基于实值Root-MUSIC和MP的间谐波检测算法

郭启明 朱 武 花赟昊 金立鑫 靳一奇 焦哲晶

(上海电力大学电子与信息工程学院 上海 200090)

0 引 言

近几年来,随着高铁等大规模冲击性负荷,使用新能源的电力设备以及大量非线性的电力电子精密设备被投入使用,电网中遭受谐波与间谐波的污染量也不断地增加,从而导致电压波形畸变,进而导致设备过热,甚至影响设备的使用寿命。尤其间谐波的危害更大,会引起电压骤升骤降、波动闪变等扰动问题[1],影响用电客户的正常使用。因此,对于谐波与间谐波的准确检测对于电力系统来说有着重要的意义。

目前广泛使用的快速傅里叶变换(FFT)[2]由于其简便实用的特性而备受青睐,但由于非同步情况下的频谱泄露与栅栏效应,识别精度较低。加窗差值FFT[3-4]通过对频点相邻两个或更多谱线的关系进行分析,可以进一步修正FFT的计算结果,同时不会降低过多的时效性。然而差值的精度仍然会受到相近间谐波的影响,如果使用不恰当的窗函数,即使校正后频率仍会有误差,进一步影响幅值与相位的测量与计算。全相位FFT(APFFT)[5]有着良好的抗频谱泄露和抗噪声能力,而且具有相位不变性。但是在谐波与间谐波过于接近时谱线会存在干扰,影响幅值校正的精度[6]。基于神经网络与FFT的检测算法[7]通过机器学习的方法建模,能够在短时间内得到较为精确的结果,但该方法需要通过大量的训练样本,而且仅对整数次谐波有着较好的结果,对于非整数次谐波效果较差。

多重信号分类法(MUSIC)是一种由阵列接收的信号来估计波达方向的现代谱估计算法,其广泛运用于通信、雷达等领域。近年来,逐渐开始被应用于电力谐波分析[8]。其原理是对信号自相关矩阵或协方差矩阵进行特征值分解,将信号的特征空间分解为正交互补的信号子空间和噪声子空间,然后将信号向量投影到噪声子空间,通过搜索伪谱函数峰值获得实际频率值。由于MUSIC法既不会被非同步采样影响,也可以检测邻近的间谐波分量,因而有着较高的准确率与稳定性。求根多重信号分类法(Root-MUSIC)[9-10]将MUSIC算法的谱搜索用求多项式的方法代替,在减少计算量的同时提高了计算精度。由于传统的MUSIC算法是针对阵列的复信号进行处理,在应用于谐波分析时不得不将信号拆分为两组共轭复信号进行分析,不仅使谐波分析量加倍,还增加了计算量。

匹配追踪算法(MP)是一种利用贪心算法将复信号用稀疏信号进行表示的算法。其原理是在一个过完备原子库中通过不断选择与信号最匹配的原子,将信号逐层分解,直到残差小于给定精度,最终将给定信号分解为一系列稀疏信号的组合。文献[11]将该算法用于谐波和间谐波的检测。但由于对整个信号空间进行MP算法的计算量过大,难以保证实时性。

基于Root-MUSIC算法与MP算法,本文提出一种实值Root-MUSIC和MP的间谐波检测算法。首先采用实值Root-MUSIC法估计出信号中谐波与间谐波的频率,然后采用MP算法计算出幅值与相位。相比于传统的MUSIC与MP算法,在时效性和精确度上有较大改善。

1 基于实值Root-MUSIC的谐波信号频率估计

考虑干扰的电网余弦信号模型为:

(1)

式中:Ai和φi为第i次谐波分量的幅值与相位;ωi=2πfi/fs,fi为第i次谐波分量的频率,fs为采样频率;n=0,1,2,…,N-1,N为采样点数;v(n)为与s(n)不相关的均值为0且方差为σ2的白噪声。

将连续M个采集量(M>2P)表示为观察向量X,即:

X=[X(n),X(n+1),…,X(n+M-1)]T

(2)

则由N个采样数据构成的观察向量矩阵为:

(3)

该观察向量矩阵为实值矩阵,相比传统MUSIC复值矩阵能够有效降低运算复杂度,便于后续计算。

求解观测矩阵x(n)的自相关矩阵Rx。Rx的自相关矩阵可以表示为x(n)外积的期望函数,有:

Rx=E{XXT}

(4)

对矩阵Rx做特征值分解,可得:

(5)

其中:

UN=(S1,S2,…,SM-2P)

US=(SM-2P+1,SM-2P+2,…,SM)

ΣN=diag(λ1,λ2,…,λM-2P)

ΣS=diag(λM-2P+1,λM-2P+2,…,λM)

式中:λl和Sl为Rx第l个特征值及其对应的特征向量,且有λ1≈λ2≈…≈λM-2P≤λM-2P+1≤λM;依据特征值的大小关系可判断出信号源数为P;UN是由Rx的前M-2P个特征值扩张成的噪声子空间;US是由Rx的后2P个特征值扩张成的信号子空间。可见,随M的增大,噪声子空间的维数也增加,计算精度越高,但运算复杂度也越高。

