指数幂拓展到了实数指数幂，所以指数函数的定义域为R，那么画图的时候就不能只取y轴的右侧部分.

设计意图：课堂教学中，在引导学生回忆一类函数的研究方法时，教师先构建了整体思路，再展开具体研究，并以函数的观点联系前后知识.教学中让学生自由选择底数作图是一个亮点.很多教师都按照一般思路，让学生填表、作图，与自选底数相比就差一些探究的味道了.当然，这也存在一定的问题，比如如何检验学生画得是否正确？是否应在这里呈现一种标准作图？这些也是教师在备课时该思考的问题.认识一个函数一定需要通过画图吗？很多时候直接由解析式就可以得到性质，再由性质反观图象.所以面对什么时候才需要画图，如何画图等问题，不是为了研究而研究，教师应把自己放在陌生情境中才可以设身处地地和学生一同感受整个认知过程.不划定研究范围，没有边界感的科学探索，才是真实的探究，才会促成深度学习，而不是课堂上精彩的表演和热闹的活动.

二、性质探究

活动二：在刚才描点作图的基础上，教师引导学生打开自己平板上的geogebra画图软件，作出同一个函数图象，对比验证自己的图象.观察函数图象，你有什么发现？

（教师将平板的权限转给一位同学，这个同学边操控，边讲解）

生4：定义域为R，值域为（0，+∞）.

师：能不能写成〔0，+∞）？为什么？

生4：不能.（此时学生出现卡顿，同时他将图象放大，看是否会和x轴相交）

师：请看这位同学的演示，他从图象的角度给大家展示了随着x的减小，y值逐渐变小.你们看，随着x的减小，图象逐渐和x轴接近但永不相交.那么x轴就是这个函数的——

生（全体）：（没有答出来）

师：初中学过渐近线吗？比如反比例函数的渐近线就是x，y轴；又如第二章学习的双勾函数y=x+1/x的渐近线就是y=x和y轴.所以x轴是这个函数的渐近线.从图象上看，好像确实没有相交.那么，我们从数字的角度来试试怎么样？

（教师打开excel表格，下拉表格）

师：随着x减小，y值也越来越小，但始终都大于0，能不能从指数运算的角度来解释一下？

生5：指数为正，结果为正；指数为负，结果也是正数.

师：对，结果是原来的倒数.

生5：所以值域为（0，+∞）.

设计意图：教师放手给学生用不同方式去探究，再放手给学生分享，而学生平板的屏幕共享操作把课堂又推向另一个高点.利用信息技术辅助教学，让学生成了学习的主人，从学生展示图象的变化，到数据的变化，再到运算角度的解释，让指数的值域在学生脑海中留下深刻印象.计算工具的使用，提升了运算速度，拓展了底数的选择范围；作图软件的使用，解决了学生选择底数不同带来的图象不同的订正问题，使学生经历完整的探索过程.通过观察对比图象，师生归纳出这类函数的共同特征，再用数学语言来表达性质，融合切换自然，“形”“数”的结合与课堂中思维的引领，让学生思考逐渐深入，课堂教学也越来越有深度，落实逻辑推理和直观想象素养.

师：小组还有什么发现？

生6：有增减性.

师：猜想一下，底数在什么范围为增，什么范围为减？

生6：当a＞1时函数为增，当0＜a＜1时函数为减.

师：重大发现！我们用geogebra来验证一下.（geogebra演示动态变化过程，教师在黑板上作图规范手绘图象）

设计意图：指数函数单调性能从图象看出，但教学时是否要进行严格证明？如果有学生质疑，教师要说明证明要用到“大学”知识；如果没有学生质疑，教学中则可以忽略.

师：我们继续来探索，这些函数图象还有哪些共同特征？

生7：都过一个公共点（0，1）.

师：为什么？

生7：a0=1（a≠0）.

师：（教师板书，继续触碰思维）还有什么发现？

生7：底数越大，增得越快.

师：确实，画一条直线x=1与函数图象相交，这时y值也就是底数值了，用这个方法可以去比较底数的大小.我们来试试这个练习.

生（全体）：（迅速口答）

师：已经完全掌握了，我们还能发现——

生（全体）：对称性.

师：谁和谁对称？（学生答一个函数，教师就点出一个函数）

生（全体）：y=4^x和y=（1/4）^x，y=3x和y=（1/3）^x，y=2x和y=（1/2）^x.

师：哦，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.虽然眼见为实了，但还不够有说服力，怎么办？

生（全体）：y=（1/2）^x可以写成y=2^-x，它和y=2^x对称.

師：有点意思了.假如我们在y=2^x上任取一点（x，y），那么在y=（1/2）^x上就有一点（-x，y），这两个点关于y轴对称.

再上升一些，y=f（x）和y=f（-x）也是关于y轴对称.

教师让学生举出一个函数y=f（x），通过画图，验证了函数y=f（x）与y=f（-x）的图象关于y轴对称.

设计意图：借助指数函数的研究，将y=2^x与y=2^-x图象的对称性上升到研究任意函数y=f（x）与y=f（-x）的对称性，并通过任意两个点（x，y）与（-x，y）的对称性来研究函数的对称性，抓住了问题的核心.

三、习题巩固

最后，教师通过课本习题及拓展练习：比较当2.9m=2.1n时，m和n的大小，完成了整节课的教学.学生完成度较高.课后教师作了小结，时间掌握较好.

设计意图：教师先从最基本的指数函数单调性比较幂的大小，进一步到已知幂的大小比较指数的大小，充分利用指数函数的单调性，最后升华到当2.9m=2.1n，去比较m和n的大小，再次让学生感受指数函数图象的性质特征.由学生的探索入手，层层深入思考，从点坐标的对称上升到一般函数的对称.整节课性质的发现都是在学生的推动下进行的真实探究.只有这样才会对心灵有真实的触碰.所谓教育即一朵云推动另一朵云，一颗心唤醒另一颗心.如果课时足够，教师是否应该让学生探究一下如何证明指数函数的增减性，但已有的作差法和作商法知识不足以解决问题.学生甚至会进入一个循环证明的悖论之中！当学生的尝试引起认知冲突的时候，又是一次新的碰撞.这时，教师把问题留给学生，给课堂以留白，把解决问题的期限移至未来，让学生在学习中一路寻找答案.

本节课对内容的处理有很多突破和创新，课堂开放程度和灵活性较大，我们也感受到了多媒体的助力.我们能看到，整节课在探究过程中，教师的角色其实起到串联和升华的作用，能对学生发现的问题和性质进行追问，适当点拨和小结，启发学生层层探究，深入探索.

指数函数图象和性质的探究是学生在教师的指导下有目的、有计划、系统性地进行知识建构.学生类比幂函数的研究方式，在较短时间内可以探究出一系列结果.但历史中定理的发现往往是一个漫长的过程，需要一代又一代人的不懈努力，课堂中的探究片段也只能是科学探索道路上的一个微小缩影.我们要允许学生犯错，允许不同声音的产生，遇到问题一同研究，一同探索，这也是学科核心素养的要求.

责任编辑 邱艳