巧用多元表征落实单元教学

胡凌云

“小数加法和减法”是第二学段“数与代数”领域的重要内容。为了引导学生将已有的整数加减法知识迁移到小数加减法的学习中，激发学生的探究兴趣，促进深度学习，教师巧用多元表征，建构单元整体知识链，形成小数加减运算的结构化教学路径。

开启课：多元表征，建构小数加减法模型

“趣画小数”开启课要解决的主要问题是：通过多元表征，沟通整数加减法与小数加减法的联系，体现加减运算的一致性。为此，教师设计了“依图说数”“依图画数”“依图写式”等数学活动，引导学生借助多元表征进行类比推理，直观理解小数加减法和整数加减法在算理上的联系，明确加减法计算的基本原理，感悟数的运算的一致性。

例如，“依图写式”的两个学习素材如下。

这两个素材用不同的图示分别表征整数加法和小数加法，引导学生明确整数加减法中相同数位相加减的算法可以迁移到小数加减法的计算中。这样设计，有利于学生直观发现整数加法与小数加法的一致性，为学生深入探究小数加减运算打下基础。

探究课：多元表征，理解小数加减法算理

学习小数加减法之前，每名学生都有独特的相关生活经验和数学认知基础，有的学生发现测量物体长度的结果不是整米数，有的学生知道超市里商品的价格不都是整元数，有的学生能够根据旧知推断出简单的小数加减法的计算结果。探究课的目的是让学生从丰富的现实情景中逐步抽象出小数加减运算的本质。实践证明，在教学中引入计數器、小棒、数位顺序表等计数工具，能起到重要作用。

教师引导学生在多元表征中关注整数、小数计算的共性特征，有助于学生从感性认知算法过渡到理性领悟算理。例如，研究“一位小数减两位小数”时，教师引导学生自主探究并分享“7.5-2.45”的算法。学生可能有两种说法。一是利用小数的意义计算并说理，即7.5是由7个一、5个十分之一组成的，2.45是由2个一、4个十分之一、5个百分之一组成的，先从7.5的5个十分之一中拿出1个十分之一，将其变成10个百分之一，再去减2.45的5个百分之一，就得到5个百分之一；7.5的十分位剩下的4个十分之一减去2.45的十分位上的4个十分之一，剩0个十分之一；7.5个位上的7个一减去2.45个位上的2个一，得到5个一。二是利用数位顺序表计算并说理，即先将“7.5－2.45”变成“7.50－2.45”，再把其当作整数进行计算，即“750-245=505”，然后在原个位上的数字后面添上小数点，得到结果“5.05”。

从整数加减法的相同数位对齐到小数加减法的小数点对齐，学生要充分理解其算理的真实含义，否则很可能将整数加减法的计算法则错误地迁移为“末位对齐”。探究课上，教师借助数形结合、多元表征，唤醒学生已有的知识和经验，让学生发现小数点对齐就是相同数位对齐，充分理解了“数位”“位值”“十进制”等核心概念，顺利完成了新旧知识的链接。

总结课：多元表征，深化小数加减法关联

真实而完整的学习往往是学生基于原有的知识和经验主动理解、建构意义的过程，是学生认知结构不断拓展并自我完善的过程。对单元内容的整理与复习是完整构建知识体系的重要一环。总结课上，教师设计了数学游戏“移一移”，利用多元表征，培养学生的结构性思维。

课堂上，教师引导：“我们用一个方块代表一个数，这样两个方块就代表一个两位数，三个方块就代表一个三位数。如何将它们列竖式进行加减计算呢？谁来移一移？”学生上讲台移动方块，呈现如下图示（个位对齐）。

接着，教师在两位数的加数前面加一个方块，使之形成一个三位数（如下图），问学生是否可以直接计算。学生认为可以，因为个位仍然是对齐的。

然后，教师通过在一个加数中加上小数点、在两个加数中加上小数点以及增加其中一个加数的数位等（如下图），引导学生在不同情况下移动方块，体会不管数位和小数点位置如何变化，想列竖式计算，只要把小数点对齐即可。笔者按照问题的难度逐一提问，学生逐一上讲台移动方块，让小数点对齐。

最后，教师追问：“小数点对齐意味着什么？”学生回答：“小数点对齐，相同数位就对齐了。”教师继续问：“刚才的整数加减计算中，我们也是把个位对齐，也就是把相同数位对齐。为什么我们要把相同数位对齐呢？”学生立即回答：“只有相同数位上的数才能直接相加减。”笔者总结：“相同数位上的数拥有相同的计数单位，无论是整数加减法还是小数加减法，都是相同计数单位的个数相加减。”

开放性游戏中，教师利用有层次的问题串一步步引导学生边思考边移动方块的位置，使学生在调整过程中明确移动方块位置的依据，明晰整数加减法和小数加减法算理的一致性。图示表征高度概括了整数、小数竖式计算的过程，使总结课的教学循序渐进，实现了整个单元知识点的螺旋式上升。

拓展课：多元表征，助推小数加减法知识生长

如何基于学生立场，让学习从课堂到课外、从掌握知识到培养能力呢？教师设计了一节“环游小数世界”拓展课来落实上述目标。“环游小数世界”是一个综合实践活动，旨在引导学生经历材料阅读、交流展示、总结评价的学习过程，使每名小组成员主动参与知识梳理，感受小数与生活的密切联系，挖掘知识的内涵，深入理解小数加减运算的算理。

课堂上，教师让学生利用各小组汇报的有关小数的知识，挑战“小数的未知世界”。有的学生提出想尝试挑战小数乘除法，教师就引导他们试算“0.1×0.2”；有的学生想把小数乘法转化成整数乘法计算，教师就引导他们举例子试算。试算中，学生发现可以将0.1和0.2都扩大10倍，使0.1转化成1，使0.2转化成2，如此，1×2=2，积扩大了100倍，将这个积“2”缩小到原来的百分之一，就得到“0.1×0.2”的结果“0.02”。也有学生尝试将乘数转化成分数计算，如0.1=[110]，0.2=[210]，虽然学生不会计算[110]×[210]，但这是一种解决问题的途径。教师给予肯定后，向学生说明：学习分数乘法后，我们就可以这样解决问题了。

探究活动中，学生自觉运用多元表征，让新知识不断生长。通过广泛的互动交流，学生积累了数学活动经验，发展了单元整体观念，并获得了“可以用学习整数、小数加减法的方法去探索分数加减法的运算”“可以用小数加减法的探究方式去学习小数乘除法”等启示。

（作者单位：黄石市武黄路小学）

责任编辑 刘佳