随机Dirichlet级数在右半平面的广义逼近

洪甜甜，霍颖莹

（广东工业大学 数学与统计学院，广东 广州 510520）

1 基本介绍

在Dirichlet级数增长性和相关方面，众多数学工作者已经取得了一系列重要研究成果[1-4]。其中有很多关于整函数的研究，例如，Ritt定义了由Dirichlet级数所确定的增函数的级和下级，用来描述级数的增长性。随后，2010年孔荫莹和甘会林[5]通过引入一族函数，定义了更精确的广义级，并得到广义级与其系数和指数之间的关系。另一方面，徐洪焱和易才凤[6]从Dirichlet多项式估计Dirichlet级数时得到的误差着手，探讨了其与Dirichlet级数的级之间的关系。随机Dirichlet级数本质上是一族Dirichlet级数。1932年，Paley和Zygmund研究了Steinhaus-Dirichlet级数和Rademacher-Dirichlet级数两类以独立随机变量序列为系数的随机Dirichlet级数的收敛性。随后，余家荣[7]进一步讨论了以独立随机变量序列为系数的随机Dirichlet级数的收敛性问题。丁晓庆和肖益民[8]借助Dirichlet级数研究了系数为独立且一致非退化的随机Dirichlet级数的自然边界问题。2012年，孔荫莹和霍颖莹[9]在广义级的基础上，探讨了一类以独立随机变量序列为系数的随机Dirichlet级数的最大模与最大项指标之间的关系。但在现实中，独立这一条件并不具有普遍性，而且也难以检验。自然的想法是，当随机变量序列为非独立时，随机Dirichlet级数会具有什么性质？本文将在此基础上，去研究一类系数是非独立的随机变量序列 φ混合序列的随机Dirichlet级数的广义逼近。其中，φ混合序列是由Ibragimov[10]引入的，表明了变量在指标之差趋于无穷时渐进独立，关于其更多的性质可以参考文献[10-11]。

下面给出与本文相关的定义与记号，为了方便起见，本文将C表示为一个常数，并且出现先后表示不同的常数。其他记号请参看文献[1]。

定义1[1]设Dirichlet级数

式中：{bn} 是 一正实数数列，0 <λn↑∞,s=σ+it表示一复变量。

假设级数g(s)满足

那么由式(3)和文献[1]中引理3.1.1可得

式(3)、(4)中：Dh≤1。从而有

若令σc, σu, σa分 别表示级数g(s)的收敛、一致收敛和绝对收敛横坐标，则由Valiron公式

可得

即级数g(s)在右半平面是收敛、一致收敛和绝对收敛的。因此，对于任意的 σ>0，可以分别定义级数g(s)的最大模、最大项以及最大项指标为

为了描述慢增长( ρ=0)整函数的增长性，下面引入广义级和广义型。令Λ 表示满足以下两个条件的函数α (x)所构成的集合。

条件1 α(x) 是定义在( −∞, +∞)上的函数，当x≤0 时，α (x) 为常数；当x>0 时，α (x)为严格递增，取值为正的可微函数。

条件2 令d 表示微分符号，存在p∈N，使得

式中：l n[p]x=ln[p−1]lnx。

定义2[12]设α (x)∈Λ ，则级数g(s)的广义级为

若ρ ∈(0, ∞)，则级数g(s)的广义型为

式中：β(lnx)=α(x) 。特别地，当α (x)=lnx时，广义级和型分别为Ritt级和Ritt型。此外，根据参考文献[12]中的引理2.3可知，对于级数g(s)，当E∈(0,∞)时，有

为了证明本文所得到的结论，在这里将构造与级数相应的Newton多边形，并得到与级数式(1)具有相同广义级和广义型的Dirichlet级数。具体作法如下。

第1步 取定σ >0 ，过XOY平面上点列

中的每一点，作斜率为 −σ的直线，进而可以得到斜率为− σ的直线所构成的集合

由于每一条直线都对应一个在y轴的截距，因此可以得到级数g(s)在 σ 时的最大项满足

第2步 根据 σ的任意性，便可以得到对于任意的一个σ >0 ，级数g(s)的 最大项m(σ,g)和最大项指标n(σ)。又n(σ)为 关于σ 的增函数，从而为阶梯函数且至多只有可数个间断点，其间断点集记为 {σl}，相应地，n(σl)=nl+1。最后再通过依次连接最大项指标所对应的点

