基于运算素养视角下的高中数学解题教学实践探索

徐亮

摘 要：运算素养是数学核心素养的重要组成部分，是学生学习数学应该具备的关键能力。培养学生运算素养旨在明细运算对象的基础上，引导学生依据算法、算理解决数学问题。在新课标指导下，培养学生运算素养已经成为广大数学教师的重要教学任务。文章立足于高中数学教学，分析了学生运算素养的特点以及影响因素，研究了培养学生运算素养的高中数学解题教学策略，力争依托高中数学解题教学，提升学生数学运算素养，提高数学教学质量，为促进学生数学核心素养发展奠定基础。

关键词：高中；数学教学；运算素养；解题

中图分类号：G6３          文献标识码：A          文章编号：1673-9132（2023）22-0057-03

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2023.22.019

运算素养是学生运算能力、观察能力、逻辑思维能力、表述能力等多种能力的综合反映，是数学核心素养的重要内容。历年高考试题都有大部分题目考查了学生运算素养，这些考题不单单考查了学生的计算能力，还考查了学生对数学知识、数学技能、数学思维的综合应用，集中反映了学生综合运用数学知识解决实际问题的能力。可以说，运算素养也是衡量学生数学思维能力的重要指标。但是很多学生在解题过程中出现运算出错、运算受阻等问题，其根本原因在于学生运算素养发展不足。基于此，教师必须加强学生运算素养的培养，以期提高学生的解题效率。

一、运算素养及其特点分析

（一）运算素养内涵解读

《数学课程标准（2011版）》指出：运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径来解决问题。学生应具备的运算素养主要指学生对数字的计算、估值、近似计算，对数学式子组合变形与分解，对几何图形和几何量的计算能力，具体包括学生分析运算条件、选择运算公式、探究运算方向、确定运算程序的思维能力。这些能力是与学生记忆理解、判断推理能力密不可分的，是一种综合能力。结合高中阶段数学教学内容以及高中数学对学生的基本要求来看，运算素养的构成包括如下几方面：

一是学生对数学题目信息的挖掘能力。运算的前提是分析运算对象，题目中的已知条件、结论隐含的信息都是运算对象，是寻求和设计更合理、更简便的运算途径的必要条件。学生之所以可以快速准确地运算出结果，主要源于学生能够深入挖掘题目中的各项重要信息。

二是学生对数学运算方法的选择能力。运算方法直接决定运算量的大小，选择更优方法是提高解题效率的关键。学优生之所以比学困生运算能力强，关键就在于其选择运算方法的能力较强，能够从众多运算方法中选择最合适、最简便、最高效的运算方法，从而减少运算量，确保运算结果的正确性。

三是学生应用数学方法和思想的能力。高中数学教学过程中学生会学习到多种数学方法和数学思想，比如待定系数法、消元法、换元法、配方法等基本运算方法，函数与方程、分类讨论、化归、转化、数形结合等数学思想，学生能否在具体的问题情境中灵活应用这些方法和思想是衡量学生运算能力的重要标准。

四是学生估算能力。估算，顾名思义估摸着计算，但不是毫无逻辑的“乱算”，而是依据问题情境中的元素进行合理推算，是提高运算效率的重要能力保障。

（二）数学运算素养特点分析

运算素养具有层次性。结合数学课程标准对数学运算概念的界定来看，高中数学运算素养可以分为如下三个层次：（1）基本要求——运算的正确性，这是对学生运算能力的最基本要求，也是运算的根本要求，没有正确性的运算毫无存在价值。（2）较高要求——运算的合理性、简捷性、快速性，这是建立在学生掌握算理、算法的基础上的，是提高学生运算效率、解题能力的关键。（3）高标准要求——运算的技巧性和灵活性，这需要学生掌握一定的数学方法和数学思想，并能够从多种方法和数学思想中灵活选择合适的方法和思想，从而达到提高解题效率的目的。

运算素养具有较强的综合性。运算素养不单单指学生计算的能力，更是学生记忆、观察、理解、联想、表述等多种能力的综合。运算素养不可能离开数学知识孤立存在，也不能离开其他能力而孤立发展，运算能力始终和其他数学思维能力相互渗透、相互支持。