通过噪声特征向量提取信号参数信息,构造Root-MUSIC多项式:

(6)

考虑到式(6)并不完全是z的多项式,因其存在z*的幂次项,可令pH(z)=pT(z-1)。将函数等号右边左乘zM-1,可以避免出现z-(M-1)项。综上,可将式(6)修正为:

(7)

(8)

2 基于MP的幅值相位估计

MP算法也称为原子分解算法,其原理是利用贪心算法的思想。从一个过完备的原子库中选择最佳的原子信号,就可以将复杂的信号用较少的原子进行准确表示。传统的MP算法需要同时对频率、幅值和相位三个变量求解,但是该方法收敛速度较慢,而且频率的误差会极大地影响相位与幅值的计算。本文通过使用实值Root-MUSIC算法,预先求出频率的精确估计,再使用MP算法求解幅值与相位,缩减了变量数,减少了计算量的同时提高了结果的准确度。

Pseudo-Newton法[12]是一种一元线性搜索算法,适合小范围内的优化问题,实现简单且搜索精度高。该方法的寻优策略为:首先将待求量增加0.5倍,计算目标函数。若目标函数适应度更高,则更新待求量。否则,将原待求量减少0.25倍,重新计算目标函数。重复该步骤直到增加量或者目标函数的变化量小于给定阈值。

因此,本文应用MP算法对信号的幅值和相位进行估计的步骤如下:首先需要构造符合谐波/间谐波特性的过完备原子库。通过本文构造的谐波模型以及利用MUSIC算法估计出的频率,可以构造谐波原子库D的表达式为:

gγ(t)=cos(ωt+φ)

(9)

式中:γ=[ω,φ];ω=2πfk,fk=f1,f2,…,fP为MUISC算法估计的谐波频率;φ为相位;原子的幅值恒为1。经过离散化后,ω=2πfk/fs。

设经过第n次分解的残差信号为R(n)x,R(0)x=f(n)。通过Pseudo-Newton法搜索出最佳匹配原子gγn,满足:

(10)

则该谐波分量的频率为fi,相位为φi,幅值为:

(11)

从fk中剔除fi,从f(n)中剔除该筛选出的谐波分量,重复以上分解过程,直到所有谐波频率都被分解,即完成谐波信号的幅值与相位检测,剩余残差信号则为噪音信号。

因此,本文基于实值Root-MUSIC与MP算法的思想,对于N点采样的电网信号,首先通过Root-MUSIC法求出谐波信号的个数与频率,然后通过MP法计算谐波的幅值与相位。整体算法流程如图1所示。

图1 整体算法流程

3 算例分析

3.1 算例1

为了验证本文算法的有效性,构造假设谐波信号,基波与各次谐波参数如表1所示,采样频率为1 500 Hz,数据长度1 500点,阵元个数M=40。

表1 算例中谐波信号参数设置

使用本文算法对该谐波信号的频率、幅值与相位的估计结果及误差如表2所示。本文算法在无噪声情况下,能够得到十分精确的频率、幅值和相位估计,对于相近的53 Hz间谐波、355 Hz间谐波也能够精准识别,频率和幅值的估计几乎没有误差,对于相位的估计误差也在0.01%以内。

表2 算例信号估计结果

3.2 算例2

在算例1的信号中分别混入信噪比为70 dB与50 dB的高斯白噪声,其他条件不变。使用本文方法进行谐波估计,仿真结果分别如表3和表4所示。

表3 SNR为70 dB时信号估计结果

表4 SNR为50 dB时信号估计结果

对表3和表4的估计结果分析,结果表明本文算法在一定噪声干扰下仍具有较好的识别精度,在50 dB噪声下除53 Hz的频率估计误差为0.065%以外,其他频率误差均小于0.01%,有较好的抗噪性。

3.3 算例3

使用文献[13]中的电压信号数据,在相同条件下与复值Root-MUSIC算法[14-15]、实值MUSIC算法[13]进行比较。电网谐波模型的参数如表5所示,仿真时叠加40 dB高斯白噪声,采样频率1 500 Hz,采样点数1 500。仿真结果比较如表5所示。

通过表5中的数据比较可知,相比传统的复值Root-MUSIC算法和实值MUSIC算法,本文算法在保持频率精度的情况下,能够更为准确地检测各个谐波信号的幅值。在常规算法下误差较大的相位,本文算法也能保持较高的准确度。同时,MP算法在计算信号的幅值与相位时,有着较低的运算复杂度,能够进一步地提升算法效率。

4 结 语

本文提出一种基于实值Root-MUSIC算法与MP算法结合的间谐波检测方法。该方法利用MUSIC算法不受非同步采样影响的特性,精确估计出信号所含间谐波的频率,进而通过MP算法估计信号的幅值与相位参数。通过构建间谐波信号模型对算法进行仿真,由仿真结果以及与其他文献的算法进行比较可以得出:本文算法在检测间谐波信号时有着很好的精确度与抗噪能力,与传统的MUSIC检测方法相比,在同样的条件下有着更高的检测精度。