一种Ros亏格的估计*

郭如意,梅静芳

(1.淮北师范大学数学科学学院,安徽 淮北 235000;2.安徽医科大学临床医学院,安徽 合肥 230000)

1 问题的提出

设Rn为n维欧氏空间.如果Rn中的有界闭凸集有非空内部,那么称其为n维凸体.特别地,欧氏平面R2中的凸体称为凸域[1].在凸几何中有许多有趣的不等式,如经典的等周不等式、Chernoff不等式、Chernoff-Ou-Pan不等式,以及下面的Ros不等式[2]：

设P是欧氏平面R2上简单闭曲线Γ围成的区域,记A是P的面积,s是Γ的弧长,如果Γ的曲率κ处处不为0,那么

(1)

(2)

等号成立当且仅当P是圆盘,其中

称其为k(不小于2的正整数)阶宽度函数,这里h(P,θ)为P的支撑函数.后来,不等式(2)被称为Chernoff-Ou-Pan不等式.

受文献[5]的启发,笔者将对Ros不等式(1)进行类似的推广.设Γ是有界闭凸曲线,记r(θ)为Γ的曲率半径,Δ为Γ围成的凸域的等周亏格,A,Aw,Ae分别为P的面积、Γ的Wigner焦散线的面积和曲线Γ的渐屈线所围成的区域的代数面积.笔者将证明如下2个不等式：

(3)

(4)

2 预备知识

设P是平面凸域,其边界曲线为Γ,则Γ是平面闭凸曲线.取坐标原点在P的内部,设u是一个平面单位向量,记l(u)是P在u方向上的支撑直线,从原点O到直线l(u)的有向距离记为h(θ),称其为在方向u上的Minkowski支撑函数[1-6].因平面上的单位向量u可以由x的正半轴到u方向的有向角θ决定,即u(θ)=(cosθ,sinθ),故可以用h(θ)来代替h(u).容易看到,h(θ)是以2π为周期的连续函数,于是Γ的参数方程可用支撑函数表示为[6]

设Γ是C2凸曲线,记κ(θ)为Γ的曲率,r(θ)为Γ的曲率半径,则

设L为凸域P的周长,A为凸域P的面积,于是可以用支撑函数表示凸域的周长和面积[7-9]：

(5)

(6)

由于凸域P的支撑函数h(θ)是以2π为周期的连续有界函数,因此h(θ)可以用Fourier级数表示为[7-9]

(7)

(8)

(9)

(10)

利用Parseval恒等式,可得

(11)

(12)

(13)

结合(5)～(9),(11),(13)式,用支撑函数的Fourier级数表示Γ的周长与所围区域的面积：

L=πa0,

(14)

(15)

一般地,称Δ=L2-4πA为P的等周亏格[8],于是结合(14)和(15)式,凸域P的等周亏格可以用支撑函数的Fourier系数表示为

(16)

(17)

将(8),(10),(12),(13)式代入(17)式,可得

和

(18)

进一步可得

(19)

3 主要结果及其证明

定理1设P为欧氏平面R2中由严格光滑闭凸曲线Γ围成的凸域,记A为P的面积,Δ为P的等周亏格,Ae和Aw分别为Γ的渐屈线和Wigner焦散线所围成区域的代数面积和面积,则

等号成立当且仅当P的支撑函数具有如下形式：

再结合(7),(8)式及Fourier系数,得到

等号成立当且仅当a4n=b4n=0,n=1,2,….而

(20)

结合(16),(18)和(19)式,得到

从(20)式可以推导出,等号成立当且仅当a2n+1=b2n+1=0,n=2,….

证毕.

在定理1证明过程的第1步中,注意到cosnα≥-1,于是

从而

由此,得到更一般的情形：

定理2设P是欧氏平面R2上的严格光滑闭凸曲线Γ所围成的凸域,记A为P的面积,Ae和Aw分别为Γ的渐屈线和Wigner焦散线所围成区域的代数面积和面积,则

等号成立当且仅当P的支撑函数具有如下形式：

证明由定理1的证明过程可知,

(21)

(22)

且(22)式第1个不等号中的等号成立当且仅当a4n-2=b4n-2=0,n=1,2,….再从(22)式第2个不等号可以推导出等号成立当且仅当a2n+1=b2n+1=0,n=2,….

证毕.

对于∀α∈[0,2π],由cosnα≤1,结合定理2的证明过程,可得

由此,得到更一般的情形：