大单元教学观下的章末复习课教学反思——以人教版“复数”章末复习课为例

华 婧 任伟芳

(浙江省宁波市鄞州中学 315100) (浙江省宁波市教育局教研室 315100)

不久前,宁波市教研室组织了以“大单元教学观下的章末复习课教学”为主题的课堂教学教坛新秀评比,该项活动引起了大家浓厚的兴趣．参赛选手以人教A版必修第二册第七章“复数”章末复习为授课内容,共开设了16节同课异构的评比课．笔者依据大单元整体观的理念,结合授课内容特点和学生认知水平,构建了一堂以数系的发展历程为线索、围绕数学思想方法和研究思路的课堂,得到评委老师和学生的一致好评．根据5位专家组成的评委团的现场打分,笔者执教的“复数章末单元复习——虚数i的奇妙之旅”排名第一,现将其进行整理,与同行分享．

1 单元教学的内涵与价值

大单元教学的内涵是以大主题或大任务为中心,对学习内容进行分析、整合、重组和开发,形成具有明确的主题、目标、任务、情境、活动、评价等要素的一个结构化的、具有多种课型的统筹规划和科学设计．核心素养导向下的“大单元教学”设计,要求教师建立起数学核心素养与数学核心内容之间的关联性[1],这种关联性可以体现在知识层面、方法层面、思维层面等,其关键是寻找一种可以将数学核心素养与该单元知识体系合理整合的思路或者线索,以去除知识的碎片化,追求知识体系的完整性和思想方法的可迁移性,使数学核心素养具体化,可培养、可干预、可评价．

大单元教学的价值主要体现在对教学内容进行二度开发和整体设计,注重知识间的关联性、方法间的迁移性、课时安排的整体性．知识的联系与交融体现在多个方面,相应地,单元教学的课时安排与教学设计也是多元化的．譬如,以数学的实际应用价值为依据逆向设计情境、以问题链为载体进行结构的构建、以数学的发展规律为线索搭建知识脉络、以数学方法论为工具促进探究性学习等,让学生更加全面地了解知识的来龙去脉、数学的发展规律,以及研究数学问题的基本思路和方法．

2 教学设计的思路与过程

章末复习课教学重点在于“复习”二字,而“复习”二字往往容易指向“习题”,使课堂陷入“概念—性质—应用”的模式化教学,忽视了贯穿其中的暗线:“事实—过程—方法—思想—本质”．大单元教学观下的单元复习课更加强调数学的发生、发展过程,将数学思想方法和研究思路渗透到具体数学知识内容中,形成知识与方法对接、思想与内容相融的设计思路(图1)和设计过程(图2)．

图1 设计思路

图2 设计过程

3 课堂教学片断

3.1 回归史料 完善导图

前面几节课我们一起经历了数系发展的一次飞跃:从实数集扩充到了复数集,一切都是从一个虚数单位“i”开始的．这节课我们将回顾那段历史,看一看在200多年中,“i”经历了什么,我们收获了什么．1777年,数学家欧拉先生在《对代数的完整介绍》中首次使用字母“i”表示-1的平方根,于是作为imaginary(想象的、虚构的)首字母的“i”先生收到了来自数学世界的邀请函,他将获得除字母以外的另一个身份——代表-1的平方根的数．当时多数数学家并不赞同让一个虚构的数字存在.尽管阻碍重重,仍有卡尔丹等数学家在解三次方程时体会到了寻找-1的平方根的必要性,将实数集慢慢地向一个新的数集——复数集进行扩充,努力探索着扩充的规则．请大家回顾:数学家们是如何定义复数的代数形式的?为什么要构造这样的形式?在定义了代数形式以后,又规定了复数的哪些运算?

无论是代数形式还是运算法则,一切明明很合理,为什么当时会有那么多人反对呢?数学的发展哪会是这么容易的,直到1840年,“i”才正式被数学世界所接纳,有了自己的名字:虚数单位,有了自己的身份:代数身份和几何身份．请同学们阅读相关材料,思考:是什么原因让那些固执的数学家们承认了“i”的存在呢?正是复数的几何解释.面对实实在在的几何形式,人们再也不能否认虚数的存在了.我们一起回忆一下复数的几何意义,并完善思维导图(图3)．

图3 思维导图

设计意图复数的发展史十分丰富,在新授课中,教师通常会选择其中经典的片段来引入,以激发学生的兴趣.受到课时的限制,新授课不宜全面介绍复数历史,而作为章末复习课,学生已经对复数的概念、运算、性质等知识有所了解,此时可将那段历史较为完整地与相关知识串起来,体现单元教学的整体性和连贯性．复数的发展史悠久而丰富,我们虽不能面面俱到,却也能提炼出核心部分,将复数的发展分成两个阶段:阶段一,“i”初进数学世界(复数代数形式的发展);阶段二,“i”虚数身份被认可(复数几何解释的发展)．利用两个阶段的时间与逻辑关系,将知识点串在数学文化中,加以整合,让学生整体了解复数的发展史,从中体会数学的发展过程．利用思维导图将知识点进行梳理、整合,使学生明晰其中的关联点,从更加完整的角度理解整个单元的内容．

