谈为什么要反对套路训练——以一道几何最值题为例

刘春书

(江苏省南京市板桥中学 210039)

学数学离不开解题,但许多人将其片面理解为学数学就是要大量刷题,导致数学教学中应试式的题型教学盛行,套路训练泛滥,学生作业负担沉重,创新意识和能力严重削弱．为纠正上述不良倾向、深化新时代教育评价改革,当前数学学科中高考命题出现了反题型、反套路趋势,追求通法和大道．特别是当前立德树人教育背景下,数学教学要关注学生数学核心素养的养成,解题教学更要反对套路化．下面以一道几何最值问题为例来阐述当前解题教学如何寻求大道和通法,培养学生数学核心素养,兼谈为什么要反对套路化的解题训练.

例题如图1,在四边形ABCD中,AB=2,BC=BD,∠ADC=150°,∠DCB=60°,则AC的最大值是．

图1 图2

1 套路化的解题思路

2 套路化解题的反思

应用套路解决本题,只需根据“两动点(点D,C)到定点(点B)的距离之比是定值(定值为1),夹角是定角(定角为60°)”特征,迅速触发、启用瓜豆原理“主动点在圆上——角+圆”的套路解决问题,实质上就是解题中的“条件反射”．至于怎么想到点C的运动路径是半圆、为什么是半圆等本原性问题,即解题思路如何想到的问题,根本无需考虑．正因为缺少对本原性问题的探索、思考,“题目稍有变化,学生就会无从下手”的现象常常发生,而我们教师却还在责怪学生灵活性不够．

3 指向本原性问题解决的解题思路

解每一道题,肯定都是从这一道题的条件和结论出发进行思考．基于本题条件和结论的特点,指向本原性问题解决的思考有以下三个方向．

3.1 本原性思考方向一:基于运动路径

基于运动路径的本原性思考按以下三步走．

步骤一是分析条件定主从,明晰结论找关键．解题都需先分析条件、明晰问题．通过前面的分析,本题已知A,B为定点,D,C为动点,且点D的运动路径是以AB为直径的半圆,点C随着点D的运动而运动．现在欲求AC的最大值,关键是找出点C的运动路径．

步骤二是先猜想后验证,确定运动路径．动态图形运动路径的问题,我们可以先尝试画出动点的一些位置,一般包括起始位置、终止位置和运动过程中的几个一般位置,然后再由这些位置猜测动点的运动路径．图3画出了点C的三个位置,当点D在半圆上与点A重合时,点C在以AB为边的等边三角形的顶点(C1)上,当点D在半圆上与点B重合时,点C与点B重合．串联起始位置、一般位置、终止位置,进而可以猜想点C的运动路径是以起始状态的BC1为直径的半圆．通过图3,发现点D与点C的运动路径是全等的半圆,每对对应点之间是旋转对称的关系,基于对应连结AD,C1C2,易证△ABD≌△C1BC2,所以∠C1C2B=∠ADB=90°,所以点C的运动路径是以C1B为半径的半圆.

图3 图4

3.2 本原性思考方向二:基于函数模型

基于函数模型的本原性思考按以下三步走．

步骤一是自主发现函数关系．世界是普遍联系的,运动图形中某个元素的运动变化必然带来其他相关量的变化,函数关系是运动图形研究的重要方向之一．通过分析本题题意、想象运动过程发现,点C随着点D的运动而运动,即我们要研究的线段AC的长度随着线段BD的长度变化而变化,其中蕴含着初中函数概念宏观变量说的三个基本要素:①这是一个运动变化过程;②在这个运动变化过程中有两个变量(线段AC与BD的长度);③一个变量(AC)随着另一个变量(BD)的变化而变化．因此,回归函数概念就自然联想到问题情境中蕴含着函数关系,即线段AC与BD的长度之间存在着函数关系．

图5

3.3 本原性思考方向三:基于图形变换

图6

4 本原性思考的反思

4.1 思考本原问题,引导学生学会如何想到

数学学习有三个递进的层次:第一层次是知其然,知道是什么;第二层次是知其所以然,知道为什么;第三层次是知何由以知其所以然,知道怎么想到的[1]．平时解题教学中经常会遇到这样一种现象:学生练习时冥思苦想而不得其解,但经老师稍加提示或点拨就恍然大悟,这种“不是做不到,而是想不到”的现象问题到底出在哪里?根子出在教师在“如何想”上缺少示范和引导．套路化解题训练将解题思考的过程浓缩成了解题套路,不利于学生感悟、学会如何想到．解题教学应重视多让学生思考“思路是怎么想到的”这一本原性问题,教会学生学会自主寻求解决问题的思路,发展学生的创新意识和能力．