便得到级数g(s)所 对应的Newton多边形Π (g)。

由Newton多边形 Π (g) 的作法，不难发现Π (g)的顶点是点列 {An} 中 的部分点，因此不妨设Π (g)的顶点为

若令

则

此外，由 σl的作法可知，对于任意的σ >0，存在σl和σl+1，使得σ ∈(σl+1,σl]，有n(σ)=nl。

从而得到级数

式中：{nl}⊂{n} ，则对于任意的正数σ ，存在 σl，满足σ ∈(σl+1,σl]，从而

即级数g(s)和g(s)有相同的广义级和广义型。

下文还需要给出级数误差的定义。

定义3[6]令 ϕk表示阶数不大于k的所有Dirichlet多项式所构成的集合，则对于任意给定的α(0<α<∞)和 正整数n，可以定义级数g(s)的误差为

为了证明本文提出的结论，还要给出φ 混合序列的定义。

定义4[10]{Xn}是 定义在概率空间( Ω,F, P)上的复值随机变量，P 为F上的概率，对于任意的n,m∈N，当n→∞时，若

则称{Xn}是 φ 混合序列，其中

为σ 域。

通过φ 混合序列的定义不难发现，如果对于任意的n∈N ，都满足φ (n)=0 ，那么对于任意的A∈Fm0,B∈，可以得到

即随机序列{Xn}独立。

定义5[1]设随机Dirichlet级数

式中：0<λn↑∞,s=σ+it(σ,t∈R)，{Xn}是定义在概率空间( Ω,F, P)上 的φ 混 合序列，并且满足( MZ)*[13]条件，即对于任意的正整数n，存在正数d1，使得