3.2 植入探究 思维碰撞

例1在复数范围内解方程x2-x+1=0．

变式 在复数范围内解方程x2-2|x|+1=0．

设计意图作为一节单元复习课,一定要有学生需要完成的一些探究任务.在前面所说的文化框架里植入例1,通过在复数范围内解实系数二次方程,复习复数的代数形式和代数i运算,感受复数代数形式发展过程中数系的体系变化．

在例1的变式中,学生会出现两个常见错误:(1)认为|x|2=x2,而把方程等价于|x|2- 2|x|+1=0;(2)认为复数均可以比较大小,而讨论x的正负,意图去掉绝对值号．从这两个错误理解出发,比较实数与虚数的区别,加深学生对于复数系统的理解,体会数系扩充过程中的求同存异．

在例2中,学生会提出两种角度——几何角度与代数角度．对于几何角度,学生利用了平行四边形性质,教师引导学生将平行四边形的性质用复数形式进行表达:|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2),体现复数将几何问题代数化的价值．对于代数角度,学生在解方程组的过程中可能会遇到计算困难,教师引导学生观察方程组的结构,简化消元计算的繁琐过程:

以上两个例题是按照复数的发展历程,穿插在数学文化之间的,旨在让学生从数学文化和数学知识两条线中,感受数系扩充的基本过程和研究数学问题的基本思路．

3.3 探究延伸 拓展提升

除了课上根据学生对例题的完成情况,判断学习效果以外,还为学生留下由例1推广的课后探究延伸任务:在复数范围内讨论关于x的方程x2+c|x|+d=0(c,d∈R)的根的个数,为学有余力的学生搭建提升的阶梯．基于过程评价,最后提出两个拓展性问题:(1)请你谈一谈解决复数问题的一般思路;(2)根据复数的发展史,谈一谈一次数系的扩充一般会经历哪些关键的步骤．

设计意图历史造就了复数的两重身份,对应着两个视角,形成了两条线路,而这两条线路之间又是相互对应和紧密相关的．复数的发展经历了“提出必要性—构建代数形式—制定运算规则—探寻几何意义—实现应用价值”的过程．这也是数学发展的一般规律.通过小结,学生不仅巩固了相关知识,更重要的是理解了研究数学问题的一般性思路与方法．

4 教学反思

4.1 大单元观下教学要以学为中心来制定学习目标

核心素养下的教学应秉承“人—知识—人”的思路,“知识”是能够促进人全面发展的载体,“人”的发展是教学的出发点与归宿点．新课标强调以学生发展为本.复数的单元复习课,虽只设置了一个课时,但应设计成一个微观意义上的整体性课程:使学生理解数系扩充的基本思路和方法,掌握解决复数问题的基本角度和策略,培养学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力;通过代数和几何两个角度解决复数相关问题,提升学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养;通过解方程、实数与虚数的对比分析等具体活动,使学生体会数形结合、方程思想、类比、归纳等数学思想方法的运用．

4.2 大单元观下教学要让知识和思想方法整合起来

复数是充满文化韵味的数学内容,绝不能绕开它的发展过程单纯地谈解题,因此将知识按照历史发展的顺序融入文化之中,既完成了复习目标,又让学生经历了复数发展的大致过程,积累了研究数学问题的基本经验,用思想方法带动具体知识和技能的学习,让学生经历真实的数学研究工作,理解知识的来龙去脉,领会内在的思想方法．数学概念是零散和分块的,单元教学让它整合起来,联结起来;知识体系是静态的、枯燥的,数学思想方法让它活了起来、动了起来,由静态的知识转化为动态的方法[2]．

4.3 大单元观下教学要使学生掌握数学研究的方法

心理学认为:如果知识结构中原有的有关观念在统摄和概括的水平上高于新知识,那么这时利用认知结构中的有关观念学习新知识便成为下位学习.单元教学正是站在了更高的位置,将学生的学习从上位学习向下位学习转变．当学生有了一定的数学思想方法的积累后,才能更好地理解和掌握数学内容,并挖掘出数学体系中潜在的、深层的意义,才能对数学知识作出更加深刻的解释和理解．

大单元教学理念下的数学深度学习,要求教师不仅要帮助学生掌握具体的数学知识和技能,还需要站到更高的地方,以全局的眼光综合看待教学内容,合理编排整合,使教学能够深入到思维层面,启发学生思维,提升学生素养,真正实现对学生真实思维过程的“理性重建”,让学生从“学会”向“会学”转变,深刻理解数学发展的规律,掌握数学研究的方法．

大单元教学观下的章末复习课教学研究与实践还刚刚开始,需要在实践中勇于创新、不断探索．只有教师高屋建瓴,构建数学研究路径和方法的课堂,在知识的整体性、逻辑的连贯性、方法的普适性和思维的系统性中优化学生关键能力和必备品质,发展自主学习能力,才能让学生在复习课学习时满怀乐趣、回味无穷,把书由“厚”读“薄”,把相关知识和方法联结起来,融会贯通[3]．但要真正将章末复习课的育人目标落到实处,我们还在路上．