数学核心素养测评之内容领域分析

胡典顺 张美钰

胡典顺

华中师范大学数学与统计学学院教授、博士研究生导师，华中师范大学数学教育教研室主任，湖北省中学数学教学指导委员会副主任委员；《数学教育学报》《数学通讯》编委，鄂教版高中数学教材（2019年版）副主编，中国国际文化交流基金会第三届“明德教师奖”获得者；曾以访问学者的身份，由国家留学基金委公派访问美国特拉华大学；在《课程·教材·教法》《中国教育学刊》《数学教育学报》《教育科学研究》等期刊上发表论文270余篇，出版《基于数学意义的数学教学改革研究》《整合技术的学科教学知识：从教师专业素养到教师教学实践》《中学生数学素养测评的模型建构与实证研究》等专著，主持多项全国教育科学规划项目和教育部人文社会科学研究规划基金项目。

数学核心素养测评试题主要围绕内容领域、情境领域、过程领域、核心素养领域四个维度设计。内容领域是数学核心素养测评不可或缺的组成部分，作为试题命制的知识来源、核心素养水平体现的重要载体和测评分析的有效方面，在核心素养测评框架中发挥基础作用。

一、内容领域简述

数学核心素养测评的开展是为了掌握一个地区学生的素养特征及差异分布情况，以此作为教育改革和教育决策的依据。测评试题所依托的内容要在测评对象已经学习的知识范围内，要是考查学生素养表现的良好知识载体，要具有纵向可比性。这些内容虽然只是学科体系中的一部分，但基于这部分内容的问题提出与解决是学生数学能力表现的重点。

笔者基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》对数学课程内容的划分，确定测评的内容领域分量。鉴于综合与实践领域内容的测评较难依托本次测评的形式实现，笔者将测评的数学内容划分为数与代数、图形与几何、统计与概率三个领域。这样划分既保证了测评试题覆盖学生数学学习的重要领域，又避免了可能出现的因过分关注微观知识点而造成的测评路径偏差。

为真实、准确地测评学生的数学核心素养水平，我们需要根据测评对象所在学段的教学内容要求和学业要求设计试题内容，从重点知识出发编制试题，结合问题情境考查学生对单个或多个知识点的运用。根据每道题所考查的最重要的知识点，将题目划入三个内容领域中的一个，控制各个领域题目数量的占比，可以为我们分析学生在不同内容领域分量上的表现提供方便。笔者以一道试题为例做具体说明。

案例一：火龙果

火龙果又名玉龙果、红龙果、吉祥果等，营养丰富，香甜多汁，食疗价值高，是百姓家中常见的一种水果。水果店李大伯带着2000元钱去批发市场买火龙果，买了25箱，还剩150元。回到店铺，他打算以每箱85元的价格售卖这批火龙果。

问题1  每箱火龙果的批发价是多少元？（请写出计算过程）

问题2  如果李大伯能卖出所有火龙果，请列式计算他将获得的利润（不考虑其他成本）。

问题3  李大伯在以每箱85元的价格卖出14箱火龙果之后，火龙果出现了滞销，为了将火龙果全部卖出，李大伯决定降价促销。本次火龙果买卖中，在降价卖完剩余的火龙果后不虧损的情况下，剩余的每箱火龙果最低可以降价到多少元（不考虑其他成本）？请列式计算。

该案例考查实际情境中的常见数量关系问题。学生需要掌握乘法模型，知道“总价＝单价×数量”，理解“等量的等量相等”的事实，并能运用四则运算解决问题。这道题体现了第二学段关于“数量关系”的核心内容，应该划入数与代数内容领域。

二、测评分析过程

数学核心素养的直接表现是学生在数学情境中解决问题的能力，反映到测评中就是试题的得分情况。内容领域的测评结果分析，应根据测评目的及想要了解的学生实际情况，展开相应的统计分析，如在描述性分析中获得学生的基本表现情况，在相关分析中探究各领域分量成绩之间的影响关系，在差异性分析中关注有效指标的作用，从而得到测评结论，提出有效建议。

1.区域对比评价

在“WJ市义务教育核心素养监测”项目中，为了对比各区（县）学生的表现，笔者对收集到的3544份有效数据进行了描述性统计，计算各测评区（县）学生在数与代数、图形与几何、统计与概率领域上的成绩均值及得分率。这样既可以纵向对比同一区（县）学生在不同内容领域分量上的优势与不足，又可以横向比较不同区（县）学生在同一内容领域分量上呈现出的差异。为方便操作，笔者用01～07表示参评的7个区（县），用08表示全市，统计得出内容领域题型分布及得分情况表。受篇幅所限，本文仅列出数与代数和图形与几何领域的结果，如表1所示。

观察表格中的数据可知，各区（县）学生在图形与几何领域的得分率均高于数与代数领域的得分率，说明学生在图形与几何领域的知识理解和运用上表现更好。在这两个领域，区（县）2（即编码为02的区或县，下同）和区（县）7的学生得分率排名均为前两名，区（县）3的学生得分率排名均为最后一名，说明不同区域的学生在知识内容的掌握上存在显著差距，且成绩水平相对稳定。

2.具体表现分析

为进一步了解学生在内容领域的表现情况，笔者从宏观与微观两个层面对数据进行频数分析、集中趋势分析和离散程度分析。

在宏观层面，由于各内容领域分量中题目的原始分值并不相同，笔者将学生在各领域的成绩都加权成100分（试题测评的总分是100分，后续精熟度水平的等级划分也以100分为基准），并计算加权后各领域成绩的最小值、最大值、均值、标准差等描述统计量（可根据需要选择），分析学生成绩的集中趋势与离散程度，以比较不同分量之间的成绩差异。