本文假设随机Dirichlet级数fω(s)满足式(2)、(3)、(6)，那么对于级数fω(s)而言，可以得到有关于它的收敛性的结论。

定理1对于任意的ω ∈Ω, a.s.，级数fω(s)在右半平面上收敛、一致收敛、绝对收敛，即

式中：σc(ω)，σu(ω)，σa(ω) 分别为级数fω(s)的收敛、一致收敛和绝对收敛横坐标。

此外，本文还得到误差与级之间的关系。

定理2对于任意的 ω ∈Ω, a.s.，级数fω(s)和g(s)的偏差在右半平面上的广义级一致，即

(1) 当p=1时，

(2) 当p=2, 3, ···时，

定理3若级数fω(s) 的 广义级ρ ∈(1,∞)，则对于任意的ω ∈Ω, a.s.，级数fω(s)和g(s)的误差在右半平面上的广义型一致，即

推论1设级数fω(s)满足式(2)、(3)、(6)，则对于任意的ω ∈Ω, a.s.，有

(1) 当p=1时，

(2) 当p=2, 3, ···时，

推论2设级数fω(s)满足式(2)、(3)、(6)，并且级数fω(s) 的 广 义 级ρ ∈(1,∞) ，则 对 于 任 意 的ω ∈Ω,a.s.，有

2 一些引理

引理1[14]若 {Xn}是 φ 混合序列，并且满足式(6)，则对于任意的 ω ∈Ω, a.s.，存在N(ω)>0 ，当n>N(ω)时，有

且对于{Xn}的任意子列{Xnk}，有

为了证明所提出的结论，还需要用到误差与系数、最大项之间的关系。

引理2[6]若级数g(s)满足式(2)、(3)，那么对于任意的n∈N ，任意的α (0<α<∞)以及充分小的正数，有

式中：T是与σ ,n无关的常数。

其次，广义级函数有以下性质。

引理3[12]设α (x)∈Λ，则

(1) 对于任意的正数C1,C2以 及实数A：

(2) 对于任意的0

(3) 当p=1时 ，对任意A>0，存在使得

证明 对于该引理(1)、(2)的证明，可以参考文献[12]中的引理2.2。下证明(3)、(4)。

首先，由α (x)的性质

可知，对任意正数δ，存在X(δ)>0，当x>X(δ)时，

下文先证明引理3(3)。

下文再证明引理3(4)。

又由引理3(2) 可得

证毕。

引理4 对于级数fω(s) ，当E∈(0,∞)时，对于任意的ω ∈Ω, a.s.，

证明 与参考文献[12]中的引理2.3类似，此处不再证明。

引理5[15]级数g(s)满足式(2)、(3) ，则

(1) 当p=1时：

(2) 当p=2, 3, ···时：

最后，还需要用到以下结论。

引理6[7]设b, σ ∈(0,+∞)，则函数

3 定理证明

定理1证明 首先由式(4) ，即

和式(7)可知，对于任意的 ε>0 和任意的ω ∈Ω, a.s.，存在N1∈N ，当n>N1时，

其次由式(8)可知，序列{Xn}存 在一子列{Xnk}满足

因此，有

最后由Valiron公式可得

证毕。

定理2证明 首先，根据引理4可知，对于任意的ω ∈Ω, a.s.，M(σ,fω) 可 以用m(σ,fω)替换。

下记An,α(g,α)=En−1(g,α)eλnα。并令

则对任意的正数ε ，存在N(ε)>0 ，使得当n>N(ε)时，有

再由引理2可得

最后由式(7)和式(4)可得，对于任意的 ε >0，存在N(ε)>0，使得当n>N(ε)时 ，对任意的ω ∈Ω, a.s.，有

情形(1) 当p=1时 ，首先由α (x)的单调性，引理

其次，由α (x)的性质

可知，对于任意的正数 δ ，存在N(δ)>0，使得当n>N(δ)时，有

最 后，当 σ>0 充 分 小时，有n(σ)>N(ε)，由α(x) 的单调性以及引理3(1) 可得，对于任意的ω ∈Ω，a.s.，有

且

因此，当σ >0充分小时，

当σ >0充分小时，令

则对任意n>N(ε)，当λn≤H时，有

所以对于任意的n>N(ε)，式(12)成立，因此对于任意的ω ∈Ω，a.s.，有

下证等式成立。

情形(1) 由Newton多边形作法和引理5(1)可知，存在级数式(5)，满足

并记n(σl)=nl。记

此外，由式(8)可知，存在 Ω0满足P (Ω0)=0，使得对任意的ω ∈(Ω−Ω0)，有

并且由 P(Fε0)>0 得，( Ω−Ω0)∩Fm0≠ϕ。从 而 存在ω0∈(Ω−Ω0)∩Fm0，对序列{Xnl(ω0)}存在的子列，不妨仍记为{Xnl(ω0)}，满足

从而

即

因此

与式(13)式矛盾。证毕。

情形(2) 同情形1证明类似，此处不再证明。

定理3证明 首先由引理4可知，对于任意的ω ∈Ω，a.s.，M(σ,fω) 可以用m(σ,fω)替换。

下记An,α(g,α)=En−1(g,α)eλnα。并令

则对于任意的正数ε ，存在N(ε)>0 ，使得当n>N(ε)时，有

又由引理2可得

最后由式(4)，即

和式(17)可得，对于任意的ε >0 ，存在N(ε)>0，使得当n>N(ε) 时 ，对任意的ω ∈Ω, a.s.，有

由于 β(lnx)=α(x)，因此由引理3(4) 以及式(15)可得，存在 00，存在N(ε)>0 ，使得当n>N(ε) 时，对于任意的ω ∈Ω, a.s.，有

且

因此，当σ >0充分小时，

当σ >0充分小时，令

则对任意n>N(ε)，当λn≤H时，有

所以对任意n>N(ε)，式(16)成立，因此对于任意的ω ∈Ω, a.s.，有

下证等式成立。由Newton多边形作法和引理5(3)可知，存在级数式(5)，满足

再选取序列{ σ}的 子列{ σl}，使得

并记n(σl)=nl，记

若 P(F>0 ，则存在ε0>0 ，使得P (Fε0)>0成立，即对于任意的ω ∈Fε0，有

此外，由式(8)可知，存在 Ω0满足P (Ω0)=0，使得对任意的ω ∈(Ω−Ω0)，有

且 由 P(Fε0)>0 得，( Ω−Ω0)∩Fm0≠ϕ。从 而 存 在ω0∈(Ω−Ω0)∩Fm0，对序列{Xnl(ω0)}存在的子列，不妨仍记为{Xnl(ω0)}，满足

从而

即

因此

与式(17)矛盾。证毕。