因此，教师要有意识地引导学生掌握运算相关知识，引导学生正确分析运算对象的特点、性质，合理选择运算规律、运算法则，灵活应用逻辑方法判断推理。学生只有具备这一系列运算技能，才会逐步实现运算素养的提升。

二、影响学生运算素养发展的关键因素探讨

高中数学对学生数学运算、逻辑推理、数学建模、直观想象、数据分析等能力有较高要求，这幾方面能力也是高考重点考查内容。运算素养作为这几大素养的基础，既影响着学生数学能力的发展，也影响学生学习效率的提高。当下不少学生的运算能力比较差，无法取得理想的数学成绩。导致学生运算能力较差的因素有很多，关键因素包括以下几个方面：一是数学教材“淡化”了运算，教材没有着重突出运算内容，教师忽略了学生运算能力的培养；二是学生基础不扎实，算理、算法理解偏差，机械照搬数学公式，无法举一反三、灵活应用；三是学生缺乏结果意识，盲目推演，缺乏合理选择算法的意识和能力；四是学生运算习惯较差，审题—分析—选择—运算整个过程存在粗心大意现象。

三、基于运算素养的高中数学解题教学策略探究

（一）依托课堂解题教学，培养运算素养

引导学生解决问题是数学课堂教学的关键一环，也是提高学生综合能力的重要措施。在日常教学中，教师都会设计几个例题，通过例题引导学生深入探究，充分应用课堂所学知识和方法解决问题，以达到理论联系实际以及巩固提升的教学目的。鉴于此，培养学生的数学运算素养首要任务就是立足于课堂典型例题，指导学生挖掘问题情境中的价值信息，灵活选择运算方法，综合应用数学思想和方法，以培养学生的数学运算素养。以“函数与方程”相关内容为例，教师可设计教学程序（如图1所示），增设典型例题指导，给学生讲解含参问题的求解方法。教学片段呈现如下：

例1：函数f（x）＝x2-2，x≤02x-6+1nx，x＞0的零点个数是____。

设计意图：借助典型例题，引导学生分析问题和归纳求解函数零点的方法。

训练1：如图2所示，函数f（x）＝2xlogx－1的零点个数为（  ）。A.1    B.2    C.3    D.4

设计问题：训练一可以运用哪种方法解决？

设计意图：以一题带出多题，引导学生灵活选择恰当的方法解题。

师生活动：归纳总结判断函数零点个数的方法：解方程法、数形结合法、零点存在性定理法。

这一教学过程主要以典型例题展开，通过典型例题分析引导学生掌握本节课重点知识，同时也对学生进行思维能力训练，提高学生的运算素养。

（二）开展专题训练，发展运算能力

在教学中，我们常常发现很多学生数学基础知识扎实，也掌握了必要的解题方法和数学公式，但面对很多常规题型时思路闭塞，解题错误，运算效率不高。究其根本原因在于很多学生没有真正做到活学活用，思维窄化制约了解题效率，也影响了学生运算能力的发展。针对此，我建议广大数学教师加强专题训练，尤其是增加“习题变式”和“一题多解”专题训练，通过习题变式处理拓宽学生的思维空间，促使学生对所学知识进行内化，达到触类旁通、举一反三的学习效果；一题多解则侧重于学生发散思维培养，引导学生多角度分析问题，鼓励学生就同一问题探寻不同的解题方法，开阔学生解题思路，并从众多解题方法中总结归纳最适合自己、最简单高效的方法，以此提高运算效率。同样以“函数与方程”相关内容为例，在指导学生学习了这部分内容后，教师可增加“一题多解”和“一题多变”专题训练。

例2：函数f（x）＝x3－3x2＋a，假设f（x）存在唯一的零点，求a的取值范围。

方法一：导数法+数形结合法（画出图像）

方法二：令f（x）=0得a=- x3＋3x2，将原函数设计成两个函数：g（x） =- x3＋3x2， h（x） =a， f（x）存在唯一的零点，然后在同一个直角坐标系中作出两个函数的图像，即可得出a的取值范围（-∞，0）∪（4，+∞）。

