巧设数学变式 凸显思维进阶

江苏省宜兴市丁蜀高级中学 (214221) 吴湘芸

高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向,启发学生思考,引导学生把握数学内容的本质.精心设计例题及变式,由表及里、由浅入深、由易到难,循序渐进.例题与习题是教材的重要组成部分,要准确把握习题的容量、难度.提供具有不同层次要求的习题,关注知识的发生过程,展示学生的思维过程,沟通知识内在联系,促进知识迁移,形成知识网络,帮助学生掌握知识,提高课堂效率,锻炼学生思维.

一、变换条件,培养思维灵活性

题目看似不同,实则本质相同.把握知识类型,分析水平层次.可以更改条件的不同表述,转换问题呈现形式,也可变换条件与结论,寻求不同之处.启发学生比较异同点,复习各类知识点,挖掘深层含义,抓住问题实质,掌握每种题型的相关解法.

例1 (1)若关于x的不等式4x2+ax+4>0的解集是R,求实数a的取值范围;

(2)对任意的实数x,若不等式4x2+ax+4≥0恒成立,求实数a的取值范围;

(3)若函数y=4x2+ax+4的图像都在x轴的上方,求实数a的取值范围;

(4)若关于x的不等式ax2+4x+4>0的解集是φ,求实数a的取值范围.

设计说明：二次函数有关的恒成立问题,也是二次函数对应的一元二次不等式恒成立的问题.如果二次项系数中含有参数,不要忘记对参数进行分类讨论.解题中注意数形结合思想的合理运用.强化条件中字母的适用范围,培养严谨思维.启发引导学生分析异同点,能够及时抓住问题的本质,培养思维的灵活性.

例2 (1)对∀x∈R,若关于x的不等式mx2-mx+m-6<0恒成立,求实数m的取值范围.

(2)对∀m∈[-2,2],不等式mx2-mx+m-6<0恒成立,求实数x的取值范围.

设计说明：第一问根据m=0与m≠0两种情况分类讨论,结合两次函数图象及性质求解;第二问将y=mx2-mx+m-6看成以m为自变量的函数,研究新函数在给定区间的端点处的函数值符号即可.本题在解决不等式恒成立问题时渗透函数思想,根据变量合理构造函数.不等式中变换主元,函数发生改变,既呼应例1中的恒成立问题,又体现了转化与化归思想.

二、设置阶梯,培养思维深刻性

变换问题的思考角度,由浅入深、由易到难,层层铺垫,在条件的难度进阶中总结题型方法以及分析思路,帮助学生,感悟数学思想,积累思维经验,逐步提高解题能力.

例3 (1)求函数f(x)=x2+2x+2的最小值.

(2)求函数f(x)=x2+2x+2(x>-2)最小值.

(3)求函数f(x)=x2+2x+2(x≥a)的最值.

(4)若函数f(x)=x2-2ax+2在[-1,1]上的最小值为-1,求实数a的值.

设计说明：第一、二小问中将二次函数配方画图,属于基础题,学生求解并不困难.第三问由定量改为变量,需要分类讨论,考查定轴动区间,难度进阶.第四问已知最值,求参数范围,考查动轴定区间.问题不断转换,从初中的二次函数求最值进阶为高中角度的分类求参数,让学生自己真正理解为何分类、如何分类.例题涵盖高中二次函数求最值的各类解法,通过层层设计让学生注意到解题方法上的差异.

三、由点及面,培养思维发散性

一题多变,由一道题目复习多个知识点,寻找解题规律,将知识融会贯通.引导学生思维由浅显引向纵深,获得更高层次的认识.在变式的层层转化下发现知识的共同性,解决一类问题从而解决多种问题,激发学生的学习热情.

例4 如图1所示,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆O上的点,Q是PA的中点,G为ΔAOC的重心,AB是圆O的直径,且AB=2AC=2.

(1)求证:QG∥平面PBC;

(2)求点G到平面PAC的距离．

变式1 求点A到平面PAC的距离．

变式2 求点G到平面PBC的距离.

变式3 取AC中点M,求MQ到平面PAC的距离.

变式4求平面MQO到平面PAC的距离.

设计说明：本题考查线面平行的判定、平面与平面平行的判定与性质、点到平面距离的计算.第一问由线线平行推出线面平行.变式1利用“G为ΔAOC的重心”这一条件,发现距离的关系转变,是第二小问的深化,可以直接作出距离,也可用等积法进行转换.变式2就可用等体积法求解距离.变式3利用MQ∥平面PAC,发现线面之间的距离其实就是点到面的距离.同样,变式4中,若能发现平面MQO∥平面PAC,那么就能将面面之间的距离也转化为点面之间的距离了.通过不断分解,持续探究,逐步递进就再追溯本源,最后引导思维从发散走向收敛,促进学生主动获取知识,对复习的知识有全面而深刻的认识.

四、判别对错,培养思维严谨性

古人云:“疑为思之始,学之端.”在教学中鼓励学生提出质疑,引导启发学生独立思考,找出解法中的错误,并剖析原因,改错后给出正解,通过判断对错找出缺失,纠正错误思维,养成科学思考习惯的同时,让学生在辨析中加深对知识的理解,向数学思维的更深处漫溯.

设计说明：例5中考查根据函数在区间内的零点个数求解参数的取值范围.当零点不满足所在区间左右端点值异号时,无法用零点存在性定理完成.方法一,首先要对字母a是否为0进行讨论,当a不为0时,容易遗漏端点值同号的情况;方法二,将参量变量分离,x=0时单独讨论,x≠0时转化为y=a与新函数在区间上只有一个交点.

五、自选条件,培养思维开阔性

特定设计的问题(非常规问题、开放性问题、结构不良问题),问题的条件或目标不确定,需要探究.要尝试引导学生展示数学理解力,从不同角度思考条件之间的关系,体会各种方法的适用特点.对结论的有效性进行预估,满足学生自主探索的欲望,拓展学生的数学视野.

条件①,选用正弦定理及两角和的正弦公式化简得到角A的大小;也可利用射影定理bcosA+acosB=c,从而求出角A.

条件②,选用余弦定理得到角A的大小;

本题的三个条件分别考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式,穿插向量及三角函数求解取值范围,但三个条件得到的结论相同,都是为了求出角A的大小.

六、自主编题,培养思维创造性

自主出题,打破常规,触碰知识内核,建构知识的内在结构.在编题过程中凸显逻辑思维,体现创造性、敏捷性、多项性.题目千变万化,要让学生真正理解知识,才能运用自如.平时可让学生根据自己的能力水平自己设计不同类型、不同层次的练习,激活创新思维.

(1)求椭圆的方程;

(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H,O为坐标原点,若BF⊥HF,且∠MOA≥∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.

本题涉及向量数量积的坐标运算以及三角形中大角对大边的运用,体现了“整体运算、数形结合”的思想方法,考察运算能力.

选择题目时要关注情境和问题的创设,关注数学内容主线之间的关联以及六个数学核心素养之间的协调.设置题目时要对知识点进行深度分析,对学生可能想到的问题充分预设,利用题目的改变促进学生的深度参与,逐渐培育学生的高阶思维,以促进学生可持续发展和终身学习为价值旨归.