在微观层面，聚焦不同学习水平学生的具体分布情况，基于内容领域分量上的精熟度水平划分，笔者进行了频数统计。首先，统计第5百分位和第95百分位的学生成绩，将这两个成绩间的分数平均分为1～6六个等级，分别对应1～6级精熟度水平，而0分以上、第5百分位成绩以下的分数，则对应0级精熟度水平，由此得到内容领域的等级分数区间；其次，根据确定的不同等级分数区间，进行频数统计，并计算百分比和累计百分比，得到等级分布情况。

笔者以本项目中图形与几何领域为例，说明等级分布的计算过程。用SPSS26.0统计软件得出图形与几何领域第5百分位的学生成绩为43.8，第95百分位的学生成绩为100，用“（100－43.8）÷6”计算等级间隔，保留一位小数得“9.4”，故0级精熟度水平分数区间为0～43.8，1级至6级精熟度水平分数区间分别为43.9～53.3、53.4～62.8、62.9～72.3、72.4～81.8、81.9～91.3、91.4～100。根据得到的精熟度水平等级，统计各区（县）学生成绩在每个区间上的频数并计算百分比，得到图形与几何领域等级分布表（表略）。

为了更直观地观察学生成绩的分布，比较学生之间精熟度水平的差异，我们可以用可视化方式呈現数据，如绘制各区（县）图形与几何领域等级分布百分比条形图（如下图）等。

该图呈现了在图形与几何领域，不同区域学生在成绩分布上的差异性，为改进教学提供了直观参考。其中，区（县）2中处于5级、6级水平的学生人数最多，占比之和超过70%，高于全市平均水平，表明该区域大多数学生对图形与几何领域的内容掌握得较好。而区（县）1、区（县）3、区（县）4中处于5级、6级水平的学生人数较少，低于全市平均水平，且0级、1级的学生占比较高，说明这些区域的学生理解和运用该领域内容的能力有待提高。

3.成绩相关分析

研究学生在数与代数、图形与几何、统计与概率三个内容领域分量上的成绩是否相互影响、产生了什么影响及影响程度如何，可以为教师设计和改进教学提供指导。

笔者用SPSS26.0对学生在数与代数、图形与几何、统计与概率三个内容领域的成绩作相关性分析，将学生在各内容领域分量上的得分视为代表相应维度的随机变量，计算两两变量之间的皮尔逊相关系数，结果如表2所示。

数据显示，数与代数和图形与几何的皮尔逊相关系数约为0.676，数与代数和统计与概率的皮尔逊相关系数约为0.725，图形与几何和统计与概率的皮尔逊相关系数约为0.720，表明三者两两正相关，且均为中度线性相关，显著性均小于0.01。其中，数与代数和统计与概率的相关程度最高，说明这两个领域之间的成绩关系更密切。总的来说，测评反映出各领域数学内容的学习之间联系密切，任意一个领域的表现都会影响其他领域的表现，体现了数学学科的整体性和数学知识的系统性。更重要的是，充分关注数与代数和统计与概率等领域分量之间的密切联系，挖掘知识的生长点，可以帮助教师改进教学，从而促进学生对知识本质的理解与掌握，提升学生的数学核心素养。

4.差异性分析

研究者通常要关注学生成绩在某个指标的不同取值下的差异性，即探究某个指标是否会对学生的成绩造成影响，以此作为教育教学改进的关键点。差异性分析可以满足这样的需求。首先，我们要在问卷调查中对感兴趣的指标进行有效信息的收集，常见指标如学校办学类型、学校所在位置、父母的学历与职业状况等。接着，我们要选择有意义且合适的指标，为进行该指标下的成绩差异性分析做准备。在内容领域，有价值的差异性分析如：学校所处位置（城市、县镇、农村）的不同对学生成绩的影响，是否使用信息技术教学对学生图形与几何领域成绩的影响，是否进行单元教学对学生数与代数领域成绩的影响，等等。然后，我们通过描述性统计进行差异性分析的初步判断。如果在该指标的不同取值下，学生的平均成绩存在差异甚至差异较大，表明学生的成绩关于该指标确实可能存在统计学意义上的差异，即存在显著差异，需要进一步验证。最后，我们利用统计软件进行差异性检验。试题测评中，常用的差异性检验方法有独立样本t检验、单因素方差分析等。在通过单因素方差分析得到显著差异的结果后，可以通过多重比较分析进一步查看差异发生在哪两个取值之间，常用的多重比较分析方法有LSD、S-N-K等。

本项目中，为研究不同举办者类型（教育部门举办或民办）学校的学生在内容领域上的成绩是否具有显著差异，笔者先用描述性统计作初步判断，结果显示教育部门举办的学校学生成绩均值（71.31分）高于民办学校学生成绩均值（67.60分），说明学生成绩关于举办者类型这个指标可能存在统计学意义上的差异，有待通过独立样本t检验进一步验证；然后，笔者利用SPSS26.0进行独立样本t检验，结果如表3所示。

结果假定等方差检验的p值为0.634，0.634>0.05，表明方差齐性，以统计表中“假定等方差”所在行的t检验结果为准，观察此行数据，t=2.111，p=0.035，0.035<0.05，则拒绝原假设（假定等方差），得出“不同举办者类型学校的学生在内容领域的成绩存在显著性差异”的结论。

（张美钰系华中师范大学数学与统计学学院硕士研究生）

［专栏文章系教育部人文社会科学研究规划基金项目“中小学核心素养测评的模型建构与实证研究（项目编号：19YJA880012）”、中央高校基本科研业务费项目“新高考分省市命题分学科质量评价指标体系研究（项目编号：CCNUTEI2021-13）”的研究成果］

责任编辑  刘佳