关于双极点模糊秩函数的注记

摘    要：文章指出了双极点模糊拟阵秩函数定义存在的问题。通过举例深入分析该定义是错误的，并给出了错误的原因，最后给出了双极点模糊拟阵秩函数的正确定义。

关键词：秩函数；双极点模糊拟阵；双极点模糊秩函数

中图分类号：O157.1         文献标志码：A         文章编号：1009-5128（2023）05-0082-05

收稿日期：2023-03-22

基金项目：陕西省自然科学基础研究计划项目：拟阵的模糊化与模糊拟阵的优化算法研究（2014JM1026）

作者简介：李尧龙，男，陕西渭南人，渭南师范学院数学与统计学院教授，理学博士，主要从事模糊拟阵理论研究。

0    引言

拟阵理论自产生后便得到快速发展。由于有很好的应用前景，拟阵理论在许多学科领域被广泛应用［1–2］。随着计算机科学、组合数学、信息科学的实际研究推动，拟阵理论的研究也拓广到无限拟阵、偏序集拟阵等［3–5］。由于模糊数学的快速发展，拟阵理论也被推广到模糊集上，并产生了模糊拟阵［6］。与拟阵理论的研究类似，拟阵理论中的独立集、基、极小圈也被推广到模糊拟阵中。拟阵的秩函数、对偶、积与和、贪心算法等也在模糊拟阵中得到推广与应用［6–11］。

由于实际应用的需求，双极点模糊集理论拓广了模糊理论的取值范围。双极点模糊集理论产生后，由于其应用前景广阔，使得双极点模糊集理论在模糊图论及其应用方面取得了丰富的成果。双极点模糊集理论在双极点模糊图、正则双极点模糊图、[m]-极点模糊超图、[m]-极点模糊超图的横贯等方面取得了一系列结论，双极点模糊集理论有广阔的应用前景［12–15］。2018年，双极点模糊集理论被推广到拟阵理论中，得到了双极点模糊拟阵［12］。双极点模糊拟阵在图论、组合数学、决策系统等研究领域得到了广泛应用，使得模糊拟阵理论得到进一步发展。

秩函数是拟阵理论的基本概念之一，它可以揭示拟阵理论的许多基本性质并对拟阵理论的研究起到支撑应用［1–2］。在拟阵理论推广到双极点模糊集中，双极点模糊秩函数可以用来刻画双极点模糊拟阵并得到一系列很重要的性质。本文指出了文献［12］中双极点模糊拟阵秩函数定义存在的问题并进行了深入分析，指出了存在问题的根本原因， 并举例说明了双极点模糊拟阵秩函数的应用，为进一步研究双极点模糊拟阵的结构进行了一定的尝试。

3    结语

在拟阵理论中，拟阵的秩函数与独立集、基集、极小圈等一样可以刻画拟阵的性质，是研究拟阵理论的重要工具之一。本文指出了文献［12］中双极点模糊拟阵秩函数定义存在的问题，并通过例子分析指出了存在问题的原因，得到了双极点模糊拟阵秩函数的正确定义，也是对双极点模糊拟阵研究有益的补充。

参考文献：

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【責任编辑    牛怀岗】

A Note on Bipolar Fuzzy Rank Functions of Bipolar Fuzzy Matroids

LI Yaolong

（School of Mathematics and Statistics， Weinan Normal University， Weinan 714099， China）

Abstract： The problems in the definition of bipolar fuzzy rank function of bipolar fuzzy matroid are pointed out. Its definition is proved wrong and the reason is analyzed. Finally， the correct definition of the bipolar fuzzy rank function of the bipolar fuzzy matroid is given.

Key words：rank function； bipolar fuzzy matroid； bipolar fuzzy rank function