例3：函数f（x）＝ax3－3x2＋1，假设f（x）存在唯一的零点，求a的取值范围。

此题主要设计了分类讨论思想和数形结合思想，需要启发学生作图、分类讨论a＝0，a≠0，a>0，a<0等情况，是培养学生数学思维的经典习题。而在指导学生解决这一习题后，为进一步培养学生运算素养，可增設如下变式训练。

变式训练一：函数f（x）＝ax3－3x2＋1，假设f（x）存在两个零点，则a的值是________。

变式训练二：将例3中的条件“f（x）存在唯一的零点”改为“f（x）存在三个零点”，其他条件不变，求a的取值范围。

通过一题多解和一题多变专题训练，学生能够掌握利用函数有零点求参数值的常用方法：别离参数法、数形结合法。适当开展此类专题训练，不仅可以活泛学生思维，拓宽学生思考问题的思路，同时也能起到巩固提升、拓展应用的教学目的，促进学生运算素养的提升。

（三）培养计算习惯，提高运算效率

数学运算是一个枯燥的过程，不仅需要学生具备扎实的运算知识、较强的运算技能、灵活的运算思维，更需要学生具备良好的运算习惯。从近几年高考题型来看，关于数学运算的难度逐渐加大，这对学生的运算习惯要求更高。鉴于此，数学教师在日常教学中要注重学生运算习惯的培养，提高学生的运算能力。一是规范学生解题过程。在日常教学过程中，要严格要求学生按照规范的解题过程进行运算，避免格式不规范、解答过程缺乏逻辑等现象。二是培养学生检验运算结果的习惯。结束运算后，教师要让学生回顾一遍运算过程，检验运算结果，发现问题并及时解决问题。三是培养学生善用两个“本”的习惯。“本”指草稿本，高中数学涉及的运算类题目运算量还是比较大的，大部分题通过口算是无法直接解决的，所以草稿本是必须的。学生需要做到草稿本规范、整洁、有序，方便自我检查，从而提高运算效率。“本”又指错题本，引导学生养成整理错题的习惯尤为重要。在错题本上做好错因分析、正确解题过程整理、考点分析、错题归纳、定期翻阅，既可帮助学生有效规避同类问题再犯现象，也能帮助学生巩固复习，提高学生的运算能力。

（四）注重测验后的反思，形成较强的运算能力

数学运算是一个复杂的思维活动过程，尤其是高中数学运算，大部分高中数学题都不可能通过三两步就得出结果。著名数学家、教育家波利亚有一句名言“教学生解题是意志的教育”。换言之，数学运算需要学生具备良好的解题意识，教师要对学生进行解题心理训练和指导，帮助学生在牢固掌握数学基础知识和数学技能的同时形成过硬的心理素质、顽强的意志品质，进一步培养学生克服困难的勇气和信心，这是帮助学生提高运算能力的重要措施。因此，在每一次考试或者测试后，教师都应该引导学生正确看待结果，加强算理讲解和算法比对分析，促使学生自主反思总结，启发学生多走一步、多想一想这道题的运算结果是否合理、算理的应用是否合理、运算过程是否有遗漏或多余、运算过程还能否进一步优化等，促使学生在反思中内省、在总结中进步，进而拥有积极面对数学问题的自信，做到正确运算。

四、结语

一丝不苟、严谨求实是学好数学非常重要的两个品质，而这两个品质都可以通过计算训练得来。数学教师应该重视学生运算素养的培养，引导学生正确、合理、有效计算，不断提升学生的运算素养，促使学生的解题能力获得全面发展。

参考文献：

［1］ 孙涛涛.基于运算素养视角下的高中数学解题教学策略研究——以某一圆锥曲线综合问题为例［J］.数学教学通讯，2022（15）.

［2］ 沈亮.培养解题意识，提升数学解题能力［J］.中学数学，2020（9）.

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［5］ 林伟.活用整体思想，优化解题过程［J］.数学教学通讯，2004（s6）．