以问引思感悟数据

杨兴芳

统计量的教学重点要从数据的计算转向数据统计意义的理解。教学中，如何引领学生经历数据整理、分析、表达的过程，利用样本数据进行推断，感悟平均数等统计量的统计意义？如何引导学生利用基本统计量解决实际问题，发展应用意识，形成数据意识？本期，我们讨论如何借助统计量及统计活动的教学，培养学生的数据意识。

“平均数”是“统计与概率”领域的重要内容，教学重点要从平均数的计算转向平均数意义的理解，以及运用平均数的知识解决问题，体会平均数所蕴含的统计思想，形成初步的数据意识。要发展学生的数据意识，就要让学生与数据对话，感悟数据的魅力，而好的问题犹如一把钥匙，可以打开学生思维的闸门，把学生的思维引向深处。笔者以《平均数》的教学为例，浅析如何依托问题引导学生探究、思考和应用数据，发展数据意识。

一、以问引探，感知数据

问题是学生探究的起点，不仅可以激发学生探究的欲望，还可以帮助学生明确探究的目标，增强对数据的感知。

课始，教师出示环保小队收集的瓶子个数的象形统计图（如下图），引导学生思考“怎样才能使每人收集的瓶子个数一样多”的问题，完成“在学习单上画一画、移一移”的学习任务。

学生在问题的驱动下，借助已经学习的“平均分”的知识和象形统计图的启发，想出了不同的方法：有的学生画一画，有的学生移一移，还有的学生算一算。其中，一名学生交流：“我先从小红收集的14个瓶子中移1个给小兰，再从小明收集的15个瓶子中移2个给小亮，这样他们每人收集的瓶子个数就都是13个了。”教师适时引导：“把多的补给少的是‘移多补少’的方法。”另一名学生交流：“图中，小亮收集了11个瓶子，是最少的。我以小亮收集的11个瓶子为标准画一条竖线，这样看，小红多出来3个，小兰多出来1个，小明多出来4个，一共多出来‘3+1+4=8’个。由于‘8÷4=2’个，所以每人又可以平均分到2个。此时，每人收集的瓶子个数一样多，即‘11+2=13’个。”教师肯定了该学生的回答并小结：“你以最少的作为标准，把一共多出来的8个平均分给4个人，每人分得2个，再加上相同的11个，就得到每人收集了13个。你真会想办法！在他的启发下，同学们还有不同的方法吗？”不少学生发现：先把4人收集的瓶子个数加起来得到瓶子总数，再用总数除以4，就得到每人收集13个。基于此，教师及时抛出问题：“比较一下，两种方法有什么相同的地方？”经过引导，学生在对比中发现两种方法的共通之处——先合起来，再平均分。这样教学，“先总后分”的方法水到渠成。

这个环节，在核心问题“怎样才能使他们收集的瓶子个数一样多？”的引导下，学生各抒己见，不仅感悟到平均数是怎么来的，而且明晰了“移多补少”“先总后分”两种常见的求平均数的方法，初步感知了平均数的意义。

二、以问引思，对话数据

“知道平均数可以刻画一组数据的集中趋势，知道平均数的统计意义；知道平均数是介于‘最大数’与‘最小数’之间的数，能描述平均数的意义”是数学课程标准对“平均数”的学业要求。教学中，教师如何帮助学生深入理解平均数的代表性、趋中性、敏感性呢？

在学生通过移一移、画一画、算一算等方法得出環保小队收集的瓶子个数的平均数是13之后，教师追问：“13是环保小队每人收集的瓶子个数吗？”学生在数据对比中发现，13并不是环保小队每名成员收集的瓶子的实际个数，他们收集的瓶子个数有的比13多，有的比13少，13表示他们平均每人收集了13个瓶子，也就是他们4人收集瓶子的平均数，可以反映环保小队收集瓶子个数的整体水平。至此，学生已经理解了平均数的代表性。

紧接着，教师抛出新问题：“如果你也加入环保小队，猜想并确定你可能收集的瓶子个数，算一算你们5人收集瓶子的平均数是多少。”学生大胆猜想，尝试计算。交流中，有的学生提出自己收集的瓶子个数比13多，这样会抬高平均数；有的学生提出自己收集的瓶子个数比13少，这样会拉低平均数；还有的学生提出自己刚好收集了13个瓶子，计算出的平均数仍然是13。在此过程中，教师通过追问，引导学生剖析平均数抬高、拉低、不变的原因，并及时呈现相应数据的条形统计图及平均数所在线，使平均数的意义和特点跃然纸上，帮助学生直观感知平均数在最大数和最小数之间，体会平均数是一组数据集中趋势的表达。这样教学，学生深入理解了平均数的意义，体验到平均数的神奇——平均数很敏感，数据的加入会引起平均数的变化，但无论如何变化，平均数总是在最大数和最小数之间，它就像孙悟空一样，无论怎么跳，也跳不出如来佛的手掌心。

最后，针对“刚好收集了13个瓶子，得出的平均数仍然是13”的情况，教师追问“两个13表示的意思一样吗”，引导学生在具体情境中辨析两个13的含义。学生依据实例交流，明晰了第一个13是同学收集瓶子的真实个数，第二个13是环保小队5人收集瓶子的平均数，反映了环保小队收集瓶子个数的整体水平。理解了这一点，学生对平均数的认识更加全面和立体了。

三、以问引用，感叹数据

数据是公正的，但有时会掩盖真相。如何帮助学生解读数据信息、感悟数据的魅力呢？练习环节，教师播放“三百星”的视频，并激情讲述“50年放飞300星，不仅创造了中国航天史上众多第一，也见证了中国航天从无到有、从弱到强，从航天大国迈向航天强国的光辉历程。请同学们算一算平均每年放飞多少颗星？”学生计算得出平均每年放飞6颗后，教师呈现如下文字材料及探究任务：

1970年4月24日，中国航天科技集团五院研制的第一颗航天器——东方红一号卫星，作为我国第一颗人造地球卫星，迈出了我国走向太空时代的第一步。第一颗人造卫星、第一艘飞船、第一颗导航卫星、第一个月球探测器、第一个空间实验室、第一艘货运飞船……细数“300星”，放飞第一个“百星”用了41年，放飞第二个“百星”用了6年，而放飞第三个“百星”，只用了3年。

请同学们先读一读，再圈出相关的数学信息，算一算“每个放飞‘百星’阶段，平均每年发射多少颗？”

学生计算后惊喜地发现：第一个“百星”阶段，平均每年发射“100÷41≈2”颗；第二个“百星”阶段，平均每年发射“100÷6≈17”颗；第三个“百星”阶段，平均每年发射“100÷3≈33”颗。教师抛出问题“观察上述4个平均数，你有什么想说的”，引导学生再次观察、比较、分享。“我觉得中国的航天事业开始时发展得慢，后来发展得非常快，特别是近3年平均每年约发射33颗，真是奇迹！”“我觉得平均数有时也会骗人，如果不分三个阶段计算平均数，只依据“平均每年放飞6颗”，我们是感受不到我国航天事业的飞速发展的。”“平均数真神奇，看来我们不仅要读懂数据的表面信息，更要读懂数据背后的信息。”学生独特的感受，表明他们不仅直观地感知到数据的变化趋势与程度，体会到平均数的统计意义，还感受到我国航天事业的飞速发展，体会到数据的力量及数据分类的价值。

（作者单位：襄阳市保康县教学研究室）

责任编辑  刘佳