本题点A是定点,点C是动点,欲求AC的最大值一般会想到要把点C的运动路径弄清楚,自然形成基于运动路径的解题思路;本题分析图形运动元素,发现点C随着点D的运动而运动,即线段AC随着线段BD的变化而变化,回归函数概念自然联想到问题情境中蕴含着函数关系,从而形成基于函数模型的解题思路;本题由线段BD与BC是共端点的相等线段的特征,引发学生自主联系旋转变换的特征,自然形成基于图形变换的解题思路．这些思路是基于图形条件和特征自然形成的,学生不仅“做得到”,而且“想得到”．

4.2 经历思考过程,发展学生数学核心素养

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出:数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现,是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现,是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的．解题是数学应用的一个过程,应把解题思考的过程还给学生,让学生在思路形成的过程中发展数学核心素养．套路化解题训练剥夺了学生思考的过程,不利于数学核心素养的形成[2]．

基于运动路径的解题思路需要学生把握运动全过程,尝试勾勒一些特殊位置并猜想动点运动路径;基于函数模型的解题思路需要学生充分感受点C与点D、线段AC与BD之间的运动变化关系;基于图形变换的解题思路需要学生根据图形特征用图形变换的眼光审视图形.这些思考过程有利于学生直观想象素养的形成.基于运动路径的解题思路中,动点C的运动路径需要先猜想再证明,合情推理与演绎推理有机结合,有利于学生逻辑推理素养的形成;基于函数模型的解题思路需要学生自主发现线段AC与BD之间的函数依赖关系,然后再自主构造函数模型,应用函数模型解决问题,有利于学生数学建模和数学抽象素养的形成．

4.3 反思思考过程,感悟解题通法思维大道

题型归类和套路技巧掩盖了解题思维的暴露和展示.解题思路的自然生成分析不够,让学生产生解法的获得是“天才的灵机一动”、可遇而不可求的错觉,不利于学生形成解题通法、感悟思维大道[2]．解题通法普适性强,可迁移应用的范围广.思维大道是数学探究的基本思想方法,不仅适用于数学学科的学习和研究,同样也适用于其他学科．

反思基于运动路径的解题思路,学生容易感悟到:解题要力戒“望而生畏”,敢于从特殊到一般进行尝试,敢于“大胆猜想,小心求证”;反思基于函数模型的解题思路,学生容易感悟到:点C与点D、线段AC与BD之间的运动变化关系蕴含着函数概念的基本属性,回归基本概念是解题的重要手段;反思基于图形变换的解题思路,学生容易感悟到:图形变换是研究几何问题的重要视角．

5 反对套路训练,提倡本原性思考

解题套路确实可以减少学生的思维量,提升学生的解题速度,但解题套路缩略了思考过程,放弃了思考过程所承载的育人价值,无法帮助学生解决“解题思路如何想到”的本原性困惑,数学核心素养的培育缺少土壤[3].套路往往立足于某一类题的特殊解题技巧,普适性差,题目稍有变化,学生可能就会无从下手,在反套路的评价命题趋势下,套路训练的收效越来越差.同时套路繁多,就比如前面提到的“瓜豆原理”,初中阶段常见的类型有主动点在直线上和主动点在圆(或圆弧)上两大类,主动点在直线上又分“线段+直线”

“角+直线”,主动点在圆上又分“线段+圆”“角+圆”,学生每掌握一种套路类型都需要大量刷题,通过大量刷题形成“条件反射”,加重了学生的课后作业负担．因此,我们反对套路训练．

本原性思考还原思考过程,能充分发挥思考过程所承载的育人价值,有利于解决学生“解题思路如何想到”的本原性困惑,发展学生的数学核心素养,帮助学生感悟解题通法和思维大道,从而真正提升学生的解题能力,减轻学生的课后作业负担．因此,我们提倡给学生提供更多的本原性思考的机会．